Mécanique des fluides

Plan

1. Généralités
1.1. Description du fluide en mouvement
1.2. Dérivation suivant la méthode d'Euler
1.3. Equation de continuité (ou de conservation de la masse)
1.4. Ecoulement laminaire et turbulent
1.5. Notion de viscosité dans un fluide en mouvement
2. Cinématique des fluides
2.1. Champ de vitesses dans un fluide
2.2. Exemple de compréhension
2.3. Etude des différents types de champ de vitesses
3. Dynamique des fluides
3.1. Equation de Navier. Equation de Navier-Stokes. Equation d'Euler
3.1.1. Equation de Navier - Stokes pour les fluides parfaits (équation d'Euler)
3.1.2. Equation de Navier - Stokes pour les fluides incompressibles
3.2. Equation d'Euler et théorème de Bernoulli
3.3. Bilans énergétiques pour les écoulements permanents
3.4. Théorème d'Euler. Bilan de quantité de mouvement et de moment cinétique dans un écoulement permanent

1.1. Description d’un fluide en mouvement

Décrire le mouvement d’un fluide fait appel à des notions différentes de celles développées en Mécanique du point ou du solide. Le mouvement d’un fluide est un écoulement où il y a déformation continue du fluide
On peut, de manière analogue à ce que l’on fait en Mécanique du solide, isoler (par la pensée ou en trouvant un moyen de visualisation, coloration par exemple) une partie restreinte du fluide appelée particule et la " suivre " au cours du temps c’est à dire connaître à chaque instant sa position.
Cette position sera connue, par exemple, par ses coordonnées cartésiennes , et où représentent les coordonnées de la particule choisie à l’instant , la vitesse de la particule aura pour composantes , et . Au cours du temps, la particule sera en différents points , l’ensemble des points constitue la trajectoire de la particule.
Cette façon de faire est appelée méthode de Lagrange, les variables introduites sont appelées variables de Lagrange.
La méthode de Lagrange s’avère dans la plupart des cas délicate car il n’est pas facile de suivre les particules : elle est peu employée.

La méthode d’Euler consiste à connaître la vitesse des particules au cours du temps à un endroit donné déterminé par ses coordonnées, par exemple cartésiennes . Elle est plus employée que la méthode de Lagrange, la connaissance du champ des vitesses étant suffisante pour la description du fluide en mouvement.
Les composantes du vecteur vitesse sont des fonctions des variables (), ainsi où , et
L’écoulement du fluide est permanent ou stationnaire si ses composantes de vitesse sont indépendantes de la variable temps  ; il est dit non-permanent ou instationnaire si cette condition n’est pas réalisée.
L’écoulement du fluide est uniforme si ses composantes de vitesse sont indépendantes des coordonnées d’espace ; il est non-uniforme si cette condition n’est pas remplie.

Remarque : Dans la méthode d’Euler, l’accélération d’une particule peut être due, bien sur, au caractère instationnaire de l’écoulement mais aussi à sa non-uniformité. Ainsi, chacun a pu constater, dans l’écoulement permanent d’une rivière, l’accélération des particules lors du franchissement d’un rétrécissement.

On appelle ligne de courant une courbe dont la direction tangente en chacun de ses points est la direction du vecteur vitesse. L’équation d’une ligne de courant se calcule par intégration des équations .

Un tube de courant est un ensemble de lignes de courant s’appuyant sur un contour fermé.
On appelle ligne d’émission une courbe constituée par l’ensemble des points atteints à un instant donné par des particules passées antérieurement en un même point.
Trajectoire, ligne de courant et ligne d’émission sont confondues pour un écoulement permanent.

1.2. Dérivation suivant la méthode d’Euler

Considérons la fonction scalaire rendant compte d’une grandeur physique caractéristique du fluide au point de coordonnées et au temps .

La particule fluide au temps sera au point de coordonnées .
La variation de la fonction sera donc égale à :

La dérivée , que l’on note et que l’on appelle dérivée particulaire, est égale à :

Cette dérivée apparaît comme la somme de deux termes :

• le premier, qualifié de convectif ou advectif, est du à la non-uniformité de l’écoulement,
• le second, qualifié de temporel, est du au caractère instationnaire de l’écoulement.

La conservation de la masse s’écrit où représente le débit massique de fluide interne au volume considéré, compté positivement s’il s’agit d’une source et négativement s’il s’agit d’un puits.

Compte tenu du théorème d’Ostrogradsky , l’équation de conservation de la masse peut être écrite

Remarque :
Sauf précision contraire, nous appliquerons l’équation de conservation de masse en absence de source ou de puits, soit .
Deux cas particuliers sont alors à considérer.
Le cas 1 du fluide incompressible () ð pour un écoulement stationnaire ou instationnaire.

Cet écoulement est dit isovolume.

Le cas 2 d’un écoulement stationnaire () ð
En dehors de la possibilité cas 1, il existe la possibilité d’écoulements isovolumes tels que où les variations de masse volumique sont orthogonales, en tout point, au vecteur vitesse.
Ce cas correspond à des écoulements stratifiés par salinité ou température (courants marins), par température et humidité (atmosphère).

L’introduction de marqueurs (fumée dans le cas des gaz, colorant pour les liquides), permet d’observer des différences importantes dans le comportement des écoulements des fluides.
Dans certains écoulements, les particules marquées diffusent très lentement c’est à dire s’écartent peu les unes des autres, les différentes couches (lamelles) glissent les unes par rapport les autres sans se mélanger : l’écoulement est dit laminaire.
Au contraire dans d’autres écoulements les particules marquées s’éloignent très rapidement de manière " aléatoire, irrégulière, dans toutes les directions " les unes des autres, on ne retrouve plus de trace de marquage significative très près de l’endroit où le marqueur a été introduit : l’écoulement est dit turbulent.
D’évidence, l’écoulement sera laminaire à faible vitesse alors que les grandes vitesses provoqueront l’instabilité des particules c’est à dire le caractère turbulent de l’écoulement. En fait, la transition entre écoulement laminaire et turbulent dépend de la vitesse, mais aussi des caractéristiques (viscosité) du fluide, de la forme de l’écoulement (espace fermé –canalisation- ; espace ouvert –sur une surface à " l’air libre "-).
Il découle de ces propos que, pour un écoulement turbulent, les variables, en un point donné, qui caractérisent l’écoulement varient de manière aléatoire et que la notion d’écoulement permanent ne peut être comprise qu’en moyenne (la valeur moyenne de toute variable caractéristique de l’écoulement étant, alors, indépendante du temps).
Au contraire, pour un écoulement laminaire, les fluctuations des variables sont négligeables, à la limite nulles.

L’expérience montre que, lors d’un écoulement d’un fluide, la pression (force normale) ne suffit pas à expliquer les phénomènes et qu’il convient d’introduire des forces tangentielles qui s’opposent au mouvement du fluide. Ces forces, de type frottement, dues aux interactions entre molécules du fluide, sont appelées forces de viscosité.

(force par unité de surface dans le plan tangent à deux couches successives) est appelée contrainte tangentielle et viscosité dynamique qui, dans le système MKSA s’exprime ou ( appelé poiseuille).
Si nous supposons , la couche de fluide située en " tire " sur la couche de fluide en avec la contrainte . Evidemment, la couche en est retenue par une contrainte .
Dans l’expérience Couette la contrainte est égale à : .

On trouvera, dans le tableau ci-après, quelques valeurs de la viscosité à .

Pour tous les liquides, la viscosité diminue lorsque la température augmente.
Pour des liquides purs, on utilise la loi empirique , pour des mélanges .
Dans le cas des huiles multigrades, les coefficients sont tels que est à peu près la même valeur à basse et haute températures.
Pour les gaz, la viscosité est beaucoup plus faible et varie avec la température suivant la loi .
Dans le cas de fluides non-newtoniens, il n’y a pas proportionnalité entre la contrainte tangentielle et le gradient de vitesse. C'est le cas des solutions de polymères, des purées de légumes, des gels, des boues, des pâtes, du sang, des peintures, ..L'étude de ces fluides relève de la rhéologie.

Un fluide est dit non-visqueux (ou parfait) si l’on peut négliger les contraintes tangentielles.

Au cours du mouvement, une particule de fluide subit des changements de position, d’orientation et de forme. Nous considérons deux points voisins d’un même fluide et et leurs vitesses respectives soient à un instant .

Ces expressions peuvent être écrites,

où

où

où

soit où est le vecteur tourbillon et est la vitesse de déformation.

Ces résultats peuvent être présentés sous forme tensorielle. On introduit alors le tenseur rotation et le tenseur déformation.

2.2. Exemples de compréhension

La notion de translation ne pose pas de difficulté : il suffit de se représenter l’écoulement d’une rivière " paisible ".
Les notions de rotation (appréhendée en Mécanique du solide) et de déformation méritent attention.
Certains écoulements présentent des lignes de courant fermées " circulaires en première approximation " de type " tourbillonnaire ".
Nous pensons aux tourbillons qui se forment dans le sillage d’un objet solide en mouvement relatif par rapport à un fluide, à la vidange d’un réservoir (baignoire, lavabo) par un siphon, aux tornades ou cyclones.
En s’écartant du centre du tourbillon, la vitesse radiale des particules peut être croissante ou décroissante. Souvent la vitesse est croissante près du centre puis décroissante.

Nous envisageons les deux cas.
a) L’intensité de vitesse est croissante de type
Le calcul montre que : et
La particule fluide est en rotation pure et ne se déforme pas (le mouvement est analogue à celui d’un solide en rotation).

b) L’intensité de vitesse est décroissante de type

Le calcul montre que : et

La particule fluide n’a pas de rotation, son mouvement provoque sa déformation angulaire.

A titre d’exemple, nous reprenons les deux cas étudiés en 2.2.

a)
La circulation suivant un cercle de rayon est égale à , elle dépend du cercle choisi, plus généralement de la courbe fermée entourant le point O.
La circulation suivant le contour ABCD d’ouverture d’angle est égale à . Cette valeur est non nulle et nous avions trouvé un vecteur tourbillon non nul ()
b) Reprenons le même exemple avec une intensité de vitesse .
La circulation suivant un cercle de rayon est égale à , elle est la même quelque soit le cercle ou la courbe fermée entourant le point .
La circulation suivant le contour ABCD d’ouverture d’angle est nulle, elle est nulle quelque soit la courbe fermée n’entourant pas le point .
Cette valeur est nulle et nous avions trouvé un vecteur tourbillon nul.

L’écoulement est irrotationnel si
Cette propriété a pour conséquence  : le vecteur vitesse dérive d’une fonction potentiel . L’écoulement est dit à potentiel des vitesses ou plus simplement écoulement potentiel.
La circulation du vecteur vitesse est indépendante du chemin suivi pour un écoulement potentiel.
En introduisant l’équation de conservation de la masse on obtient .
Dans le cas d’un fluide incompressible (), on obtient

Dans ce type d’écoulements,
Pour une courbe fermée, où est une surface quelconque s’appuyant sur le contour [Théorème de Stokes].
La quantité est appelée intensité du tourbillon.
On appelle ligne tourbillon, une ligne tangente en chaque point au vecteur tourbillon en ce point et filet tourbillon, l’ensemble des lignes tourbillon s’appuyant sur une courbe fermée infiniment petite.
Le vortex est le cas particulier d’un filet tourbillon unique d’intensité finie.
Le cas particulier du vortex rectiligne est particulièrement important : il correspond à un champ de vitesses contenu dans le plan perpendiculaire au filet tourbillon, de direction radiale et d’intensité de vitesse où représente la distance entre le point considéré et le filet tourbillon.

Dans de nombreux cas, l’écoulement est irrotationnel dans tout l’espace sauf en un certain nombre de points singuliers pour lesquels le vecteur tourbillon est différent de zéro. Ces points se groupent suivant un certain nombre de filets tourbillons distincts.
De tels écoulements sont dits : écoulements à potentiel des vitesses avec circulation.
Ils possèdent la propriété d’avoir une circulation du vecteur vitesse nulle suivant toute courbe fermée n’entourant pas un filet tourbillon, la circulation est constante et différente de zéro lorsque la courbe entoure (une fois) le filet tourbillon. Cette valeur est égale à l’intensité du filet tourbillon.

2.3.5. Ecoulement isovolume

ð  : : le vecteur vitesse dérive d’un potentiel vecteur .

Nous avons vu que ce type d’écoulement correspond au cas général de l’écoulement des fluides incompressibles et aussi d’écoulements stratifiés.

Pour un écoulement plan xOy, on a :  ;  ;
Les lignes de courant sont définies par : ð ð
est appelé fonction courant.

Le débit entre les deux lignes de courant est indépendant du chemin pris pour aller d’une ligne à l’autre.

Pour ce type d'écoulement :
On remarque que ces équations sont analogues à celles de la magnétostatique et donnent lieu aux mêmes traitements mathématiques.
Il existe donc l’équivalent de la loi de Biot-Savart :

Structure tourbillonnaire
Cette structure correspond à une situation bidimensionnelle où le fluide tourne autour de l’axe des z avec une vitesse orthoradiale .
ð

Une telle structure du champ de vitesse correspond à  : ce résultat était évident par analogie au champ magnétique créé par un courant électrique à section circulaire de longueur infinie.
Nous traitons le cas idéalisé où
Pour , ð car sinon deviendrait infini en .
Pour , ð
La continuité de la vitesse en permet d’obtenir

Remarques :
- ces résultats auraient pu être obtenus à partir de (analogue du théorème d’Ampère en Magnétostatique),
- pour , (intensité du tourbillon).

2.3.7. Ecoulement isovolume et irrotationnel
Pour ce type d'écoulement : et
On obtient,

en introduisant une relation de jauge .

Pour un écoulement plan xOy, on a
;  ;  ;
La condition est naturellement satisfaite, c’est à dire que la solution est unique.

Dans ce type d’écoulement on introduit la fonction potentiel complexe,

où

Il s’agit d’écrire l’équation fondamentale de la dynamique pour la particule fluide de masse , soit dans un référentiel galiléen

Les forces extérieures sont de trois types,

• celles dues à un ou plusieurs champ(s) de forces extérieures (le cas courant étant le champ de pesanteur )
• celles dues aux forces de pression mécanique
• celles de viscosité

Analyse simplifiée

L’accélération se calcule à partir de la formule de dérivation explicitée dans la paragraphe 1.2.
ð

Nous écrivons le principe fondamental de la dynamique pour un élément de fluide compris entre , de profondeur (direction ) unitaire.

Soit

apparaît comme la densité volumique des forces de viscosité.
Pour un écoulement quelconque, la généralisation de cette formule conduit à (densité volumique des forces de viscosité) et à l’équation,

Analyse approfondie

L’analyse des forces de viscosité et l’hypothèse, pour un fluide newtonien, de proportionnalité entre forces de viscosité par unité de surface (contraintes) et déformations de la particule fluide conduisent au tenseur des contraintes visqueuses et aux formules de Lamé ci-après.

le tenseur des contraintes visqueuses est un tenseur symétrique

Les valeurs des composantes (contraintes visqueuses) sont données par les formules de Lamé :
 ;  ;
 ;  ;
En plus de la viscosité (dite viscosité de cisaillement), on introduit la viscosité de dilatation .

L’accélération se calcule à partir de la formule de dérivation explicitée dans la paragraphe 1.2.

En introduisant des relations identiques suivant les deux autres directions d’espace, on obtient :
où est un opérateur.

est l’équation de la dynamique des fluides dite de Navier pour un fluide newtonien dans le seul champ de forces extérieures de pesanteur.
La quantité est appelée viscosité cinématique de cisaillement.

Remarques sur la complexité de l’équation de Navier

• les viscosités dépendent de l’écoulement et l’écoulement dépend des viscosités (en particulier, pour traduire la nature turbulente d’un écoulement, on doit introduire des termes, dits de viscosité turbulente, supplémentaires liées aux fluctuations),
• on montre, à partir du second principe de la Thermodynamique, que la quantité ,
• on montre que la pression mécanique se confond avec la pression thermodynamique si l’écoulement est isovolume () ou si la condition de Stokes (), qui fait l’hypothèse de réversibilité des déformations, est satisfaite,
• si la condition de Stokes est satisfaite, l’équation de Navier devient l’équation de Navier-Stokes : .

Les applications de ce cours sont limitées :

• à l’approximation des fluides non-visqueux (parfaits),
• et aux fluides réels incompressibles.

Dans ce cas particulier, l’équation de Navier-Stokes est appelée équation d’Euler.

Ecriture de l’équation d’Euler dans le repère de Frénet

L’équation d’Euler s’écrit

Approximation "fluide non-visqueux (parfait)"

Le fluide non-visqueux n'existe pas et il s'établit au proche voisinage d'un objet solide une couche limite dans le fluide en écoulement.

Pour un obstacle immobile dans le référentiel d'étude, les vitesses des particules fluide au contact sont nulles … ce qui n'est pas le cas dans l'approximation fluide parfait.

L'étude des écoulements de fluides visqueux montre que l'introduction du nombre (sans dimension) de Reynolds est fondamental :

• pour déterminer la nature de l'écoulement (laminaire pour Re < 2000 ; turbulent pour Re > 6000 ; de transition pour 2000 < Re < 6000),
• pour connaître l'importance des forces de frottement (le coefficient de frottement Cx dépendant de Re)
• ou pour évaluer l'épaisseur d de la couche limite qui diminue lorsque Re augmente.

Le nombre de Reynolds est défini par où v est la vitesse du fluide "loin" de l'obstacle et L une dimension caractéristique de l'obstacle (la longueur dans le sens de l'écoulement dans le cas d'une plaque, le diamètre pour une conduite circulaire, …)

ð , l’équation de Navier devient :

Fluides compressibles ou fluides incompressibles

Un fluide est dit incompressible lorsque sa masse volumique ne dépend pas (pratiquement pas) de la pression ou de la température. Généralement, en Statique des fluides, les liquides sont considérés comme incompressibles et les gaz sont compressibles.

Pour un fluide en écoulement, ce classement est infirmé dans un certain nombre de situations importantes :

• pour les gaz et pour les liquides, des gradients de température décroissant avec l'altitude provoquent des mouvements ascensionnels de matière (convection naturelle) qui ont pour conséquence d’homogénéiser la température ; ces mouvements ne peuvent s'expliquer sans considérer des variations de masse volumique,
• dans les gaz et les liquides, des perturbations de pression donnent naissance à des phénomènes de propagation (onde sonore) qui ne peuvent être expliqués sans la notion de compressibilité,
• l’approximation fluide incompressible est souvent justifiée pour un gaz s’écoulant, dans un plan horizontal, jusqu'à des vitesses égales au tiers de la vitesse du son égale à 340 m/s pour l'air dans les conditions courantes.

Ainsi c’est la nature de l’écoulement qui permet de distinguer l’écoulement compressible de l’écoulement incompressible et non la nature du fluide.
On emploie l’expression hydrodynamique pour qualifier un écoulement incompressible sans qu’il soit nécessaire que le fluide soit de l’eau ou un liquide et l’expression aérodynamique pour qualifier l’écoulement d’un fluide compressible sans qu’il soit nécessaire que ce fluide soit de l’air ou un gaz.

Multiplions scalairement l’équation d’Euler par le déplacement élémentaire suivant une ligne de courant. En remarquant que la quantité est nulle puisque le produit mixte comporte deux vecteurs parallèles, on obtient :
ð
Un fluide (surtout les gaz) est peu conducteur de la chaleur si bien que l’hypothèse " transferts d’énergie thermique négligeables " est raisonnable ().
La quantité est, dans ce cas, égale à si bien qu’en intégrant suivant une ligne de courant, on obtient où la " constante " d’intégration dépend de la ligne de courant considérée.

3.2.1. Cas d’un écoulement permanent 

ð où est une constante dépendant de la ligne de courant considérée.

La quantité est nulle, il n’est plus nécessaire de se placer suivant une ligne de courant.
On obtient où la " constante " d’intégration est indépendante de la ligne de courant et a même valeur dans tout le fluide.
Pour un fluide incompressible (), il est intéressant d’introduire la relation , le théorème de Bernoulli s’écrit alors : .

a) Pour un fluide incompressible, .

L’équation , obtenue pour l’écoulement permanent, irrotationnel d’un fluide incompressible porte plus particulièrement le nom d’équation de Bernoulli.

b) Pour un fluide compressible de type gaz parfait,

L’équation , obtenue pour l’écoulement permanent, irrotationnel d’un fluide compressible type gaz parfait porte le nom de Saint Venant.
Pour la résolution, l’équation de Saint Venant est à compléter par l’équation d’état des gaz parfaits et par l’équation d’isentropicité .

Isolons un tube de courant suffisamment étroit (filet) pour que la pression et la vitesse d’écoulement puissent être considérées uniformes sur toute section droite. En régime permanent la forme du tube est invariante. Le système, à l’instant , est constitué du fluide de masse entre les sections droites () et du fluide de masse entre les sections (). A l’instant , il est entre les sections (). La masse située, à l’instant , entre les sections () se retrouve, à l’instant , entre les sections ().

Cette masse est, à l’instant , à pression , à vitesse et à l’altitude  ; elle est, à l’instant , à pression , à vitesse et à l’altitude .
Le bilan énergétique (application du premier principe de la Thermodynamique pour un système ouvert) conduit à :
où (hypothèse " transferts d’énergie thermique négligeables ").
Si on néglige le phénomène de viscosité ( ð pas de perte d’énergie mécanique par frottement entre deux tubes de courant adjacents), le travail se confond avec le travail de transvasement, soit .
En reportant cette dernière expression, on retrouve, par bilan énergétique, l’équation .

Remarques :

• l’établissement de l’équation de bilan énergétique a été faite pour un filet de fluide où on peut considérer que pression, vitesse et énergie potentielle sont uniformes sut toute section droite du filet ; on notera que, pour la surface plane d’un liquide au contact avec un gaz, ces conditions sont remplies, cette surface n’étant pas de dimensions faibles

• dans le cas des écoulements irrotationnels, on montre (voir paragraphe précédent) que la valeur de la constante est indépendante du tube de courant.

Il faut tenir compte de l’énergie mécanique fournie (pompe) ou absorbée (turbine) par la machine. Pour un écoulement de fluide non visqueux : où est l’énergie massique de la machine. Elle est positive pour une pompe, négative pour une turbine.

La puissance de la pompe ou de la turbine est si est le débit massique.

3.3.3. Pertes de charges

Perte de charge " linéaire " ou " linéique "

L’écoulement permanent de fluides visqueux dans une conduite droite, horizontale, à section constante, fait apparaître des chutes de pression liées à la longueur de la conduite et à la viscosité.
(perte de charge linéaire)
Plus généralement, il convient d’écrire le théorème de Bernoulli sous la forme :

Sous forme adimensionnelle, on introduit le coefficient de perte de charge par la relation :
où
- est la longueur de la conduite,
- le diamètre hydraulique de la conduite définie par ( étant respectivement la section et le périmètre de la conduite),
- la vitesse moyenne de débit définie par où est le débit volumique.
Loi de Poiseuille : pour un écoulement laminaire dans une conduite circulaire de rayon R, on démontre que . Le résultat présenté sous la deuxième forme, est appelé Loi de Poiseuille.

Perte de charge singulière

Il existe, aussi, des pertes de charges dites singulières lors de modifications de la géométrie de la conduite (élargissement ou contraction brusque de la veine, coude, passage à travers une grille, vanne, robinet, …).
Contrairement au cas des pertes de charges linéaires où le calcul théorique est possible dans quelques cas simples, on a recours, pour les pertes de charges singulières à des données semi-empiriques.

Nous reprenons le schéma du tube de courant.

La masse M+dm à l’instant t a une quantité de mouvement :

La masse M+dm à l’instant t+dt a une quantité de mouvement :

Ainsi

Le principe fondamental de la dynamique permet d’écrire le théorème d’Euler :

où est le débit massique du fluide, est le poids de fluide considéré (si on se limite à des forces de volume de pesanteur) et l’action sur la portion de fluide considérée des éléments en contact avec celle-ci (forces de pression si on ne considère pas les efforts de viscosité).
Pour un volume de contrôle quelconque où S est la surface fermée le délimitant, le débit massique sortant par un élément est égal à .
Pour ce débit massique, le " débit " de quantité de mouvement est égal à .
En intégrant au volume de contrôle, on obtient le théorème d’Euler :

En utilisant le principe de l’action et de la réaction, on accède simplement à l’action du fluide sur les parois en contact.

Bilan de moment cinétique

Un raisonnement de même type conduit au bilan de moment cinétique :