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Physique quantique
 
Plan

1. Introduction
1.1. Les faits expérimentaux conduisant à la Physique quantique
1.2. Onde associée à une particule
1.3. Mécanique ondulatoire. Propriétés de la fonction d'onde
2. Les ondes de matière. L'équation de Schrödinger
2.1. Paquet d'ondes libres. Vitesse de phase et vitesse de groupe
2.2. Inégalités d'Heisenberg
2.3. Equation de Schrödinger

Annexe 1 : Les faits expérimentaux conduisant à la Physique quantique

Les illustrations et animations de Geneviève Tulloue

L'atome de Bohr 

                             CABRI

1. Introduction

1.1. Les faits expérimentaux conduisant à la Physique quantique

La nature, corpusculaire ou ondulatoire, de la lumière est discutée depuis longtemps.
Entre la fin du 17ème siècle et jusqu’au milieu du 19ème siècle, les expériences d’interférences lumineuses et de diffraction de la lumière ont permis le développement des théories ondulatoires.

A partir du début du 20ème siècle, des faits expérimentaux, tels que :

mettent en évidence le caractère corpusculaire de la lumière.

1.2. Onde associée à une particule

1.2.1. Les idées de L. De Broglie

L’effet Compton, la théorie du rayonnement du corps noir, l’effet photoélectrique associent à l’onde électromagnétique une corpuscule appelée photon.
La théorie du corps noir introduit les notions de quantification de l’énergie et les nombres entiers en Physique.

L’interprétation des spectres de raies quantifie l’énergie de la particule électron émettrice d’onde électromagnétique par changement de niveau d’énergie.

 ;
L’onde monochromatique plane associée à toute particule s’écrit :

Il doit en être de même en Mécanique : la Mécanique newtonienne ou relativiste est une approximation d’une Mécanique ondulatoire (à construire) si la longueur d’onde associée à la particule est négligeable.

1.2.2. Ordres de grandeurs de longueurs d’ondes associées

Balle de fusil : ð

Proton dans un cyclosynchroton de rayon pour  :  ;

Electron accéléré par une tension U : avec

U en volts

en mètre

0,12

0,037

0,0087

0,0012

Atome : dans la théorie de l’atome de Bohr (qui donne d’excellents résultats dans l’interprétation des spectres de raies de l’Hydrogène), la longueur d’onde associée à l’électron " tournant uniformément autour du proton " de l’atome d’Hydrogène est égale à alors que le rayon orbital est égal à .
La théorie de l’atome de Bohr (qui donne d’excellents résultats) n’a pas grand sens : il convient de considérer l’aspect ondulatoire de l’électron dans l’atome d’Hydrogène.

1.2.3. Preuves expérimentales directes du bien fondé des idées de De Broglie

Expérience de Davisson et Germer (diffraction d’électrons)

 

Le faisceau d’électrons émis par la cathode est accéléré par la différence de potentiel V de telle sorte que .
Les électrons se réfléchissent sur le cristal de Nickel dans des directions privilégiées (maximum de courant mesuré par le galvanomètre) telles que .
L’interprétation théorique de ce résultat expérimental admet que les directions privilégiées correspondent à des différences de phase entre deux ondes successives associées au faisceau d’électrons et réfléchies sur les atomes du monocristal de Nickel multiples entiers de .

ð .

En utilisant , on obtient pour la maille du réseau cristallin de Nickel ().

Expérience de Möllenstedt (interférences d’électrons)

Le fil est à un potentiel . La source d’électrons S a une largeur de .
On observe une figure d’interférence (répartition des électrons dans le plan d’observation avec des maxima et des minima).
Le système se comporte comme un biprisme de Fresnel où les sources secondaires sont distantes de . L’interfrange est pour et la longueur d’onde associée est .

Le nombre de franges observées est limité par l’étendue de la source primaire S (cohérence spatiale)

1.3. Mécanique ondulatoire. Propriétés de la fonction d’onde

L’intensité lumineuse est égale à :

Dans l’expérience des trous d’Young (en ne considérant pas la diffraction),

 Interprétation corpusculaire

La source S émet des photons que l’on détecte dans le plan d’observation P, après avoir traversé les trous. Nous cherchons à savoir ce qui s’est passé dans le plan des trous en réduisant l’intensité lumineuse de telle sorte qu’entre S et P, à tout instant, il n’y ait qu’un seul photon.
Si l’on place en P une plaque photographique, pendant une faible durée T, on observe, après développement, des points d’impact discrets attribués aux photons émis pendant la durée de l’expérience.
Ces points d’impact se répartissent conformément au résultat prévu par la théorie ondulatoire, d’où l’idée de donner à la fonction d’onde lumineuse une signification probabiliste.
Dans un volume entourant le point , la probabilité de trouver le photon à l’instant t est  .

représente alors la densité de probabilité de présence au point considéré.

évidemment (condition de normalisation).

A la frontière de deux régions, il doit y avoir continuité de la fonction d’onde et de sa dérivée.

Probabilisme et déterminisme

Dans le déterminisme, le monde et ses objets existent indépendamment de l’observation. Ainsi dans l’expérience des trous d’Young, réalisée avec des électrons, le déterminisme consiste à penser que l’électron est passé par l’un des deux trous et cela sans observation réelle de ce passage.
Dans l’interprétation probabiliste, l’électron devient particule si on observe effectivement son passage.
Dans l’expérience des trous d’Young l’électron est une onde dans la propagation et devient une particule dans la détection au niveau de l’observation.
On emploie l’expression quanton pour décrire tout système se comportant soit comme une onde soit comme une particule.
Cette interprétation probabiliste, connue sous le nom d’interprétation de Copenhague en raison des origines danoises de N. Bohr, a pu heurter des physiciens et, en particulier, Einstein.
Des expériences comme celle de J. Bell, au CERN en 1965, et celle de A. Aspect, à Orsay en 1982, tendent à prouver que l’interprétation probabiliste est actuellement la seule qui soit rationnelle.

2. Les ondes de matière. L’équation de Schrödinger

2.1. Paquet d’ondes libres. Vitesse de phase et vitesse de groupe

La probabilité de l’onde plane monochromatique [] diverge : l’onde monochromatique n’a pas de sens physique dans l’interprétation probabiliste.
Ceci ne peut nous surprendre puisqu’en Optique ondulatoire, la notion d’onde plane monochromatique a du être abandonnée lorsqu’il a fallu interpréter des phénomènes interférentiels liés à la cohérence temporelle.

Nous avons alors introduit l’onde réelle comme une superposition linéaire d’ondes monochromatiques planes, à savoir
où, par convention, et .

La technique de la transformée de Fourier permet d’obtenir à partir de en calculant une intégrale de forme identique :

Pour les ondes de matière, les relations ci-dessus s’écrivent :

Vitesse de phase : elle est égale à

Photon :  ; ð

Particule matérielle libre : Mécanique newtonienne  ; ð

Mécanique relativiste  ; ð

Vitesse de groupe : elle est égale à

Photon : ð

Particule matérielle libre : Mécanique newtonienne  ; ð

Mécanique relativiste  ;  ; ð

On rappelle que la vitesse de groupe s’interprète comme étant la vitesse de déplacement de l’énergie ; pour une particule, elle s’identifie à sa vitesse.

2.2. Inégalités d’Heisenberg

Inégalité spatiale

Pour mesurer la position x d’une particule, on la fait passer à travers une fente de largeur et on la recueille sur un détecteur au-delà.
Le phénomène de diffraction fait qu’après la fente, la particule se situe dans un angle maximal 2i tel que .

En raisonnant sur les quantités de mouvement, on peut écrire .

est la quantité de mouvement maximale acquise dans le franchissement de la fente. Elle est d’autant plus importante que la fente est fine, que l’on mesure la position de la particule suivant x de manière précise. Ainsi, vouloir mesurer la position d’une particule introduit nécessairement une imprécision sur la quantité de mouvement.
La généralisation de la relation est appelée inégalité (ou incertitude) spatiale d’Heisenberg.
On dit que quantité de mouvement et position sont des quantités conjuguées.

Inégalité temporelle

L’étude de l’Optique ondulatoire montre que l’onde réelle est nécessairement la superposition d’ondes monochromatiques dont les fréquences sont comprises entre []. Un calcul simplifié montre que la largeur spectrale est liée à la durée d’émission de la source par la relation (soit ) . Ainsi un signal bref occupe une large bande de fréquences contrairement à un signal long.
En une position fixée de l’espace, la durée de passage de l’onde va être égale à et le temps nécessaire pour mesurer la fréquence (ou l’énergie) de l’onde est au maximum égal à .
Nous obtenons la relation dont la généralisation est appelée inégalité (ou incertitude) temporelle d’Heisenberg.
On ne peut espérer mesurer une énergie avec une précision infinie, sauf s’il s’agissait d’une énergie parfaitement stable que l’on mesure pendant un temps infini.
On dit que énergie E et temps t sont des quantités conjuguées.

2.3. Equation de Schrödinger

Nous avons commencé à établir des similitudes de comportement entre les ondes et la matière. Il y a, toutefois une différence importante : dans les situations les plus simples, le nombre de photons varie au cours du temps par absorption ou émission ; le nombre de particules élémentaires de matière reste constant sauf dans quelques cas extrêmes (création d’une paire électron-positron à partir d’un neutron ou annihilation de cette avec émission de rayonnement).
Nous avons vu que l’intensité, en un point et à un instant donnés, de l’onde associée à une particule donne sa probabilité de la trouver en ce point et à cet instant.
Le problème posé est celui de la prédiction : connaissant à un endroit et à un instant, il s’agit de connaître s à tout endroit et à tout instant.
Pour cela, il faut connaître l’équation de propagation de .
Comme toute équation de la Physique, sa seule réelle justification réside dans le succès de la confrontation de ses prédictions avec les résultats expérimentaux.

2.3.1. Equation de Schrödinger

ð

Par la même méthode, on montre que :

Ainsi,

à E est associé l’opérateur

à est associé l’opérateur

à est associé l’opérateur

à est associé l’opérateur

Cas non relativiste d’une particule libre

Elle obéit à ð

Cas relativiste d’une particule libre

Elle obéit à ð ð

Cas non relativiste d’une particule dans un potentiel scalaire

Elle obéit à ð

2.3.2. Etats stationnaires

On appelle états stationnaires, les états de la particule pour lesquels l’énergie E est constante. On les obtient si l’énergie potentielle ne dépend pas du temps.

Pour résoudre l’équation de Schrödinger, on cherche des solutions à variables séparées.

ð ð .
Cette constante doit être identifiée à E pour vérifier la dépendance de la fonction d’onde avec le temps.

ð et qui est l’équation différentielle de Schrödinger des états stationnaires.

La probabilité de trouver la particule dans un élément de volume est :
Elle ne dépend pas du temps, ce qui justifie le qualificatif " stationnaire " employé.

2.3.3. Etats propres

A une grandeur physique est associé un opérateur.
Dans le cadre de cette représentation d’une grandeur physique par un opérateur, les états stationnaires apparaissent comme des états caractérisés par une fonction d’onde particulière.
Ainsi puisque E est constant, .
L’action de l’opérateur " énergie " sur la fonction d’onde s se traduit par la multiplication simple de s par la quantité scalaire E.
La fonction d’onde s est une fonction propre et E est la valeur propre associée.
Ce résultat se généralise à toute grandeur physique (exemple : ).
Ainsi, toute grandeur physique représentée par un opérateur est disjointe de ses valeurs numériques qui sont les valeurs propres de l’opérateur. L’ensemble de ces valeurs forme le spectre de la grandeur.
Ce spectre est toujours discret (quantifié). Toutefois, dans la plupart des situations courantes, les niveaux d’énergie sont si serrés que l’on peut considérer que l’ensemble de ces niveaux forme un quasi-continuum, plus simplement que le spectre d’énergie peut être considéré comme continu.

Annexe 1 : Les faits expérimentaux conduisant à la Physique quantique

Effet Compton (1924) : voir exercices de Relativité

Théorie du rayonnement du corps noir (1900)

On expose le raisonnement de Planck où on s ‘intéresse aux sources du champ électromagnétique (c’est à dire aux parois de la cavité rayonnante). Une autre démonstration consiste à considérer les ondes comme une assemblée de photons obéissant à la statistique de Bose-Einstein.

Un corps noir est un corps qui absorbe entièrement le rayonnement incident constitué de photons d’énergie . Compte tenu da la conservation de l’énergie, il émet pareillement. Pratiquement, c’est une cavité avec une faible ouverture (tout rayonnement entrant finit par être absorbé).
Les parois sont constitués d’oscillateurs dont chacun a une énergie n prend toute valeur entière positive à partir de la valeur nulle.
Le terme (correspondant à ) n’est pas évident ; il a été ajouté, pour la première fois, par Einstein pour mieux vérifier l’expérience. La résolution de l’équation de Schrödinger pour une énergie potentielle harmonique montre le bien fondé de cette formule.

Chaque niveau d’énergie est équiprobable suivant la fonction de Boltzmann .

Soit l’énergie moyenne d’un oscillateur.

Si , ce qui montre l’existence d’énergie à température absolue nulle

Si ,

Couramment,

Nous calculons le nombre d’oscillateurs en calculant le nombre d’ondes dans la cavité. Le flux lumineux, pour une température donnée, ne dépend pas de la forme de la cavité. Il est légitime de choisir une forme simple (parallélépipède rectangle de dimensions ).
Pour cette forme, l’étude des ondes montrent que les relations et doivent être vérifiées.
sont les amplitudes du champ électrique dans les trois directions d’espace (deux seulement sont indépendantes) ; sont entiers positifs.
Le flux lumineux émis, pour une température donnée, ne dépend pas de la forme de la cavité.
Pour donné, il y a pour k, pour l et pour m, soit combinaisons possibles pour sans tenir compte de la relation qui peut être comprise dans des axes cartésiens comme l’équation d’un ellipsoïde dont le huitième ( entiers positifs) de volume est égal à .
Le nombre d’ondes (nombre de combinaisons ) de fréquence dans une cavité de volume est donc .
Le nombre d’ondes de fréquences comprises entre et est égale à .

L’énergie contenue, par unité de volume, pour des fréquences comprises entre et , est égale puisqu’il y a deux degrés de liberté à :
est la densité spectrale volumique d’énergie (cette expression aurait pu être établie par la statistique de Bose-Einstein).

Le flux lumineux émis par une surface dS dans un angle solide de direction par rapport à la normale à la surface est égale à : est la luminance spectrale.
Cette énergie émise est contenue dans un cylindre s’appuyant sur la surface, de génératrice de direction de longueur c (la photon parcourt la distance c pendant l’unité de temps.
Seuls les photons de direction dans l’angle solide contribue au flux lumineux.

ð formule qui est bien vérifiée par l’expérience.

Le flux lumineux total émis par unité de surface est égal à :

en posant

ð constante de Stefan-Boltzmann est calculée à et mesurée à .

Effet photoélectrique (1905)

 

L’interprétation donnée par Einstein fait appel à la collision inélastique d’un photon sur les électrons libres du métal constituant la cathode. Le photon est absorbé par l’électron de telle sorte que est la vitesse d’extraction de l’électron.

est l’énergie nécessaire à fournir pour extraire un électron libre du métal.
Cette énergie s’explique par le fait que, lorsqu’un électron sort du métal, il est retenu par les charges positives du métal. Cette énergie d’extraction est faible, toujours inférieure à l’énergie d’ionisation d’un atome du métal : il s’agit bien des électrons libres.
Il n’y a pas d’émission secondaire de lumière ce qui prouve qu’il s’agit de l’absorption du photon incident.
Si , il n’y a pas de courant quelque soit le potentiel accélérateur.
Si , il est possible d’arrêter le courant électrique en portant l’anode à un potentiel négatif tel que .
Pour un potentiel V accélérateur positif augmentant, on atteint un courant de saturation proportionnel au flux lumineux (au nombre de photons incidents).

Spectre de raies émis par les atomes (notamment par l’atome d’Hydrogène)

Le spectre d’émission d’une lampe contenant de l’hydrogène à une pression de 1 mm de mercure n’est pas un spectre continu mais un spectre de raies. Les raies du spectre visible correspondent, comme l’a montré J. Balmer, à des longueurs d’onde reliées à deux nombres entiers et par l’équation : .
 : constante de Rydberg

Interprétation de N. Bohr (1913) à partir du modèle planétaire de l’atome d’Hydrogène 

  Ce modèle n’a plus de sens physique (Bohr, en fin de carrière refusait de l’enseigner). Le vrai calcul consiste à résoudre l’équation de Schrödinger pour un potentiel scalaire à symétrie sphérique en .
Ceci étant précisé, le modèle planétaire est simple et donne un excellent accord avec l’expérience.
Il s’agit du problème à deux corps entre le proton (noyau) et l’électron en orbite autour dans l’interaction coulombienne.

 ; est la masse réduite introduite pour plus d’exactitude.

Les idées de Bohr , en contradiction avec la physique classique, consiste à dire :

En remplaçant, on obtient :
() ; ()

 ;

Ces formules sont bien vérifiées par l’expérience dans le cas de la série des raies de Balmer et, aussi de celles de Lyman (), de Paschen (), de Brackett () ou de Pfund ().

Expérience de Franck et Hertz (1914)

L’analyse des pertes en énergie des électrons fait apparaître des valeurs caractéristiques : dans le cas de collisions avec des atomes d’une vapeur de mercure, ces pertes sont des multiples de .