Corde vibrante

Corde vibrante. L'équation de d'Alembert et ses solutions

Une corde sans raideur, inextensible, de masse linéique constante , est tendue par une tension . Au repos, elle se confond avec l'axe .
De part et d'autre de cette position d'équilibre, on étudie les petits mouvements transversaux de cette corde dans le plan , en admettant qu'un élément de corde au repos (point ) reste pendant le mouvement à la même abscisse. L'élongation d'un point d'abscisse à l'instant (point ) est notée . La tangente en à la corde fait avec l'axe un angle qui reste petit, ce qui suppose que
Enfin, l'action du champ de pesanteur sur le mouvement, ainsi que toute cause d'amortissement sont négligées.

1. Équation d'onde pour un ébranlement le long de la corde

1)a) La longueur de la corde varie très peu lorsqu'elle vibre. Montrer qu'à des termes du second ordre en près, l'abscisse curviligne peut être confondue avec l'abscisse .
1)b) On admet que la tension reste, en tout point, tangente à la corde.
Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour un élément de corde compris entre et .
Montrer à l'aide des hypothèses faites que la tension est de module constant, noté , et que l'ébranlement est régi par l'équation :

Exprimer la constante en fonction de et et donner ses dimensions.

| Réponse 1a | Réponse 1b |

2. Solution en ondes progressives de l'équation de d'Alembert

2)a) Introduire les grandeurs et et donner l'équation différentielle de la fonction .
En déduire que la solution peut s'écrire sous la forme .

2)b) Interpréter la solution précédente et donner la signification du paramètre .

AN1 : Calculer pour une cordelette (type de Melde) en coton ou nylon de 1 gramme par mètre tendue sur une poulie par une masse de .
AN2 : Calculer v pour une corde d'acier de masse volumique , de rayon , tendue par une

| Réponse 2a | Réponse 2b |

3. Solution en ondes stationnaires de l'équation de d'Alembert

A présent la corde de longueur est fixée en ses extrémités, deux points de l'axe d'abscisse .

3)a) On cherche des solutions de l'équation (1) sous la forme de variables séparées :
Montrer que doivent être des fonctions sinusoïdales. En notant la pulsation de , quelle est la pulsation ?

3)b) Montrer que les conditions aux limites imposent à de ne pouvoir prendre qu'une série de valeurs discrètes notées et en donner l'expression. En déduire que pour des grandeurs fixées, la longueur d'onde ne peut elle-même prendre qu'une suite de valeurs . Exprimer la longueur en fonction de .

3)c) Quelle est l'expression d'une solution correspondant au mode de vibration d'indice ? En déduire qu'une solution générale de l'équation (1) s'écrit sous la forme (2) d'une série de Fourier : (2)

3)d) Montrer que l'équation (2) peut être écrite sous la forme

3)e) Justifier le terme d'onde stationnaire donné à (mode ). Montrer qu'il existe le long de la corde, outre les extrémités, des points immobiles ; en préciser le nombre et la position.
En supposant qu'à l'instant , la corde coïncide avec l'axe , représenter graphiquement l'état des déformations de la corde aux instants avec dans les cas .
AN : Pour une corde de longueur , oscillant à la fréquence , donner la tension à appliquer pour obtenir le seul mode . En déduire pour (fréquence propre la plus basse), , , . Quelle note musicale reconnaissez-vous ?

4.1. Corde de piano

A l'instant , la corde est immobile dans la position d'équilibre . Elle est frappée avec un petit marteau de largeur (avec ) situé entre les abscisses , qui communique par le choc une impulsion initiale à la partie frappée. Dans ces conditions, la vitesse de chaque point de la corde à l'instant est modélisée par une fonction " créneau " :
pour et partout ailleurs.

4)1)a) Déterminer les coefficients
4)1)b) Trouver une application musicale du fait que les coefficients dépendent de a. Que faut-il faire pour supprimer un harmonique, en particulier celui correspondant à ?
4)1)c) Dans le cas , quels sont les harmoniques présents ?

4.2. Corde de clavecin, de guitare ou de harpe

La même corde est pincée et lâchée au temps de telle sorte que sa vitesse initiale soit nulle. L' endroit où a lieu le pincement joue le même rôle vis à vis des harmoniques que celui de la frappe. En conséquence, et afin de limiter les calculs, nous nous limitons à un pincement en si bien que la position initiale de la corde est définie par la " fonction triangle " :

4)2)a) Déterminer les coefficients
4)2)b) Comparer les spectres d'uns corde à piano et d'une corde à clavecin et apprécier la différence de timbre sonore.
4)2)c) Pour une corde de guitare ou de harpe, le pincement peut être effectuée " délicatement " avec un doigt de telle sorte que la position initiale soit définie par la " fonction parabole ": . Reprendre les calculs dans ce cas et conclure.

5. Oscillations entretenues

Expliquer ce qui se passe si, l'extrémité étant fixée, on place en un vibreur de très faible amplitude de telle sorte que .

| Réponse 5 |

6. Réflexion et transmission sur discontinuité

Une corde très longue est composée de deux tronçons de masses linéiques , la tension étant toujours ; le nœud en est sans masse.

Du coté arrive un ébranlement (onde incidente de la forme où est une fonction quelconque.

Montrer qu'en plus de l'onde incidente, il existe une onde réfléchie du coté et une onde transmise du coté . Donner leur expression générale. Exprimer deux relations différentielles satisfaites par ces ondes au point et en déduire l'expression des coefficients de réflexion et de transmission ; entre quelles limites peuvent-ils varier ? Discuter ces cas suivant la valeur du coefficient .

| Réponse 6 |