Plan

1. Fonction de distribution du vecteur vitesse
2. Fonction de distribution du module de vitesse
3. Calcul d’une valeur moyenne
4. Retour sur la loi de distribution des vitesses
5. Pression d’un gaz parfait
6. Le facteur de Boltzmann
Intégrales

Pour un gaz en état d’équilibre, posons la question suivante :
Quelle probabilité existe qu’une molécule ait ses composantes de vitesse comprise entre v_x et v_x + dv_x , v_y et v_y + dv_y , v_z et v_z + dv_z (repère cartésien habituel) ?

Cette probabilité d³P dépend de (c’est à dire v_x , v_y , v_z ) et de dv_x , dv_y , dv_z . Elle ne dépend pas de la position de la molécule puisque le gaz est en équilibre.
Nous postulons que d³P est proportionnelle à chacun des intervalles dv_x , dv_y , dv_z .

Il n’y a pas de direction privilégiée. Nous pouvons faire une rotation circulaire des axes cartésiens, la probabilité sera inchangée (isotropie de l’espace).
La fonction ne dépend pas du vecteur , au mieux elle dépend de l’intensité de vitesse v.

Soit dP_x la probabilité pour une molécule d’avoir sa composante suivant l’axe Ox comprise entre v_x et v_x + dv_x .
de même et

L’isotropie de l’espace impose

La loi des probabilités composées implique :

Déterminer les fonctions f et j relève de la méthodologie mathématique suivante :
avec

En réorganisant, on obtient :

Le membre de gauche dépend de v c’est à dire de v_x , v_y , v_z , celui de droite uniquement de v_x . Le résultat ne peut être qu’une constante que nous notons a .
Il suit que :

Soit, et des expressions identiques pour .

Alors

Remarquons que a est nécessairement négatif sinon la probabilité pour une molécule d’avoir une composante de vitesse infinie serait infinie ce qui voudrait dire que toutes les molécules seraient à vitesse infinie et que l’énergie serait infinie !!!
Nous posons a / 2 =-B avec B > 0.

La probabilité pour une molécule d’avoir une composante de vitesse comprise entre - et + ou une intensité de vitesse comprise entre 0 et + est égale à 1 (100% de chances).
Ainsi,

Nous avons parlé en terme de probabilité. Un langage équivalent consiste à chercher, dans une enceinte contenant N molécules, le nombre dN de molécules ayant certaines caractéristiques, à savoir par exemple, le nombre de molécules ayant une composante de vitesse comprise entre v_x et v_x + dv_x .
Ce nombre est égal à :

Quelle est la probabilité dP(v) pour une molécule d’avoir une intensité de vitesse comprise entre v et v+dv ? ou combien y a t’il de molécules dN(v) dans une enceinte contenant N molécules ayant une intensité de vitesse comprise entre v et v+dv ?
Pour répondre à cette question, nous nous plaçons dans l’espace des vitesses c’est à dire un repère cartésien de coordonnées Ov_x , Ov_y , Ov_z .

Dans l’espace des vitesses, nous délimitons une portion d’espace comprise entre la sphère de rayon v + dv et la sphère de rayon v, de volume égal à .
La probabilité d³P est proportionnelle à c’est à dire au volume élémentaire dans l’espace de vitesse. Pour obtenir dP(v), nous devons intégrer d³P à tous les vecteurs vitesse possibles c’est à dire ayant leur extrémité entre les deux sphères.
Cette intégration est particulièrement simple puisque l’intensité v de la vitesse dans cette espace est constante.

On obtient donc :

et aussi, dans une enceinte contenant N molécules, le nombre de molécules dN(v) ayant un module de vitesse compris entre v et v + dv : dN(v) = N dP(v).

La valeur moyenne <G> d’une grandeur G est le produit de G multiplié (pondérée) par la probabilité d’obtenir G intégré à toutes les valeurs possibles de cette grandeur.

Ainsi, et

Remarque :

La mesure, pour un gaz parfait monoatomique, de la capacité calorifique à volume constant, conduit à :

Si nous formulons l’hypothèse que la partie de l’énergie liée à la température est due à l’agitation cinétique des molécules, nous pouvons écrire :
ð

Nous disposons de deux expressions de la vitesse quadratique moyenne.

Les expressions de distribution des vitesses deviennent :

On a vu (3.1.2.) l’interprétation microscopique de la pression liée aux chocs des molécules sur une paroi.

Nous considérons le choc des molécules sur un élément de paroi dS que nous prenons arbitrairement perpendiculaire à l’axe Ox. Le gaz étant en état d’équilibre, toutes les directions sont équivalentes.

Combien de molécules de vecteur vitesse frappent la paroi dS pendant un temps dt ?
Elles sont contenues dans un cylindre de base dS, de génératrice parallèle à de longueur . Le volume de ce cylindre est égal à .
Le nombre de molécules sera si N est le nombre de molécules contenues dans l’enceinte de volume V.
La quantité de mouvement transmise à la paroi par ces molécules est que nous devons intégrer à toutes les molécules venant frapper la paroi.
Soit

Les deux premières intégrales sont égales à 1, la troisième à

En appliquant le principe fondamental de la dynamique, on obtient la pression à partir de

Nous avons introduit la notion de degré de liberté (possibilité d’énergie indépendante) et avons trouvé que, dans le cas du mouvement de translation suivant un axe, par exemple Ox, le nombre de molécules ayant une composante de vitesse v_x est proportionnel à .
représente l’énergie E suivant ce degré de liberté.

• L’étude de l’équilibre de l’atmosphère terrestre supposé isotherme a conduit au résultat . Nous trouvons là une application du facteur de Boltzmann.
• La généralisation du résultat n’est acceptable que pour des degrés de liberté indépendants.

Remarque : Certains trouveront désuet, dépassé, ce cours sur la loi de distribution des vitesses de Maxwell (appelé aussi Théorie cinétique des gaz parfaits), pire réducteur dans la formation d’un étudiant puisqu’il ne met pas en évidence qu’au sens quantique, la Physique est probabiliste par essence.
Le raisonnement probabiliste de Maxwell est induit par l’incapacité à connaître pour un très grand nombre de particules leur position et leur vitesse à chaque instant. Ce raisonnement ne remet pas en cause le déterminisme en Physique à savoir, à chaque instant, chaque particule possède une position et une quantité de mouvement fixées. Le raisonnement de Maxwell est probabiliste par ignorance.
La mécanique quantique et l’inégalité de Heisenberg infirment la possibilité de connaissance exacte de la position et de la quantité de mouvement d’une particule –on doit introduire la notion d’occupation d’une case de dimension finie dans l’espace de phase, et de saut pour passer d’une case à une autre. Le raisonnement probabiliste devient incontournable et la Physique est probabiliste par essence.
Cette nouvelle façon d’appréhender la Physique s’est développée à partir du début du 20^ème siècle, nous la croyons trop récente pour être enseignée trop vite à des étudiants qui ne maîtrisent pas suffisamment de connaissances en Physique …d’autant que notre sens commun, au niveau macroscopique, est essentiellement déterministe.

Intégrales avec

Nous intégrons par parties en posant

Nous obtenons une relation de récurrence

A ce stade, nous devons calculer I₁ et I₀ .

Le calcul de I₀ est plus complexe.

et