Résolution par la méthode de la fonction de Green

CHAPITRE 7 : Les régimes transitoires et variables par la méthode de la fonction de Green

Plan

1. Fonctions de Green associées aux problèmes de Conduction de la Chaleur
2. Détermination de la fonction de Green pour un problème donné
3. Exemples
4. Fonctions de Green associées à l’équation de type " ailette "

1. Fonctions de Green associées aux problèmes de Conduction de la Chaleur

Nous considérons le système d’équations :

classique en Conduction de la chaleur. Les sources peuvent être constantes ou variables.

Pour résoudre ce système, on considére les équations :

qui correspondent à la dissipation instantanée au temps t’ d’une quantité de chaleur localisée en un point M’, les sources externes étant toutes nulles c’est à dire sans action.
La fonction traduit la réponse en température à une impulsion de chaleur localisée, le langage généralement employé consiste à parler d’effet en (M, t) du à la cause en (M’, t’).
L’effet est nul si puisque la cause ne s’est pas produite. En fait l’origine est arbitraire si bien que, dans la fonction G, et apparaissent par le groupement qui est la durée entre le moment où se produit la cause et le moment où on examine l’effet.

D’autre part les fonctions de Green obéissent à la relation de réciprocité de la cause et de l’effet à savoir . Si la cause est produite en M, l’effet sera identique en M’ à condition, évidemment, de respecter la durée [].

************************************

Dans le calcul qui suit, on est amené à dériver par rapport à M ou à M’. Pour le laplacien, on emploie respectivement la notation D ou D’. D’autre part puisque c’est le groupement qui apparait.

Ainsi et

On multiplie la première des équations par T, la seconde par G et on retranche membre à membre.

L’intégration sur la variable entre 0 et ( infiniment petit positif), sur la région R siège du phénomène de Conduction de la Chaleur, conduit à :

* (pour la démonstration, voir ci-après ; la sommation doit être faite à toutes les surfaces frontières de la région ; les normales doivent être orientées vers l’extérieur)
On remarque que :
- pour une condition limite de première espèce (température imposée), le terme entre parenthèse du deuxième membre s’écrit
- pour une condition limite de deuxième espèce (flux imposé) ou de troisième espèce (condition mixte), on peut écrire et si bien que le terme entre parenthèse s’écrit :

* en se rappelant que car

Ainsi en termes de fonctions de Green, la solution du problème de Conduction peut être écrite :

Démonstration
La relation et le théorème d’Ostrogradsky entraine la formule de Green :

Remarques

La formule ci-dessus est générale c’est à dire valable que les sources existent ou non, qu’elles soient continues ou variables.

Evidemment le volume élémentaire (ou la surface élémentaire) devra être adapté à la géométrie (et aux symétries) du problème.

Dans la formule est " à la limite pris égal à 0 " car il n’y a pas de discontinuités dans les termes du second membre.

Considérons une source de chaleur instantanée dissipée au temps , , alors le deuxième terme du second membre s’écrit c’est à dire qu’une source instantanée se traite de la même manière qu’une répartition initiale de température.

Une condition de flux de chaleur imposé sur une surface peut être traitée en source de chaleur localisée sur cette surface.

2. Détermination de la fonction de Green pour un problème donné

Dans le chapitre 4 consacré au régime transitoire , on résout

système 3

et on a vu que la solution s’exprime sous la forme

On sait donc déterminer la fonction , il suffira de remplacer par dans cette dernière fonction pour connaitre la fonction de Green associée à un problème donné.

3. Exemples

3.1. Exemple 1

. Ces équations correspondent à un problème de mur avec distribution initiale de température, puissance volumique dissipée et températures imposées sur chacune des faces x = 0 et x = L. En x = 0, le sens de la normale à cette face est opposé à celle de la direction x, en x = L normale et direction x sont de même sens.
Pour résoudre ce problème en terme de fonctions de Green, on considére le système auxiliaire d’équations,

de solution

Par identification, on obtient et en substituant à la fonction de Green associée au problème à savoir,

La solution du problème posé sera donc :

On envisage, en application, pour ,

le cas d’une source instantanée au temps t = 0 [ où a la dimension d’une énergie volumique]

le cas d’une source localisée en x = l [ où a la dimension d’une densité de flux de chaleur]

3.2. Exemple 2

Dans le paragraphe 2.1. du chapitre 4, il est noté que, pour plusieurs directions d’espace, la fonction propre apparait comme un produit des fonctions propres de chacune des directions.
Ce résultat reste vrai pour les fonctions de Green et le lecteur pourra le vérifier sur l’exemple

qui conduit à

avec,

3.3. Exemple 3

On considère le système auxiliaire déjà étudié au paragraphe 6 chapitre 4.

A titre d’exemple, on étudie, pour , la dissipation instantanée d’une quantité de chaleur au temps t = 0 localisée sur la face x = L.
où Q a la dimension d’une énergie par unité de surface.

3.4. Exemple 4

Le milieu étant infini à symétrie sphérique, on s’intéresse à la réponse à un point source situé en r = 0.
Le problème auxiliaire s’écrit et on fait le changement qui transforme le problème à symétrie sphèrique en un problème de mur.

Ce système a été étudié au paragraphe 5.3. chapitre 4, on a obtenu

si bien que

On envisage, en application, pour , le cas du point source qui dissipe instantanément une quantité de chaleur Q ou qui dissipe continûment un flux de chaleur . Dans les deux cas, les dissipations seront localisées sur la sphère de rayon r = R et on fera tendre R vers 0 pour obtenir le point source.