2.3 Oscillations libres avec frottement solide
Pour obtenir un frottement solide on abaissera le petit frotteur enrobé de mousse jusqu'au contact avec le rail. Quelque essais permettront de trouver le bon réglage.
Dans le bilan des forces nous modéliserons la force de frottement solide horizontale qui s'oppose au déplacement de la réglette par:
Le coefficient fs est sans dimensions et compris entre 0 et 1. Nous devrons donc résoudre deux équations différentielles:
En partant de la position de repos, il n'y a déplacement que si |2kx| > fs mg soit à la limite celui-ci s'amorce pour |x| > a = fs mg/2k
Où a représente la distance limite à laquelle on peu déplacer la réglette sans qu'elle revienne vers la position d'équilibre.
Que écrirons dans la page expression de Régressi Windows sous la forme:
Solution analytique par morceaux
Prenons les mêmes conditions initiales que dans l'exemple proposé pour la résolution numérique. x0 = 0.11 m et x'0 = 0 et dans l'exemple a= 0.01 m
Dans un premier temps la vitesse sera donc négative, l'équation à résoudre sera:
Ensuite le mouvement redémarre si x0-2a>a, la vitesse devient positive et l'équation différentielle à résoudre est alors:
Avec une nouvelle origine des temps, déterminons de nouveau A et j:
Pendant la troisième demi période :
Pendant la quatrième demi période :
Pendant la cinquième demi période :
La réglette reste sur place car x = -a
En résumé et en utilisant l'origine des temps initiale seulement
Expérimentalement, nous tracerons ces droites sur les enregistrements. La pente de ces droites sera un excellent moyen pour évaluer le coefficient de frottement.