Exercices de Thermodynamique avec des gaz parfaits

Exercices de Thermodynamique avec des gaz parfaits

Méthodologie commune aux exercices ci-après

1 – On considère un gaz parfait pour lequel .

1) Calculer l'énergie interne U et l'entropie S. On exprimera S avec les trois couples de variables (T, V), (T, p) et (p, V).

2) Comment sont affectés les résultats des questions 1) et 2) si dépend de la température.

3)a) Montrer que dans le cas d’une transformation réversible isotherme à la température de la pression à la pression , on peut calculer les quantités de travail et de chaleur échangées par le gaz parfait par deux méthodes différentes.
3)b) Comment pourrait-on calculer l’entropie créée dans le cas d’une transformation isotherme irréversible à température , la pression étant appliquée brutalement sur la face extérieure du piston.
3)c) Comparer travail de compression isotherme réversible et irréversible. Comparer travail de détente isotherme réversible et irréversible. On pourra prendre à titre d'exemple

2 - Une masse d’air (assimilé à un gaz parfait) occupe un volume la pression atmosphérique et à la température . On la comprime par une opération réversible jusqu’à une pression .

1) En supposant que, pendant cette compression, la température du gaz soit maintenue constante, calculer le travail échangé pour effectuer la compression. Calculer la variation d’énergie interne et la quantité de chaleur échangée pendant cette compression.

2) En supposant que la compression soit faite de manière adiabatique, calculer le volume final et la température finale de l’air. Calculer le travail échangé, montrer qu’il s’exprime en fonction des températures finale et initiale. Retrouver ce résultat par la considération de l’énergie interne.

3) On comprime adiabatiquement le gaz, en partant du même état initial, jusqu’à une pression p’ , puis on le laisse refroidir sans changer son volume jusqu’à la température ambiante . On veut, après refroidissement, obtenir de l’air à la pression .
Calculer la pression p’ , le travail échangé au cours de la compression adiabatique, ainsi que la chaleur échangée pendant le refroidissement.

A.N.

| Réponse 1 | Réponse 2 | Réponse 3 |

3 - On considère une mole de gaz parfait diatomique initialement dans l’état 0 (; ; ).
On amène ce gaz dans l’état 1 (; ; ) de deux manières différentes :

a / par compression adiabatique réversible,

b / par compression isotherme réversible jusqu’à la pression puis échauffement à pression constante jusqu’à la température .

1) Représenter les évolutions a / et b / sur un diagramme (p en ordonnées, V en abscisse)

2) Calculer les travaux et les quantités de chaleur au cours de chacune des évolutions. Conclusions.

| Réponse 1 | Réponse 2a | Réponse 2b |

4 - On dispose dans un cylindre fermé par un piston une certaine masse d’un gaz parfait diatomique (). Les parois du cylindre et du piston sont isolées et supposées imperméables à la chaleur. Dans les conditions initiales, le volume occupé par le gaz est , la pression est et la température .

1) Calculer la capacité calorifique relative à cette masse de gaz.

2) On comprime ce gaz de manière réversible jusqu’à .
2)1) Dans quelle(s) condition(s) la réversibilité est-elle réalisée ?
2)2) Calculer .
2)3) Calculer le travail au cours de l’évolution.

3) On comprime maintenant le gaz en partant du même état initial () mais en appliquant brutalement .
3)1) Que peut-on dire de la transformation ?
3)2) Exprimer le travail échangé par le système de deux manières différentes.
3)3) En déduire la valeur de en fin d’évolution ainsi que . Comparer ces résultats à ceux de la question 2). Expliquer la différence.

4) On suppose que l’on retire l’isolant thermique qui entourait le cylindre, les parois deviennent perméables à la chaleur. On réalise un refroidissement isobare de l’état () à l’état ().
Calculer la quantité de chaleur échangée au cours de cette transformation.

5 - Un cylindre indéformable dont les parois sont isolées thermiques contient de l’azote (assimilé à un gaz parfait) réparti dans deux compartiments A et B séparés par un piston également adiabatique. Ce piston peut se mouvoir sans frottement. Le compartiment A contient de gaz, le compartiment B contient de gaz.
Dans A, une résistance électrique de capacité calorifique négligeable permet de chauffer le gaz. La transformation subie par le gaz du compartiment B sera considérée comme réversible.

1) Initialement, la température et la pression sont les mêmes dans les deux compartiments. Calculer le volume V du cylindre.

2) A reçoit une quantité de chaleur Q. Ecrire les variations d’énergie interne du système complet en appelant la température finale dans A et la température finale dans B. En déduire la pression finale p.

3) Que peut-on dire de l’évolution subie par le gaz dans le compartiment B ?
En déduire puis .

A.N. ; ; ;

| Réponse 1 | Réponse 2 | Réponse 3 |

6 - On désire refroidir une mole de gaz parfait diatomique en lui faisant subir une suite de compressions isothermes suivies de détentes adiabatiques. Ce gaz est contenu dans un cylindre fermé par un piston glissant sans frottement. Initialement, le gaz est à la température et sa pression est .
Justifier la valeur de .

1) Dans une première opération on comprime le gaz de manière isotherme réversible jusqu’à la pression puis on le détend de manière adiabatique réversible jusqu’à .
1)1) Quelle est la température en fin d’évolution adiabatique ?
1)2) Calculer la quantité de chaleur et le travail mis en jeu au cours de l’évolution isotherme, ainsi que le travail mis en jeu au cours de l’évolution adiabatique. En déduire le travail total W reçu par le gaz au cours de cette première opération.
Calculer la variation d’entropie au cours de cette première opération.

2) Le gaz étant dans l’état on recommence la même opération (compression isotherme réversible jusqu’à , puis détente adiabatique réversible jusqu’à ).
2)1) Donner l’expression de la température obtenue à la fin de la n^ième opération.
2)2) Pour quelle valeur de n le gaz atteint-il une température inférieure ou égale à 100K?
2)3) Calculer la variation d’entropie après n opérations.

3) On suppose maintenant qu’au cours de chaque opération, la compression isotherme et la détente adiabatique sont irréversibles (pour cela, on soumet le piston à la pression extérieure tout au long de l’évolution isotherme puis on le lâche de façon qu’au cours de la détente adiabatique de à la pression appliquée soit constamment la pression atmosphérique ).
Calculer le travail et la chaleur mis en jeu au cours de la première compression isotherme. Comparer à et trouvés en 1)b), expliquer la différence.
Calculer la température obtenue à la fin de la première détente adiabatique ainsi que le travail échangé par le gaz au cours de cette détente. Comparer ces résultats à ceux obtenus quand la détente adiabatique était réversible. Conclusions ?
Calculer la variation d’entropie après la première compression isotherme et la première détente adiabatique. Calculer les entropies créées dans la compression isotherme et dans la détente adiabatique.

7 - Un cylindre de section fermé par un piston P₁ de masse négligeable est

Divisé en deux compartiments A et B au moyen d’une paroi mobile P₂ de masse négligeable pouvant se déplacer librement.
Les parois du cylindre et du piston P₁ sont adiabatiques alors que la paroi P₂ initialement adiabatique peut être rendue conductrice de la chaleur au moyen d’un dispositif approprié.
Dans l’état initial le compartiment A contient 2 moles d’hélium (gaz monoatomique), le compartiment B contient 1 mole d’oxygène ( diatomique ). Les deux gaz que l’on supposera parfaits sont à la même température

et le système est en équilibre sous l’action d’une force extérieure s’exerçant sur P₁ .

1) Calculer les volumes et occupés par chaque gaz.

2) On modifie lentement la force extérieure jusqu’à la valeur . Calculer les volumes et occupés par chaque gaz ainsi que la température et . Quel est le travail W échangé. Quels sont les travaux et échangés par chaque gaz.

3) Le système étant dans l’état initial (,) on rend la paroi P₂ conductrice et on réalise à nouveau une compression infiniment lente de à .
Que peut-on dire des transformations subies par chaque gaz et par le système complet ?
Quelle relation lie les paramètres température et pression p au cours de l’évolution ?
Calculer la température d’équilibre finale ainsi que les travaux , et W’ échangés par chaque gaz et par le système dans son ensemble. Comparer ces résultats à ceux en 2).

4) Le système étant dans l’état initial (,) on pratique une ouverture dans la paroi P₂ , les deux gaz se mélangent, la paroi P₂ est déposée au fond du cylindre et ne joue plus aucun rôle. On réalise alors la compression infiniment lente de à .
Que peut-on dire des deux phases successives de l’évolution ?
Que peut-on dire de la température d’équilibre finale et du travail échangé par le système ?

8 - Un réservoir indéformable de volume dont les parois sont adiabatiques est

Muni d’un robinet R permettant de le mettre en communication avec l’air atmosphérique extérieur.
On assimilera ce dernier à un gaz parfait diatomique de masse molaire , de . Justifier ces valeurs.

1) Le réservoir étant rempli d’air à la température dont la pression est .
Calculer la masse d’air qu’il contient.

2) On ouvre brusquement le robinet R de manière à ramener la pression de l’air dans le réservoir à la valeur de la pression atmosphérique .

Expliquer pourquoi on peut considérer que l’air restant dans le réservoir s’est détendu de manière adiabatique quasi-statique. Calculer la température et la masse de l’air restant dans le réservoir à la fin de cette détente.

3) On suppose maintenant que l’on a fait le vide dans le réservoir. On ouvre brusquement le robinet R, l’air pénètre dans le réservoir jusqu’à ce que la pression soit égale à la pression extérieure .
3)1) Expliquer la nature de cette opération et donner une expression littérale du travail W échangé au cours de l’opération (pour cela, on considérera un système constitué de la quantité d’air entrant dans le réservoir).
3)2) Calculer la température de l’air ainsi que le travail W.

4) Le robinet R étant fermé on établit le contact thermique entre l’intérieur et l’extérieur du réservoir en enlevant l’isolant qui protégeait les parois. La température de l’air passe alors de à . Calculer la chaleur et le travail échangés.

9 – Un cylindre horizontal est fermé à l’une de ses extrémités par une paroi fixe F₀ et à l’autre l'extrémité par un piston qui peut coulisser sans frottement le long du cylindre.
Le cylindre est séparé en deux compartiments A et B par une paroi fixe F.
Sur la face extérieure du piston s’exerce la pression atmosphérique qu’on suppose uniforme et constante.

1) Dans la situation initiale le compartiment A de volume contient un gaz parfait diatomique à température , le compartiment B de volume est vide.
Calculer le nombre n de moles dans le cylindre.

2) Les parois du cylindre et le piston sont imperméables à la chaleur et de capacités calorifiques négligeables.
On perce un orifice dans la paroi fixe F.
Le volume est suffisamment grand pour que la pression finale soit inférieure à .
2)1) En déduire, dans l’état final, le volume du compartiment A.
2)2) Calculer par deux méthodes différentes le travail échangé avec l’extérieur par le gaz. En déduire la température finale , la pression finale du gaz et le volume minimal pour que la pression finale reste inférieure à .
2)3) Calculer l’entropie créée. Le résultat est-il conforme au second principe de la Thermodynamique ?

3) On revient aux conditions définies en 1), les parois du cylindre et le piston étant imperméables à la chaleur et de capacités calorifiques négligeables.
est maintenant inférieur à et la pression finale du gaz sera après avoir percé l’orifice.
3)1) Calculer par deux méthodes différentes le travail échangé avec l’extérieur par le gaz. En déduire la température finale .
3)2) Calculer l’entropie créée. Le résultat est-il conforme au second principe de la Thermodynamique ?

4) On revient aux conditions initiales et on bloque le piston. Que se passe t’il lorsque l’on perce l’orifice ? Conclusions.

10 - Expérience de Clément et Desormes

Soit un ballon de volume V muni de deux tubulures, l’une terminée par un robinet, l’autre raccordée à un manomètre rempli d’un liquide de masse volumique m . On néglige le volume des tubulures.

A l’instant initial le ballon est rempli d’un gaz parfait à la température ambiante et la dénivellation du liquide dans le manomètre est h comme indiqué sur le schéma.

1) On suppose que la différence de pression entre le ballon et le milieu extérieur est petite comparée à la pression extérieure . On ouvre le robinet le temps juste nécessaire pour établir l’équilibre des pressions entre le ballon et l’extérieur et on referme le robinet.
Calculer la variation de température du gaz au cours de cette détente.

On laisse ensuite le système échangé de la chaleur avec le milieu extérieur de telle sorte que les températures dans le ballon et à l’extérieur deviennent égales.

2) Donner l’expression de la nouvelle dénivellation h’ du liquide. En déduire l’expression de g en fonction de h et h’.

A.N. ; ;

| Réponse 1 | Réponse 2 |

11 - On considère un récipient fermé par un piston de masse mobile sans

11 - On considère un récipient fermé par un piston de masse mobile sans frottements dans le col vertical de section d’un récipient.
Le récipient contient n moles de gaz parfait dont on cherche à déterminer le rapport .
A l’extérieur, l’air est à pression . A l’équilibre, le volume intérieur du récipient est .

1) Calculer la pression du gaz intérieur à l’équilibre.

2) Le piston est déplacé de sa position d’équilibre et lâché sans vitesse initiale. Les transformations ultérieures sont quasi-statiques mais assez rapides pour être adiabatiques.
2)1) Décrire la nature des mouvements (de faible amplitude) du piston.
2)2) Soit z la position du piston par rapport à sa position d’équilibre. Ecrire la variation de volume du gaz intérieur.
2)3) Trouver une relation entre les variations de volume et du gaz intérieur (ces variations restent faibles devant respectivement V et ).
2)4) En déduire l’équation différentielle du mouvement du piston. Donner l’expression théorique de la période du mouvement. Si est la période, calculer g .
2)5) Que deviendraient ces résultats pour des gaz réels ?

12 - Un cylindre (C), indéformable d’axe horizontal Ox, de section s, a des parois parfaitement calorifugées. Il est séparé en deux compartiments par un piston (P), parfaitement calorifugé, de masse m, mobile sans frottement. Les compartiments 1 et 2 contiennent chacun une mole de gaz parfait, initialement dans l’état ( ).
On prendra constant.

Un opérateur extérieur déplace légèrement le piston et l’abandonne sans vitesse initiale.

1) Expliquer pourquoi les transformations peuvent être prises réversibles.

2) Calculer, en première approximation, les pressions (respectivement de chaque compartiment) en fonction de la position du piston à l’instant considéré.

3) Ecrire pour le piston (P) de masse m le principe fondamental de la dynamique et en déduire la période des oscillations du piston.

On rappelle que

| Réponse 1 | Réponse 2 | Réponse 3 |

13 - La matière étudiée est un gaz parfait diatomique aux températures ordinaires.

1) Indiquer et justifier la valeur de la capacité calorifique molaire à volume constant .

2) Déterminer U et S pour n moles.

3) Les transformations, qui seront supposées réversibles, sont décrites par la relation où est une constante.
3)a) Montrer que, par intégration, on obtient, au cours de la transformation,
3)b) Déterminer les valeurs de correspondant aux transformations isotherme, isobare, isochore et adiabatique. Pour ces valeurs de , expliciter la relation . Commentaires.

14 - Dans ce problème, l’air est considéré comme un gaz parfait constitué de deux gaz parfaits diatomiques dont les proportions en masse sont de 21% de dioxygène de masse molaire et de 79% de diazote de masse molaire .

1)a) Montrer que la masse molaire de l’air est égale à .
1)b) En se limitant à des conditions courantes de températures où les variations de la capacité calorifique molaire à pression constante avec la température sont négligeables, montrer que quelques soient les valeurs de ; en déduire la valeur de .
1)c) Calculer les expressions de l’énergie interne U, de l’enthalpie H et de l’entropie S de ce gaz parfait.

2) Une mole d’air subit une transformation où il évolue d’un état () à un état ().

2)a) Comparer la température dans l’état () à celle dans l’état () ; en déduire les variations d’énergie interne et d’entropie en fonction de .
2)b) On envisage, pour passer de l’état () à l’état (), deux transformations, une transformation réversible isotherme notée 1, une transformation réversible notée 2 (représentée sur la figure ci-contre) où la pression évolue linéairement de à .

Représenter graphiquement la transformation 1 et en déduire que les travaux échangés sont tels que si .
2)c) Calculer [on montrera que, pour la transformation 2, ] à partir de l’expression du travail des forces de pression ; calculer les quantités de chaleur échangées ; montrer qu’il existe une relation simple entre ; pourquoi n’y a t’il pas de relation simple entre ?
2)d) Pour la transformation 2, montrer que la température peut être écrite ; calculer, en fonction de , la température extrémale atteinte dans la transformation 2 et la nature de cet extremum.