2.4 Oscillations forcées avec frottement fluide

L'extrémité A1 du ressort 1 n'est plus fixe. Son mouvement horizontal repéré par rapport à sa position d'équilibre sur l'axe Ox est de la forme :

La pulsation W (rd.s-1) sera introduite comme paramètre expérimental

Dès la première validation Régressi vous demande une valeur pour W. Nous choisirons une valeur très proche de w0 pour nous situer à la résonance: W = 7.7 rad.s-1 .

Nous supposerons également que la réglette est au repos au démarrage de excitation sinusoïdale : x0=0 et x'0=0

Modifions l'équation différentielle initiale:

Nous écrirons ces équations dans Régressi Windows sous la forme :

On choisira un calcul comportant au moins 1024 points et un intervalle de 10 secondes:

Cliquer sur la figure pour charger le fichier Régressi

On observera sur la courbe que le régime permanent est établi lorsque le régime transitoire a totalement disparu, c'est à dire au bout de 8 secondes environ dans le cas que nous étudions.

On remarquera également que les mouvements x et X1 sont en quadrature.

Pour étudier la réponse de l'oscillateur mécanique en fonction de a valeur de la pulsation, cliquez sur le bouton animation.  la fenêtre animation s'ouvre:

Cliquez paramètres

Pour Le réglage des paramètres d'animation, dans la colonne actif, cliquez non pour x0 et x'0 et répondez oui pour O.

Choisissez pour W, une valeur initiale 5 (rad.s-1 ) et une valeur finale de11 (rad.s-1)

Fixez un pas de 0.1 et validez.

Pour une vraie animation:

sélectionnez Bouclage et lancez en cliquant sur le bouton de défilement situé dans la partie gauche de la barre d'outil de la fenêtre animation.

Pour ce texte, nous nous contenterons de présenter trois cas de figure significatifs obtenus en exécutant l'animation pas à pas.

W = 5 rad.s-1 < w0: le régime permanent s'établit rapidement.x et X1 sont en phase

W = 7.7 rad.s-1 = w0: le régime permanent s'établit en 8 secondes environ:

W = 10 rad.s-1 > w0: le régime permanent. x et X1 sont en opposition de phase:

Régressi Windows nous a donc permis de visualiser sans difficultés le régime transitoire qui précède l'établissement du régime forcé. On observe une résonance lorsque la pulsation W du mouvement forcé du point A1 est proche de la pulsation w0 des oscillations libres du pendule élastique horizontal.

Pour être en mesure de donner une solution analytique permettant de retrouver les mêmes résultats que Régressi, nous devons déterminer la solution particulière de l'équation différentielle avec second membre lorsque le régime permanent est établi.

Le régime permanent

Reprenons l'équation différentielle du mouvement:

En régime permanent la solution particulière pour x est de la forme:


Pour des calculs plus faciles utilisons la notation complexe :



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Régressi Windows permet le tracé immédiat de xm et de j en fonction de W

En particulier les mouvements sont bien en phase pour W<<w0 et x a bien un retard de phase de 180° sur X1 pour W>>w0. A la résonance W>>w0

Pour connaître précisément la valeur Wres de W à la résonance dérivons par rapport à X l'expression:

AN Régressi : Wres = 7.699 rad.s-1 rappel w0 = 7.706 rad.s-1

Solution complète de l'équation différentielle du régime forcé.

La solution générale de l'équation sans second membre est de la forme:

La solution générale de l'équation avec second membre est:

Déterminons les constantes A et B avec les conditions initiales : x0 = 0 et x'0 = 0

Régressi Windows permet de comparer facilement les solutions numérique et analytique.

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Impédance mécanique

L'équation différentielle du pendule élastique en régime forcé est tout a fait comparable à celle d'un circuit RLC en alternatif. Les courbes d'amplitude et de phase déjà présentées rappellent beaucoup celles obtenues en électricité. Il est donc intéressant d'introduire la notion d'impédance mécanique. Quelques brefs rappels résumant l'introduction de l'impédance en électricité sont nécessaires..

L'équation différentielle du circuit RLC série s'écrit:

En électricité en régime permanent on pose en notation complexe:

Pour l'oscillateur mécanique en régime permanent on écrira:

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3 MANIPULATION