CHAPITRE 1 : Loi de Fourier. Equations de Conduction de la chaleur

Plan

1. Loi de Fourier
2. La conductivité thermique. Ses valeurs expérimentales
3. Les équations de Conduction de la Chaleur
4. Conduction de la Chaleur et Second Principe de la Thermodynamique
5. Analyse thermique

En état d’équilibre, les systèmes thermodynamiques homogènes sont caractérisés par des variables d’état uniformes et constantes.
Soumis à certaines conditions, un système peut être en état de déséquilibre.
La Conduction de la Chaleur est le cas particulier où la non-uniformité de la température entraîne un transfert d’énergie d’un point à un autre du système sans transport macroscopique de matière.
Pour un système solide, seul ce processus de transfert est possible.
Pour un système fluide il peut aussi se produire des transferts d’énergie par transport macroscopique de matière, ce dernier processus est appelé convection de la chaleur.
Le milieu matériel, siège d’un phénomène de conduction de la chaleur, peut être homogène ou hétérogène, isotrope ou non isotrope, ses dimensions peuvent être finies ou infinies.
Le milieu est en " contact " avec des sources de chaleur internes ou externes et le champ de température est noté .

Le caractère de déséquilibre peut être classé en quatre types de régimes :

• les régimes permanents pour lesquels la température en tout point du milieu est indépendante du temps, le déséquilibre est entretenu par les sources de chaleur

• les régimes périodiques établis pour lesquels la température, en tout point, effectue des oscillations périodiques indépendantes du champ de température initial

• les régimes transitoires qui correspondent à l’évolution d’un système d’un état initial (permanent ou en équilibre) vers un état final (permanent ou en équilibre) provoquée par un changement à l’instant initial des sources; le champ de température dépend du champ de température initial mais l’influence de celui-ci s’estompe avec le temps

• les régimes variables pour lesquels les sources évoluent constamment, le champ de température 

1. Loi de Fourier (1807)

Loi de Fourier (1807).

Expérimentalement, si les variations de températures ne sont pas trop importantes, on rend compte localement des phénomènes de conduction de la chaleur par la loi de Fourier, à savoir le vecteur densité de flux de chaleur  est égal à :
pour un milieu isotrope

l est appelée conductivité thermique du milieu et traduit l’aptitude à conduire la chaleur.

La densité de flux de chaleur j dans une direction caractérisée par un vecteur unitaire  est :

Dans le système MKSA, la densité de flux de chaleur j se mesure en W m^-2 et la conductivité thermique l en W.m^-1.K^-1 .

Remarques

• Le signe - traduit le fait que les échanges tendent à uniformiser la température (autrement dit que spontanément les transferts thermiques se produisent du corps chaud vers le corps froid

• Les tangentes en chaque point au vecteur  déterminent les lignes de flux de chaleur. Un tube de flux est constitué par un ensemble de ligne de flux s’appuyant sur un contour fermé. La relation  (propriété du gradient) impose qu’en chaque point les lignes de flux sont perpendiculaires aux isothermes.

• En milieu anisotrope, la loi de Fourier s’écrit sous la forme :

où  est le tenseur conductivité thermique.

• La loi de Fourier est une loi phénoménologique ; les théories sur l’interprétation microscopique du processus de Conduction dépendent de la nature du milieu gaz, liquide, solide amorphe, solide cristallin ou métal ; elles sont loin d’être achevées.

• Il convient de remarquer l’analogie qui peut être faite entre la loi de Fourier et la loi d’Ohm introduite en électrocinétique des courants continus .

Dans le cas de la diffusion de matière la même analogie peut être faite avec la loi de Fick.

3. Les équations de Conduction de la Chaleur

3.1. Les équations au sein d’un milieu matériel isotrope

n Rappel du premier principe de la Thermodynamique

Entre deux instants successifs t et t + dt, le premier principe de la Thermodynamique pour un système peut être écrit :

• doit être compris comme la transformation au sein du milieu d’énergie potentielle, " chimique " en énergie calorifique ; il s’agit de l’effet Joule ou de l’énergie calorifique résultat d’une réaction exothermique ou endothermique (nous appelons sources de chaleur internes ce type d’énergie)

• est la variation d’énergie interne

• représente les échanges de chaleur aux frontières du système ; situé au sein du système siège d’un phénomène de conduction de la chaleur, ces échanges sont de type conductifs

• représente les échanges de travail aux frontières du système.

On considère un élément du milieu quelconque, suffisamment petit pour être homogène, de volume V, limité par une surface S. est la puissance calorifique volumique des sources internes, si bien que

Les évolutions du milieu, sauf cas particulier, se font à pression constante ,
où  est l’élévation de température par unité de temps,  et  respectivement la masse volumique et la capacité calorifique massique à pression constante du milieu (on remarquera que, dans le cas d’une évolution à volume constant, il conviendrait de remplacer la capacité calorifique à pression constante par celle à volume constant et que la différence n’est significative que dans le cas des gaz).

• Les échanges de chaleur aux frontières du milieu s’expriment, compte tenu de l’orientation de la normale ,par la relation

n Remarques

• Milieu isotrope à caractéristiques thermophysiques constantes

sont appelés les caractéristiques thermophysiques d’un matériau, elles sont constantes si le matériau est homogène et si elles ne dépendent pas de la température.
L’équation indéfinie de la chaleur s’écrit : 
où  est appelée diffusivité thermique du matériau et se mesure, dans le système MKSA en 

• Milieu isotrope à caractéristiques thermophysiques non uniformes

Il s’agit du cas de matériau non homogène où les caractéristiques thermophysiques dépendent des coordonnées d’espace.
L’équation indéfinie de la chaleur s’écrit :

• Milieu isotrope à caractéristiques thermophysiques dépendant de la température

L’équation indéfinie de la chaleur s’écrit :

Le milieu, siège d'un phénomène de conduction, est en contact, à ses frontières, avec des fluides et/ou le vide.
On traduit les échanges de chaleur par des lois " linéarisées " de type,
où,
- est un point quelconque de la frontière et le coefficient d'échanges avec la source externe à température caractéristique .
Cette loi est connue sous le nom de condition de 3ème espèce appelée aussi condition de Fourier.

a) Le cas particulier conduit à puisque la densité de flux de chaleur échangée ne saurait être infinie.
On dit que la température à la frontière est imposée par le milieu extérieur : cette loi est connue sous le nom de condition de 1ère espèce appelée aussi condition de Dirichlet ou de " température imposée ".

b) Le cas particulier correspond à une valeur connue de .
Une valeur nulle de la densité de flux de chaleur correspond à une isolation thermique, une valeur non nulle est obtenue si .
On dit que le la densité de flux de chaleur à la frontière est imposée : cette loi est connue sous le nom de condition de 2ème espèce appelée aussi condition de Neumann ou de " flux imposé ".

n Validité de la loi d’échanges de type Fourier

• Convection
(voir cours de spécialité)
La loi proposée est bien vérifiée dans le cas de la convection forcée, le coefficient d’échanges  étant, en SI, de quelques dizaines pour les gaz et de quelques milliers pour les liquides.
En convection naturelle, cette loi est moins bien vérifiée et le coefficient d’échanges doit être pris sous la forme  où m est égal à 0,25 pour un écoulement laminaire et 0,33 pour un écoulement turbulent. L’ordre de grandeur pour  est de quelques unités dans le cas des gaz et de quelques centaines dans le cas des liquides.
Ces valeurs de coefficient d’échanges dépendent aussi de la définition de la température  caractéristique du fluide. Pour un espace extérieur ouvert, il s’agit de la température " au loin " c’est à dire en dehors de la couche limite, pour un espace réduit il peut s’agir d’une température " centrale " ou " moyenne dite de mélange ".
Les coefficients d'échanges par convection solide-liquide sont nettement plus élevés que ceux solide-gaz. Les échanges solide-liquide se rapprochent d'une condition de 1ère espèce (température imposée) surtout en convection forcée à fortes vitesses d'écoulement.

• Rayonnement
(voir cours de spécialité)
Les théories montrent que les échanges de chaleur par rayonnement thermique " peuvent s’écrire " sous la forme : où représente la densité de flux de chaleur échangée par rayonnement entre deux parois à températures (exprimées en Kelvin) , f un facteur de forme dépendant de la position relative des parois et de leur aptitude à émettre de l’énergie sous forme d’ondes.
est la constante de Stefan-Boltzmann.

cas particulier


si bien que 
Pour f = 1 et aux températures ordinaires .

cas particulier

: la densité de flux de chaleur est connue à la frontière du milieu.
On obtient une condition de type " flux imposé " est connue sous le nom de condition de 2ème espèce ou condition de Neumann.

• Changement d’état

Lorsqu’il se produit à la frontière un changement d’état (ébullition, condensation, évaporation, ...), on considère que la température à la frontière est celle du changement d’état.
On obtient une condition de type  connue c'est à dire une condition de 1ère espèce ou condition de Dirichlet.

• Convection et rayonnement

Nous nous intéressons au cas où on rend compte des échanges par convection et rayonement par des coefficients d’échanges , les températures caractéristiques relatives à chacun des modes d’échanges  pouvant être différentes.

avec 

Aux équations indéfinies de la chaleur propres à chaque milieu et aux équations aux frontières extérieures, il convient d’ajouter les équations aux frontières intérieures c’est à dire au contact physique des milieux isotropes.

A la séparation de deux milieux, il existe une couche de transition.
L’épaisseur de cette couche peut être extrêmement faible si les milieux adhèrent parfaitement l’un à l’autre. Elle peut être beaucoup plus importante s’il s’agit d’un contact de deux milieux solides présentant des irrégularités de surface, réunis par un liant (collage, soudure) ou simplement accolés avec un fluide interstitiel (air par exemple). Dans ce dernier cas, le contact ne s’effectue qu’en un certain nombre de zones de faible étendue.
Deux modes de transfert se superposent :
- un transfert par conduction au niveau des zones de contact,
- un transfert complexe à travers le milieu interstitiel.
Dans le cas de milieux solides conducteurs, il se produit une convergence des lignes de flux vers les zônes de contact où le passage de la chaleur est plus facile appelée effet de constriction.
Lorsque la conductivité du milieu interstitiel est voisine de celle des milieux en contact, l’effet de constriction devient très faible et peut être négligé.

On tient compte du phénomène en introduisant les lois au contact (aux frontières intérieures) :

est la densité de flux de chaleur moyenne qui traverse le contact et  le flux de chaleur qui traverse le contact sur toute la surface géométriquement accolée.
qui traduit l’imperfection du contact thermique (l’importance de la couche de transition) est appelée la résistance thermique de contact. On reviendra sur cette notion lors de l’étude des régimes permanents.
Remarque : ces lois sont discutables en régime transitoire (puisque l’aspect capacitif de la zône de transition n’est pas analysé) et non valides si, dans la couche de transition, se produit une absorption ou génération d’énergie (réaction physico-chimique, effet Peltier, frottement, ...)

3.4. Les conditions limites sur la variable temps

Il s’agit de la connaissance des champs de température dans les différents milieux à un instant donné pris, sauf indication contraire, comme origine du temps.

4. Conduction de la chaleur et Second Principe de la Thermodynamique
 

On envisage le milieu sans sources internes et l’équation indéfinie de la chaleur s’écrit : . Nous formulons le second principe de la Thermodynamique sous la forme  où est la différentielle totale de l’entropie, l’entropie élémentaire échangée par le milieu et l’extérieur, l’entropie élémentaire d’irréversibilité.

peut être calculée en envisageant une transformation réversible à pression constante.

Les échanges de chaleur aux frontières du milieu ont lieu par conduction 

La conduction de la chaleur est productrice d’entropie, c’est souvent la principale cause d’irréversibilité des transformations. La production d’entropie augmente avec la densité de flux de chaleur transféré et diminue avec la conductivité.

5. Analyse thermique

Comme dans tous les domaines de la Physique, il est fondamental avant de procéder à la résolution d'un problème, avant d'entreprendre une étude d'en faire une analyse pratique qui conduira à des équations adaptées.
Cette analyse permet des hypothèses simplificatrices, parfois volontairement simplificatrices pour obtenir une solution simple qui permet de dégager des éléments sur l'influence de différents paramètres.
En Conduction de la chaleur, il conviendra de s'interroger sur :
- le type de régimes,
- les échanges aux frontières et les équations qui en découlent,
- les symétries du système.
Ceci fait, la méthodologie pour obtenir les équations repose sur la conservation de l'énergie appelée par le thermicien "bilan énergétique".
A ce stade, il conviendra d'envisager la résolution mathématique analytique ou numérique.
La qualité de cette analyse dépend souvent de l'expérience et des compétences de celui qui l'a fait en ayant conscience qu'une solution analytique (fut-elle simplifiée) est beaucoup plus performante pour mettre en évidence l'influence des différents paramètres.

n Expressions mathématiques de l’équation indéfinie de la chaleur

Nous limitons nos propos, facilement généralisables, au cas de caractéristiques thermophysiques constantes.
Il s’agit de connaitre les expressions de  pour les différentes géométries possibles.
Pour cela, le mathématicien utilisera le théorème d’Ostrogradski, à savoir , le thermicien lui préfèrera la méthode dite du bilan thermique.
Cette méthode revient à appliquer le premier principe de la Thermodynamique sur un élément de volume adapté aux géométries et aux symétries du problème thermique.

• Exemple : le " mur "

En thermique, on appelle " mur " un système où les échanges de chaleur se produisent suivant une direction cartésienne, par exemple x.
représente le champ de température.

L’élément de volume adapté est compris entre les faces x et x+dx de surface S arbitraire. Dans ces conditions,  Le flux de chaleur " entrant " par conduction par la face x est égal à , celui " sortant " par la face x+dx est égal à  .

L’application du premier principe conduit à :
ð

• Exemple : Symétrie de révolution sans gradient axial de température

représente le champ de température, r étant la distance à l’axe de révolution.
L’élément de volume adapté est compris entre les cylindres coaxiaux de longueur arbitraire L et de rayons respectifs r et r+dr.
Dans ces conditions, 
Le flux de chaleur " entrant " par conduction par la face latérale de rayon r est égal à , celui " sortant " par la face latérale de rayon r+dr est égal à .
L’application du premier principe conduit à :
ð

• Exemple : Symétrie sphérique

représente le champ de température, r étant la distance à un point.L’élément de volume adapté est compris entre les sphères concentriques et de rayons respectifs r et r+dr.
Dans ces conditions, 
Le flux de chaleur " entrant " par conduction par la sphère de rayon r est égal à , celui " sortant " par la face latérale de rayon r+dr est égal à .
L’application du premier principe conduit à :
ð

• Autres exemples

Les résultats sont donnés sans démonstration.
Système à deux coordonnées cartésiennes : 
Système à trois coordonnées cartésiennes : 
Système à symétrie de révolution avec gradient axial de température :

Coordonnées cylindriques : 
Coordonnées sphériques avec symétrie de révolution :

Coordonnées sphériques :