Analyse d'un portrait de phase

Considérons un oscillateur possédant un seul degré de liberté, car assujetti à une trajectoire (rectiligne ou curviligne). Le repérage de sa position se fait à l'aide d'une coordonnée (abscisse x, angle θ, abscisse curviligne s, etc...).

L'état mécanique de cet oscillateur à un instant donné est complètement déterminé par la connaissance de sa position et de sa vitesse, elles mêmes calculables à l'aide de l'équation différentielle du mouvement et des conditions initiales.

Cet état mécanique peut être représenté sur un graphe (vitesse, position), appelé "portrait de phase".

Dans le cas présent ce graphe est à deux dimensions, donc facilement représentable, mais dans le cas d'un système à deux degrés de liberté, l'espace des phases serait de dimension 4, et pour un système à trois degrés de liberté, de dimension 6.

Pour des raisons d'homogénéité, s'il s'agit d'un oscillateur de pulsation propre ω0, nous porterons en ordonnées la quantité v/ω0, homogène à une longueur, et tracerons le graphe en axes orthonormés. Ainsi la trajectoire de phase d'un oscillateur harmonique non amorti sera une ellipse (ou un cercle, selon l'échelle), décrite dans le sens horaire : voir cette page.

Observons maintenant différentes caractéristiques de ce portrait :

  1. Position d'un point M dans l'espace des phases
  2. Longueur OM
  3. Vitesse dans l'espace des phases

Position dans l'espace des phases

La lecture des coordonnées d'un point M de l'espace des phases donne directement la vitesse et la position du mobile.

La trajectoire décrite par M donne l'évolution du système au cours du temps. On peut reconnaître quelques caractères généraux :

- lorsque l'oscillateur est amorti, la trajectoire converge inexorablement vers un point, de l'axe des abscisses (position d'équilibre) ;

- lorsque l'oscillateur est entretenu, la trajectoire converge vers une trajectoire limite, correspondant à un régime permanent (cycle limite) ;

- un système instable n'a pas de trajectoire limite ;

Longueur OM

Un calcul simple montre que l²= x²+ v²/ω0² = 2/k*(1/2 mv²+ 1/2 kx²) = 2/k*Energie mécanique de l'oscillateur harmonique.

Une variation de la longueur OM traduit une variation de l'énergie mécanique de l'oscillateur.

On peut donc "lire" sur le portrait de phase les pertes ou gains d'énergie (frottement ou au contraire entretien des oscillations).

"Vitesse" dans l'espace des phases

On peut associer à la trajectoire de phase un vecteur vitesse. Ce vecteur vitesse a pour abscisse la vitesse et pour ordonnée l'accélération, c'est-à-dire, au facteur m (masse) près, la résultante des forces.

Examinons les cas particuliers :

Pour voir des animations, c'est là :
  1. l'oscillateur harmonique
  2. le pendule pesant
  3. l'oscillateur de Van Der Pol