Equations du système laser.

Introduction

Le but de ce chapitre est de définir un modèle mathématique du fonctionnement du laser. Nous avons donc besoin d'établir le gain du matériau nécessitant la connaissance de l'inversion de population établie à partir du bilan des populations des différents niveaux d'énergie mis en jeu. Cette inversion de population dépend des répartitions spatiales des faisceaux de pompe et laser. Puis nous établirons le bilan énergétique de la cavité laser à partir du gain et des pertes subis par le faisceau.

Equations d'évolution des populations atomiques.


figure 3-1 : Niveaux d'énergie mis en jeu.

Les niveaux d'énergie pris en compte dans la modélisation (voir figure 3-1) sont pour l'erbium le niveau haut et le niveau bas de la transition laser considérée, et le niveau permettant le transfert d'énergie de l'ytterbium vers l'erbium. Les niveaux supérieurs de l'erbium sont négligés.

sont respectivement les densités d'atomes d'erbium dans les états d'énergie E1, E2 et E3.

sont respectivement les densités d'atomes d'ytterbium dans les états d'énergie E'1 et E'3.

[s-1] est le taux de désexcitation du niveau i vers le niveau j.

[s-1] est le taux de désexcitation du niveau excité de l'ytterbium vers le niveau fondamental.

[m2] est la section efficace d'absorption de l'ytterbium à la longueur d'onde de pompe.

[m2] est la section efficace d'émission induite à la longueur d'onde laser.

[m-2s-1] est le flux de photon de pompe en un point du matériau à un instant donné.

[m-2s-1] est le flux de photon laser en un point du matériau à un instant donné.

Ner [m-3] est la densité d'atomes d'erbium dans le matériau.

Nyb [m-3] est la densité d'atomes d'ytterbium dans le matériau.

k [m3s-1]est le coefficient de transfert d'énergie du niveau 3' de l'ytterbium vers le niveau 3 de l'erbium.

A partir du schéma des niveaux d'énergie de la figure 3-1, les populations des niveaux sont régis par les équations:

équation -13-1

équation 3-2


équation 3-3




est la densité d'atomes d'ytterbium excités par les photons de pompe.

kN'3N1 : transfert d'énergie du niveau E'3 de l'ytterbium vers le niveau E2 de l'erbium :

Ni: désexcitation spontanée du niveau Ei vers le niveau Ej.

: émission stimulée du niveau E2 de l'erbium vers le niveau fondamental E1.

Hypothèses simplificatrices.

La durée de vie du niveau E3 de l'erbium est très petite devant la durée de vie des autres niveaux mis en jeu. On peut donc considérer que le niveau E3 de l'erbium est toujours vide.

N3=0 donc N1+N2+N3=Ner devient :

équation 3-4



et l'inversion de population N =N2-N1 correspond à :

équation 3-5



Calcul de l'inversion de population

En régime stationnaire, les variations temporelles de toutes les variables sont nulles : .

D'après l'équation -13-1 et l'équation 3-4, on a :

équation 3-6

et à partir des équations 3-2 et 3-4, nous avons :

équation 3-7

avec .

Ainsi , les équations 3-3, 3-6 et 3-7 permettent d'écrire :

.

équation 3-8



La résolution des équations 3-8 et 3-5 permet d'obtenir la population sur le niveau 2 :

équation 3-9

avec : , et

A partir de l'équation 3-9, nous sommes donc capables d'obtenir . Mais l'inversion de population dépend des flux de photons de pompe et laser. Il faut donc les définir.

Expression des flux de photons

Les flux de photons dépendent des variables spatiales et temporelles. Le flux de photons correspond à la densité de photons présents dans la cavité multipliée par la vitesse de l'onde optique ainsi créée dans le milieu considéré :

où n est l'indice du matériau traversé. La densité de photons est le nombre de photons N présents dans la cavité multiplié par la probabilité de présence d'un photon à un endroit donné de la cavité :

.

On obtient : .

Le nombre N de photons présents dans la cavité ne dépend que du temps alors que la probabilité de présence d'un photon à un endroit donné de la cavité ne dépend que de la position dans la cavité :

.

figure 3-2 : Définition des axes de la cavité.

Dans la cavité, le flux total est la somme du flux de photons se propageant dans la direction des z croissants en considérant le miroir d'entrée de la pompe et du flux se propageant dans la direction opposée après réflexion sur le miroir de sortie :

.

La probabilité de présence d'un photon à un endroit donné est naturellement définie par :

.

Expression du flux de photons laser .

est le flux de photons laser en un point et à un instant donné.

Le nombre de photons NL sera supposé indépendant de la variable longitudinale z (le gain et les pertes sont faibles). .

Répartition spatiale uniforme.

Si la répartition spatiale est uniforme, on a : et donc où S est la section droite, la la longueur du volume V de la cavité laser et na l'indice du matériau.

On obtient donc :

.

équation 3-10

où na est l'indice optique du matériau actif.

Répartition spatiale gaussienne

Si la probabilité de présence d'un photon laser suit une distribution de type gaussienne :

équation 3-11

avec leff la longueur optique de la cavité et wl le rayon à de la gaussienne.

Le nombre de photons sortant de la cavité est , la puissance laser de sortie est donc .

D'où :

équation 3-12

où h est la constante de Planck, est la longueur d'onde laser et est le terme de la durée de vie des photons dans la cavité associé aux pertes introduites par le miroir de sortie (voir paragraphe 3.5).

Expression du flux de photons de pompe .

Si l'on considère que la face de sortie du matériau actif présente un coefficient de réflexion Rp à la longueur d'onde de pompe, on a :

équation 3-13

Le nombre de photons de pompe se propageant dans le sens positif est la puissance de pompe divisée par l'énergie d'un photon de pompe :, mais il est aussi égal à l'intégrale sur la surface d'entrée du flux de photons de pompe se propageant dans le sens positif :

.

équation 3-14

De la même façon le nombre de photons absorbés sur le trajet négatif est

équation 3-15

où Pp est la puissance de pompe incidente, Pres est la puissance de pompe restante après absorption sur le trajet positif, Sent est la surface d'entrée du matériau actif et Ssor est la surface de sortie.

Répartition spatiale uniforme.

On considère une probabilité uniforme de présence d'un photon de pompe à un endroit donné. La répartition est donc homogène sur l'ensemble du matériau.

On a donc .

La puissance déposée dans le matériau ayant un coefficient d'absorption sur une longueur la est :

.

Si l'on répartit de manière homogène cette puissance sur la longueur la, on obtient : donc :

équation 3-16

est la longueur d'onde de pompe.

Répartition spatiale gaussienne

Considérons une probabilité de présence d'un photon de pompe de type gaussienne sur une section droite (x,y) et de type absorption exponentielle suivant l'axe de propagation.

Nous pouvons écrire :

équation 3-17

où wp est le rayon à du faisceau gaussien et la est la longueur du matériau actif.

D'après l'équation 3-14, on a :

.

On obtient donc :

équation 3-18

.

équation 3-19

D'après l'équation 3-15, on a :

.

équation 3-20

D'après l'équation 3-13, on a :

.

équation 3-21

Une représentation graphique de pour une longueur de matériau de 500 µm, une longueur de cavité de 500 µm et un coefficient d'absorption de 27 cm-1 est donnée sur la figure 3-3.

figure 3-3 : Représentation graphique de ,et de pour une longueur de matériau de 500 µm, une longueur de cavité de 500 µm et un coefficient d'absorption de 27 cm-1.

Nous avons donc obtenu l'inversion de population N. Maintenant il nous faut dresser un bilan énergétique entre le gain et les pertes subis par le matériau en cavité laser.

Equation d'évolution de la densité de photons laser

Le nombre de photons créés par émission stimulée grâce à l'inversion de population N dans un volume élémentaire dV est :

.

Le nombre total de photons créés par unité de temps dans un volume V est donc :

.

Si NL est le nombre de photons laser présents dans la cavité, la variation par rapport au temps de NL est le nombre de photons créés par émission stimulée par unité de temps moins le nombre de photons perdus par unité de temps.

équation 3-22

cav dépend des pertes et de la longueur optique de la cavité :

équation 3-23

avec c0 vitesse de la lumière et leff longueur optique de la cavité.

Ce paramètre cav peut s'apparenter à une pseudo durée de vie des photons dans la cavité car si à t=0, il y a N photons présents dans la cavité à t=cav il restera photons dans la cavité.

Ce terme peut être décomposé en deux termes : un terme lié au coefficient de réflexion du miroir de sortie et un terme lié aux autres pertes éventuelles (pertes par diffraction ...) , , où p représente toutes les pertes subies par le faisceau excepté les pertes dus au coefficient de réflexion du miroir de sortie.

équation 3-24

Conclusion

Nous avons donc déterminé le gain du matériau en calculant son inversion de population et en faisant intervenir les profils spatiaux des faisceaux de pompe et laser (uniformes ou gaussiens). Nous avons dressé le bilan énergétique de la mise en cavité laser de ce matériau. à partir de ces différentes équations, nous présentons dans le chapitre suivant le fonctionnement de ce laser en régime continu (équations stationnaires) avec des faisceaux à répartition spatiale uniforme ou gaussienne et en régime déclenché pour des faisceaux à répartition spatiale uniforme.

Chapitre suivant

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