ex Projet UVPL
Assistance technique P.M Challou, A Duranteau et Said Hassini
Le mode simulation de Régressi Windows permet de préparer facilement le TP à la maison. Quelques données initiales suffisent pour prévoir l'ensemble des résultats expérimentaux. Le logiciel peut résoudre les équations différentielles. Il permet également d'exprimer correctement les unités. 0n pourra ainsi structurer le plan de la manipulation et comparer sérieusement les résultats théoriques et les résultats expérimentaux.
Le système est une réglette de masse m, de centre d'inertie G qui glisse sans frottement sur un rail horizontal. Aux deux extrémités A et B de la réglette sont accrochés deux ressorts de masse m0 négligeable et de raideurs identiques k. Nous montrerons en annexe que si la masse m0 n'est pas négligeable qu'il suffit alors de remplacer dans les équations m par m+m0/3 Les ressorts sont reliés aux points fixes A1 et B1 et travaillent horizontalement. La longueur à vide des ressorts à vide est l0
Soit O la position du centre d'inertie de la réglette au repos et 0x un axe horizontal parallèle au banc. Soit x la position du centre d'inertie G à l'instant t.
m= 0.0522 kg et k = 1.55 N/m
Dans un premier temps les frottements seront nuls.
Au repos : la longueur des ressorts est devenue l et :
Appliquons la relation fondamentale de la dynamique (deuxième loi de Newton) au mouvement du centre d'inertie (Théorème du centre d'inertie).
L'équation différentielle du mouvement sera donc:
On exprimera soigneusement les unités.
La force s'exprime en Newton ou kg.m.s-2
Lancez Régressi Windows
Choisissez
l'option simulation cf. ci contre
Fichier
Nouveau
Simulation
Entrée
Régressi Windows vous ouvre sa page expressions
Le titre ou commentaire est précédé d'un apostrophe
Entrez les valeurs numériques de m et de k. Un caractère "souligne"
"_"sépare la valeur numérique et l'unité. Pour la mise à
jour, cliquez sur le bouton
Le commentaire apparaît en bleu. (couleur choisie par l'utilisateur dans les options)
Régressi Windows indique en rouge qu'il a enregistré ou calculé les valeurs numériques. Il ajuste également l'expression des unités.
Les lycéens de terminale S ne connaissent plus les solutions des équations différentielles classiques. Régressi Windows sait donc résoudre numériquement les équations différentielles.
Dans la syntaxe de Régressi, x'' (prime prime) représente la dérivée seconde par rapport au temps. Nous écrirons cette équation dans la page expression sous la forme :
Validez.
Un message
d'erreur apparaît.
C'est normal, il faut indiquer à Régressi
Windows les valeurs initiales de x0 et x'0. Répondez Ok.
La
page paramètres s'ouvre.
 | Régressi
vous propose d'indiquer les valeurs initiales de x0 et de x'0. Pour régler le problème des unités, double-cliquez sous x0. |
Un
formulaire apparaît.
Indiquez l'unité : x0 en mètres.
Proposez toujours des unités du système international. Régressi
donne la liste de celles qu'il reconnaît automatiquement dans l'aide directe
(syntaxe etc..)
Régressi exprimera x0 en mm si nécessaire.
Validez et procédez de même pour x'0 qui s'exprimera en m.s-1
On remarquera que l'éditeur très simple de Régressi ne permet pas de mise en indice ou en exposant. L'interpréteur convertira s-1 en s-1 automatiquement et le point séparant m et s-1 sera également bien compris comme un signe multiplier.
 | On prendra
par exemple x0 = 0.08 m et x'0 = 0 Validez chaque valeur. Vous devez également préciser l'unité pour x. Vous avez plusieurs possibilités: Cliquez sur Variables et double-cliquez sous x et indiquez l'unité comme pour x0. |
 | Vous
pouvez également cliquer sur l'onglet Incert/Unités Entrez les unités pour x, x' et x'' et validez |
Régressi Windows peut maintenant présenter la solution de l'équation différentielle.
 | Pour
obtenir la présentation ci dessous Cliquez: Fenêtre Mosaïque verticale |
 | Dans la fenêtre graphique:Cliquez sur le bouton coordonnées |
Pour un portrait de phase choisissez x en abscisse et x' en ordonnée
La solution de l'équation différentielle est donc une fonction sinusoïdale de la période T0. Pour déterminer la valeur de T0 modélisons la solution numérique proposée par Régressi. Vous pourrez ainsi vous familiariser avec un outil qui sera très utile pour traiter vos résultats expérimentaux.
Passez en fenêtre graphique seule. Cliquez sur coordonnées, choisissez de nouveau t en abscisse et x en ordonnée ; validez
 | Passez
en fenêtre graphique seule. Cliquez sur le bouton modéliser |
Dans la case Expression du modèle écrivez la solution proposée en laissant à Régressi le soin de trouver les constantes a; T0 et j. Cliquez sur ajuster.
On constate aisément que a = x0 et que j= 0
Vérifier la valeur de T0 obtenue par la modélisation, en utilisant Régressi Windows comme une calculatrice. On calcule To (petit o).
Exprimez soigneusement
les unités:
 | Soit w0 en rad.s-1 (le radian est une unité sans dimension qui doit être indiquée par l'utilisateur. On évitera ainsi à Régressi d'exprimer w0 en Hz) |
Etude énergétique. conservation de l'énergie mécanique
Que nous écrirons dans la syntaxe Régressi Windows : Ec=0.5*m*x'^2
L'énergie potentielle élastique emmagasinée dans les
ressorts (identiques) sera:
Nous calculerons l'énergie mécanique : Em = Ec + Ep (les frottements sont nuls).
Ajoutez ces trois lignes dans page expression de Régressi Windows. Limitez par exemple l'intervalle de calcul à 0,4 s et après avoir vérifié que les unités sont bien correctes, montrez les trois courbes Ec (t) ; Ep(t) et Em(t). Vous tenterez d'obtenir les mêmes avec vos résultats expérimentaux.
