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Définitions et lois du rayonnement Thermique

Plan

1. Définitions
1.1. Luminance monochromatique et luminance (totale)
1.2. Intensité monochromatique et intensité (totale)
1.3. Emittance monochromatique et émittance (totale)
2. Les lois régissant l’émission du rayonnement thermique
2.1. Relation entre luminance et émittance dans le cas d’une émission diffuse (ou isotrope)
2.2. Le corps noir
2.2.1. Loi de Planck
2.2.2. Approximations de la loi de Planck : lois de Wien
2.2.3. Loi de Stefan-Boltzmann
2.3. Emission des corps réels
3. Réflexion, absorption et transmission du rayonnement par un corps
3.1. Réalisation d'un corps noir
3.2. Relation entre absorption et émission : loi de Kirchhoff
3.3. Coefficient de transmission
4. Eclairement (irradiance) monochromatique et éclairement (total)

Le soleil qui se situe à une distance considérable dans le " vide spatial " nous procure une sensation de chaleur. De même, si nous ouvrons la porte d'un four en fonctionnement, nous percevons une sensation de chaleur instantanée que nous ne pouvons attribuer à un transfert convectif du à l'air entre le four et notre peau.
Cet échange de chaleur attribué à l'émission, par la matière du fait de sa température, d'ondes électromagnétiques est appelé rayonnement thermique, il ne nécessite pas la présence d'un milieu intermédiaire matériel.
Le rayonnement thermique est caractérisé par des longueurs d'ondes comprises entre , il inclut le domaine du visible (ondes lumineuses ou lumière de) et n'occupe qu'une faible portion du spectre d'ondes électromagnétiques.

Remarque : bien qu'il soit plus avantageux de rapporter les grandeurs monochromatiques à la fréquence qui est indépendante du milieu matériel transparent où l'onde se propage, l'habitude est de se référer à la longueur d'onde qui dépend de l'indice du milieu ( est la longueur d’onde dans le vide; pour l'air ). Cette manière de faire ne présente d'inconvénient majeur que pour les milieux semi-transparents non homogènes.

1. Définitions


1.1. Luminance monochromatique et luminance (totale)

sont des surfaces élémentaires respectivement des surfaces de deux corps radiants. représente la distance entre les deux surfaces élémentaires.
Le flux énergétique monochromatique radiant émis par la surface en direction de la surface (direction , dans la bande monochromatique [] est égale à :
est la luminance monochromatique de la surface et où est l’angle solide sous lequel est vu, de , la surface .
On obtient la formule fondamentale dite de Bouguer :

De manière analogue, on définit la luminance monochromatique émis par la surface en direction de la surface .

La quantité est appelée étendue spatiale élémentaire du faisceau en Optique, elle est conservée à la traversée des instruments optiques.

La luminance (totale), dans la direction , est définie par .

Il est commode d’écrire le flux énergétique monochromatique, dans la direction sous la forme : et le flux énergétique (total) sous la forme :

1.2. Intensité monochromatique et intensité (totale)

L’intensité monochromatique est définie par la relation , elle est liée à la luminance monochromatique par la relation .
L’intensité (totale) est égale à

1.3. Emittance monochromatique et émittance (totale)

L’émittance monochromatique est définie par .
La quantité représente le flux énergétique monochromatique radiant émis par la surface dans toutes les directions c’est à dire dans le demi-espace vu de .
L’émittance (totale) est égale à

2. Les lois régissant l’émission du rayonnement thermique

2.1. Relation entre luminance et émittance dans le cas d’une émission diffuse (ou isotrope)

On dit que l’émission est diffuse (ou isotrope) si la luminance est indépendante de la direction . On dit que la source émettrice obéit à la loi de Lambert.

La démonstration étant identique, émittance totale et luminance totale vérifie une relation de même forme, soit .

2.2. Le corps noir

L’émetteur " idéal " qui rayonnerait un maximum d’énergie à chaque température et pour chaque longueur d’onde est appelé corps noir.
Nous verrons qu’on évalue l’énergie émise par les différents corps par comparaison à celle qu’émettrait le corps noir dans les mêmes conditions en introduisant un coefficient appelé émissivité.

2.2.1. Loi de Planck

La loi de Planck donne la luminance monochromatique du corps noir :

est la constante de Planck,

est la vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide,

la constante de Boltzmann.

La luminance monochromatique du corps noir obéit à la loi de Lambert ð

 ;

Remarque : dans le cadre de ce cours, il ne saurait être question de justifier la loi de Planck qui fait appel à des notions de quantification et de Thermodynamique statistique.
La figure ci-après donne une représentation de la loi de Planck. A chaque température correspond une courbe ayant un maximum situé à une valeur de la longueur d’onde variable avec . La courbe relative à une température est toujours située au-dessus de celle correspondant à une température inférieure à .
La croissance avec la longueur d’onde est beaucoup plus rapide que la décroissance.

2.2.2. Approximations de la loi de Planck : lois de Wien

La formule de Planck peut être approchée par dite formule de Wien si .

1ère loi de Wien :

2ème loi de Wien :

Remarques

2.2.3. Loi de Stefan-Boltzmann

La luminance totale est obtenue par intégration à toutes les longueurs d’onde de la luminance monochromatique, soit , l’émittance totale étant égale à .

est la constante de Stefan-Boltzmann

La loi de Stefan-Boltzmann peut être trouvée par des considérations de Thermodynamique classique. L’accord entre résultats théorique et expérimental est excellent puisqu’expérimentalement on s’accorde sur

Fraction d’émittance totale dans un intervalle monochromatique donné

On a souvent besoin d’évaluer, à une température donnée, la quantité :

Nous donnons dans le tableau ci-après quelques valeurs caractéristiques de . Le lecteur trouvera, à la fin du chapitre, un tableau très complet de l’émittance du corps noir ainsi que de .

1449

2898

4108

6149

23220

1%

25%

50%

75%

99%

Ainsi, il n’y a pratiquement plus d’énergie rayonnée (moins de 1%) pour

2.3. Emission des corps réels

L’évaluation des propriétés émissives des substances réelles se fait à partir de celles du corps noir placé dans les mêmes conditions de température et de longueur d’onde à l’aide de coefficients appelés émissivités, monochromatiques ou totales, directionnelles ou hémisphériques.

On définit :

L’émissivité des substances dépend de leur nature physico-chimique, de leur état de surface ; elle varie avec la longueur d’onde, la direction d’émission et la température de surface.

On met en évidence deux grandes classes de comportements radiatifs : celle des matériaux conducteurs de l’électricité (métaux) et celle des isolants électriques (diélectriques).

Pour la première classe, l’émissivité est faible sauf dans les directions rasantes à la surface où elle est plus importante. L’émissivité monochromatique décroît lorsque augmente et croît lentement avec la température.
Pour la deuxième classe, l’émissivité est forte. Elle augmente avec , elle suit relativement bien la loi de Lambert sauf pour les directions rasantes à la surface où elle diminue notablement.

Définitions :

Remarque : sauf précision contraire, nous ne considérerons que des corps gris diffusants.

3. Réflexion, absorption et transmission du rayonnement par un corps

3.1. Réalisation d’un corps noir

On considère une enceinte creuse opaque à température . Tout élément intérieur de cette enceinte émet des rayonnements qu’elle " finit " par absorber puisqu ‘elle est opaque ð . Pour respecter l’équilibre thermique de cette enceinte, il convient qu’elle émette autant qu’elle absorbe ð .
Une enceinte creuse opaque est un corps noir.
Dans la pratique, on perce un petit orifice dans l’enceinte et on analyse le rayonnement sortant..

3.2. Relation entre absorption et émission : loi de Kirchhoff

On place à l’intérieur d’une enceinte fermée (corps noir) un corps à température c’est à dire en équilibre thermique avec l’enceinte à température .
Le flux radiatif absorbé par l’élément du corps en provenance de l’enceinte est égal à :

Le flux radiatif émis par l’élément du corps en direction de l’enceinte est égal à :

Le corps est en équilibre thermique ð et par suite puisque .

Par intégration, cette relation est vraie pour les coefficients d’absorption et les émissivités hémisphériques monochromatiques ou totaux, soient et

3.3. Coefficients de transmission

Désignons par le flux monochromatique traversant la face d’entrée d’un corps absorbant. Après un parcours sur une distance x, ce flux a pour valeur , et après un parcours sur une distance x+ dx, ce flux a pour valeur . Le flux absorbé est supposé proportionnel à et à dx, le coefficient de proportionnalité dépend e la longueur d’onde.
ð

Le coefficient de transmission, pour une lame d’épaisseur l est donc égal à  et le coefficient d’absorption si les réflexions sont négligeables sur les faces d’entrée et de sortie de la lame à .
En fait, dans la littérature, on ne trouve généralement pas les valeurs de mais celles de ou de en fonction de l pour une épaisseur donnée l de la substance.

Le cas de l'air

L'air est principalement constitué :

Ces dernières molécules sont absorbant pour certaines longueurs d'ondes,

Le coefficient d'absorption pour chacun de ces gaz augmente avec le produit est la pression partielle du gaz et L la longueur traversée.

Remarque :

4. Eclairement (irradiance) monochromatique et éclairement (total)

L’éclairement monochromatique appelé aussi irradiance est défini par la relation :

est le flux énergétique et l'éclairement monochromatique (spectral) de l'élément de surface dS.

L’éclairement (total) sera défini par .

Ainsi l’éclairement monochromatique d'un récepteur situé en par un émetteur situé en en supposant que le milieu intermédiaire est parfaitement transparent est égal à :

puisque

La courbe ci-après donne l'allure de l'éclairement de la terre par le Soleil en tenant compte de l'absorption par l'air atmosphérique.