Plan

0. Calcul des dérivées
1. Développements en série de puissance
2. Calcul des expressions indéterminées
3. Calcul différentiel
4. Différentielles d’ordre supérieur
5. Différentielles des fonctions de plusieurs variables indépendantes
6. Calcul intégral
7. Equations différentielles
8. Les différents repères
9. Eléments d'analyse vectorielle
10. Analyse de Fourier

Note de l'auteur
Il ne s'agit pas d'un cours de Mathématiques mais simplement d'un document pratique pour aider l'étudiant dans les développements de calcul liés aux apprentissages de la Physique.

Rappel : soit une fonction ; on appelle dérivée de la quantité égale à .

Soit une fonction définie pour des intervalles de variation de x où elle ne devient pas infinie et où les dérivées existent.

Théorème des accroissements finis : Pour une telle fonction, il existe toujours une abscisse c comprise entre a et b telle que :

;

;

Remarques :

• Les séries obtenues sont soumises à des conditions de convergence que nous ne développons pas ici ; on montre que les trois premières séries données sont valables pour tout x, la quatrième pour -1 < x < 1,
• En fait, l'utilisation première du Physicien est le développement limité où

Premier moyen : Il suffit de développer le numérateur et le dénominateur en série de Mac-Laurin et de simplifier.

se présente sous la forme , alors démonstration à partir du théorème des accroissements finis.

Par exemple,

Les infiniment petits. Un infiniment petit est une quantité variable qui tend vers 0.

Exemples,

• quand x tend vers 0 tend aussi vers 0, c’est donc un infiniment petit
• quand x tend vers 0 tend aussi vers 0, c’est donc un infiniment petit.

sont des infiniment petits équivalents si la limite du rapport tend vers 1, quand tendent vers 0.

L’infiniment petit est équivalent à l’infiniment petit équivalent à x quand alors que l’infiniment petit est équivalent à .

ne sont des infiniment petits équivalents quand .

La petitesse d’une grandeur est relative. Une minute comparée à une heure est très petite, mais une minute comparée à une seconde est très grande.
Dans le calcul différentiel, on appelle dx une très petite variation algébrique donnée à la variable x. On peut la prendre aussi petite que l’on veut, mais elle est fixe et il n’est pas question de la faire tendre vers 0 comme un Dx.
On ne doit pas confondre :
variation algébrique de x infiniment petite mais non nulle et variation algébrique de x , grande ou petite, que l'on peut faire tendre vers la valeur nulle.

En effet, soit par exemple,

; ;

Appliquons la formule de Taylor

On appelle différentielle de y ou de f(x) la quantité dy = y’dx ou df = f’(x)dx

est une variation algébrique, infiniment petite de qui pourrait être nulle dans le cas particulier d'une fonction constante.
L'introduction de la notion de différentielle permet d'écrire :

Application de la définition : ;

Différentielles d’une somme, d’un produit, d’un quotient

Soient u et v des fonctions de x.

Soit y = f(u) avec u = u(x)

• On chauffe un disque en métal et son rayon croît à la vitesse de 1 mm par seconde. Calculer la vitesse à laquelle croît la surface S du disque si le rayon R = 10 cm ?

• Différentielles des fonctions paramétriques

• Différentielle logarithmique

Exemple :

Nous avons vu que la différentielle de y = f(x) est dy = y’ dx où dx est aussi petit que l’on veut mais fixé.

Nous cherchons la différentielle de dy c’est à dire d(dy) que nous noterons (prononciation " d deux y ").

Par définition, = (dérivée de dy).dx (dérivée de dy) = (y’dx)’ = y’’dx

On aurait de même

En Physique, nous avons souvent à étudier les fonctions de plusieurs variables indépendantes. Nous limitons à deux variables indépendantes notées x et y mais les résultats sont facilement généralisables.
Soit une fonction f(x, y), nous appellerons différentielle de f (notation df) la quantité est la dérivée de f par rapport à x, la variable y étant considérée comme une constante dans la dérivation (prononciation d rond f sur d rond x).
La différentielle apparaît comme la somme des différentielles partielles.
Un grand nombre de mathématiciens prennent a priori cette formule comme définition de la différentielle et ne la démontrent pas. Que les esprits ... rigoureux sachent qu’elle se démontre.

Théorème : soit une fonction de deux variables f(x, y), on a toujours
Pour le calcul de la dérivée seconde croisée l’ordre de dérivation importe peu ; que l’on commence par x et que l’on continue par y, ou que l’on commence par y et que l’on continue par x, le résultat est le même.

Soit une forme différentielle A(x, y) dx + B(x, y) dy différentielle d’une fonction f(x, y) c’est à dire telle que df = A(x, y) dx + B(x, y) dy, alors par définition de la différentielle d’une fonction f(x, y) nous avons,

Le théorème sur les dérivées croisées nous permet d’établir la relation très importante de Cauchy,

La conséquence de cette relation est simple mais, oh combien importante.

Soit une forme différentielle A(x, y) dx + B(x, y) dy,

• les coefficients A(x, y) et B(x, y) obéissent à la relation ci-dessus, alors il existe une fonction f(x, y) telle que df = A(x, y) dx + B(x, y) dy.

On dit que la forme différentielle A(x, y) dx + B(x, y) dy est une différentielle totale exacte.

• les coefficients A(x, y) et B(x, y) n’obéissent pas à la relation ci-dessus, alors la fonction f(x,y) n’existe pas.

La forme différentielle A(x, y) dx + B(x, y) dy n’est pas une différentielle totale exacte.

En Physique,

• nous montrons l'existence de formes différentielles qui sont des différentielles totales exactes, nous les notons d f et nous sommes amenés à calculer la fonction f(x, y).

En Thermodynamique, c’est le cas de ce que nous appellons les fonctions d’état : par exemple, la fonction U (énergie interne), ou la fonction H (enthalpie) ou la fonction S (entropie) ou ...

• nous avons des formes différentielles qui ne sont pas des différentielles totales exactes, nous les notons d g ce qui veut dire que la fonction g(x, y) n’existe pas.

En Thermodynamique, c'est le cas de d W et d Q qui sont des quantités, respectivement de travail et de chaleur, élémentaires (aussi petites que l’on veut) échangées.

• 
  ;

Il existe une fonction f(x, y) telle que que nous apprendrons à calculer.

• 
  ;

Il n’existe pas de fonction g(x, y) et la notation sera

Le calcul intégral est l’opération inverse du calcul différentiel à savoir,

• trouver une fonction f(x) dont la dérivée
• en notation différentielle, ceci peut se dire, trouver une fonction f(x) dont la différentielle est df = f’(x) dx.

La notation pour cette opération est la suivante : (prononciation somme de ou primitive de f’(x) dx)

. Cette primitive est faite en traitant y comme une constante si bien que la constante d’intégration peut être fonction de y.

En reportant le résultat précédent, on obtient :

où il faut bien comprendre que F(x, y) est une primitive par rapport à x de A(x, y) et que la variable x s’est éliminée dans .

• Nous prenons, à titre d’exemple,

Remarque : Très souvent, en Thermodynamique, A(x, y) ne sera fonction que de x et B(x, y) que de y.
Alors
Le calcul se ramène à celui de deux primitives ordinaires.

On appelle intégrale curviligne l’expression suivante,
d’un point I à un point F suivant une courbe d’équation h(x, y) = 0.

En Thermodynamique, on dit d’un état initial I à un état final F suivant une transformation.
Le calcul direct se fait en remplaçant y et dy en fonction de x et de dx à partir de h(x, y) = 0 dans l’intégrale curviligne et le calcul devient celui d’une intégrale simple.

• Le cas particulier où mérite d’être étudié.

c’est à dire que le résultat ne dépend pas de la courbe, il ne dépend que des points I et F (en Thermodynamique, nous dirons que le résultat ne dépend pas de la transformation et qu’il ne dépend que des états initial et final).
Dans ce cas, nous disposons de deux méthodes pour calculer l’intégrale curviligne.

On appelle équation différentielle une relation de type . D'une manière générale, on ne connaît que très peu de solutions analytiques des équations différentielles.
L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre de la dérivée la plus élevée.

• Il est intéressant de penser à séparer les variables, c'est à dire isoler la variable y à gauche du signe égal et la variable x à droite. Lorsque ceci est possible, il suffit ensuite de procéder au calcul de deux primitives.

Exemple : ð ð

L'intégration d'une équation différentielle du première ordre fait apparaître une constante d'intégration que l'on calcule en Physique à partir d'une condition limite

• Une équation différentielle du premier ordre est linéaire s'il est du type . La solution générale avec le second membre , compte tenu de la linéarité de l'équation, est égale à la somme de la solution générale sans second membre et d'une solution particulière

Exemple :

Solution générale sans le second membre : ð ð ð

Solution particulière :

• on peut s'apercevoir que est une solution particulière, la solution générale est :
• on pose ð

La constante K (ou C) est à déterminer à partir d'une condition limite

Nous limitons nos propos aux équations différentielles du second ordre linéaires à coefficients constants avec second membre, soit .

La linéarité entraîne

• En ce qui concerne le second membre, il se présente, pour les cas réels, sous la forme d'une constante, d'un polynômes en puissance de x ou d'une combinaison linéaire de cosinus et sinus du groupement

• est l'équation différentielle sans second membre pour laquelle on cherche des solutions sous la forme

En remplaçant, on forme l'équation caractéristique qui a deux solutions et . La solution s'écrit alors .

En explicitant suivant les valeurs de ,

• ð
• ð
• ð

 ;  ;

 ;  ;

 ;

Prérequis : le produit scalaire, le produit vectoriel.

Produit mixte :

Double produit vectoriel :

Soit une fonction f(x, y, z) c’est à dire une fonction des trois variables cartésiennes x, y et z.

Par définition où sont les vecteurs unitaires de la base cartésienne habituelle (prononciation : gradient de la fonction f au point M(x, y, z)).

Soient le vecteur position et

Coordonnées cylindriques :

Coordonnées sphériques :

Soit un vecteur où les composantes sont des fonctions des variables x, y et z.

Par définition

Coordonnées cylindriques :

Coordonnées sphériques :

Soit une fonction f(x, y, z) c’est à dire une fonction de trois variables indépendantes x, y et z.

Par définition Propriété :

Coordonnées cylindriques :

Coordonnées sphériques :

Par définition

Coordonnées cylindriques :

Coordonnées sphériques :

Remarque : tous ces opérateurs sont linéaires

Par définition

Ainsi, , ,

;

Théorème d'Ostrogradsky :  ; S est la surface fermée contenant le volume  ; est orienté vers l’extérieur de la surface fermée S.

Théorème de Stokes :  ; la surface S est quelconque s’appuyant sur le contour  ; est orienté suivant la règle dite du " tire-bouchon " par rapport au sens de parcours de .

Formules du gradient :  ;

Formule du rotationnel :

Formules de Green :  ;

Soit fonction réelle ou complexe de la variable réelle t, périodique de période , présentant sur l’intervalle un nombre fini de discontinuités, de maxima et de minima, et telle que ait une valeur finie.

On peut décomposer en série de Fourier, c’est à dire écrire sous la forme :

avec :  ;  ; la formule donnant est valable pour soit

Le terme correspond au fondamental, les autres termes sont appelés harmoniques.

L’importance relative des différents harmoniques est déterminée par .

Sous forme complexe, les formules ci-dessus peuvent s’écrire :
avec

 ;

Soit fonction réelle ou complexe de la variable réelle t ; la fonction est supposée de carré sommable, c’est à dire que a une valeur finie.
On montre que peut s’écrire sous la forme :

avec

La fonction est la transformée de Fourier de la fonction .

Ces formules montrent que la représentation d’une fonction par superposition de fonction sinusoïdales n’est pas limitée aux fonctions périodiques.
Une mention particulière doit être faite pour des fonctions périodiques ou pseudo-périodiques de pulsation sur une durée .
Le spectre de Fourier de telles fonctions correspond à un ensemble de sinusoïdes dont les pulsations appartiennent principalement à l’intervalle avec .
Ainsi le seul fait de limiter dans le temps une sinusoïde élargit le spectre de fréquences. Ce résultat surprend, mais il constitue un des aspects fondamentaux de la transformée de Fourier.