Calculatrice de poche y compris calculatrice programmable et alpha numérique à fonctionnement autonome, non imprimante autorisée conformément à la circulaire n°6-228 du 28 juillet 1986.

On respectera scrupuleusement les notations et la numérotation des questions 

Deux flotteurs cylindriques identiques peuvent osciller verticalement dans une cuve cylindrique remplie d'eau. On admettra que la surface libre de l'eau reste horizontale et on appliquera le théorème d'Archimède. (Tout corps .....)

Donnés numériques:
Diamètre de la cuve: D = 10 cm ; masse volumique de l'eau: r = 1000 kg. m^-3
Diamètre d'un flotteur d = 4cm ; hauteur d'un flotteur h = 20 cm
Les flotteurs sont des tubes lestés avec de la grenaille de plomb. 
L'accélération de la pesanteur est : g = 9.81 m.s^-2
Au repos les tubes sont immergés à mi-hauteur (h₀=h/2)

1 Déterminez dans ces conditions la masse m de chaque cylindre. AN.

2 Le cylindre 2 est bloqué dans sa position de repos. On étudie le mouvement du cylindre 1. Soient z₁ l'altitude du cylindre 1 au dessus de sa position de repos et z celle de la surface de l'eau à l'instant t. L'origine des axes verticaux ascendants z1 et z sera située au niveau la surface de l'eau lorsque le cylindre 1 est au repos.

2.1 Soient S la surface de la section de la cuve et s celle d'un cylindre. Déterminer le déplacement algébrique z du niveau de l'eau en fonction de S, s et z₁ AN: z₁ = z₁₀= 5 cm

2.2 Déterminer dans ces conditions la hauteur immergée h_im du cylindre 1.  AN si: z₁ = z₁₀= 5 cm.
En déduire la poussée d'Archimède F_A sur le cylindre 1. AN: z₁ = z₁₀= 5 cm

2.3 Etablir l'équation différentielle du mouvement du cylindre 1 si les frottements sont négligeables.

2.4 A l'instant t= 0 le cylindre 1 est lâché sans vitesse initiale à l'altitude z0= 5cm. Déterminer l'équation du mouvement z₁(t). A.N. Calculez la pulsation w₀ et la période T₀ du mouvement.
3 On observe en réalité des oscillations amorties. La force de frottement proportionnelle à la vitesse de déplacement du cylindre n'est pas négligeable.
Pour les applications numériques: dans  on prendra f= 0.1 kg.s^-1
3.1 Etablir la nouvelle équation différentielle du mouvement. On posera: 
3.2 Avec les mêmes conditions initiales qu'en 2.4, montrer que le mouvement est oscillatoire amorti et déterminer l'équation du mouvement z₁(t)..
4 Le cylindre 2 est animé d'un mouvement sinusoïdal de la forme 

4.1 Déterminer l'équation différentielle du mouvement z₁ (t) du cylindre 1 en tenant compte de la force de frottement. On posera:  A.N.

4.2 La solution générale de l'équation différentielle avec second membre nul a déjà été obtenue en 3.2. Déterminer la solution particulière de l'équation différentielle avec second membre non nul lorsque le régime transitoire a disparu. On utilisera de préférence la notation complexe. On exprimera l'amplitude du mouvement du cylindre 1

4.3 Déterminer la pulsation W_m pour laquelle l'amplitude z_1m est maximum et calculer cette amplitude si z_2m= 2 cm. Applications numériques: calculer W_m et l'amplitude z_1m

4.4 Exprimez la solution générale de l'équation différentielle avec second membre. 
On prendra pour conditions initiales:

5 Les deux cylindres sont libres de se mouvoir verticalement. On négligera les forces de frottement. On étudie les oscillations couplées des deux cylindres

5.1 Etablir les équations différentielles des mouvements z₁(t) et z₂(t)

5.2 Déterminer les pulsations propres w₁ et w₂ on prendra w₁ < w₂

5.3 Pour chaque pulsation, déterminer le rapport des amplitudes des mouvements

5.4 Exprimer la solution la plus générale décrivant le mouvement des deux cylindres. 

5.5 Déterminez z₁(t) et z₂(t) avec les conditions initiales:

 
 

1 A l'équilibre, la hauteur immergée d'un flotteur est h0 = h/2. La poussée d'Archimède équilibre le poids.

AN: Régressi s=1.257 10^-3 m² et m= 125.7 g: 
Télécharger le fichier Régressi Windows: flotteurs1.rw3
2.1 Soit S la surface de la section de la
cuve et s celle d'un cylindre. Si nous élevons le cylindre 1, le niveau de l'eau descend.

AN : 

2.2 Calculons la poussée d'Archimède sur le cylindre 1.

AN : F_A=0,471 N
2.3 Etablissons l'équation différentielle du mouvement du cylindre 1 si les frottements sont négligeables. Les mouvements sont verticaux et le référentiel sera supposé galiléen.

L'équation différentielle du mouvement est celle d'un oscillateur harmonique.

2.4 A l'instant t= 0 le cylindre 1 est lâché sans vitesse initiale à l'altitude z0= 5cm. Déterminons l'équation du mouvement z₁(t).

3.1 Etablissons la nouvelle équation différentielle du mouvement.

Télécharger le fichier Régressi Windows: flotteurs3.rw3

4 Le cylindre 2 est animé d'un mouvement sinusoïdal de la forme 

4.1 Déterminons l'équation différentielle du mouvement z₁ (t) du cylindre 1 en tenant compte de la force de frottement.

Conservation du volume:

La hauteur immergée est : 
La poussée d'Archimède sera alors:

L'équation différentielle s'écrit:

4.2 La solution de l'équation avec second membre nul était: 

Lorsque le régime permanent est établi:

Posons: 

Reportons dans l'équation différentielle:

4.3 Déterminons la pulsation W_m pour laquelle l'amplitude z_1m est maximum.

La pulsation cherchée est donc:

très proche de w₀

L'amplitude maximale sera:

4.4  Solution numérique Télécharger le fichier Régressi Windows: flotteurs4.rw3
       Solution analytique 
Exprimons la solution générale de l'équation différentielle avec second membre.

Déterminons les constantes A et B avec les conditions initiales:

Les valeurs de z_1m et de j ont été calculées auparavant.
Télécharger le fichier Régressi Windows: flotteurs4_4.rw3

5 Les deux cylindres sont libres de se mouvoir verticalement. On négligera les forces de frottement. On étudie les oscillations couplées des deux cylindres

5.1 Etablir les équations différentielles des mouvements z₁(t) et z₂(t)

On cherche des solutions particulières de la forme:

5.3 Pour chaque pulsation, déterminer le rapport des amplitudes des mouvements

5.4 Exprimons la solution la plus générale décrivant le mouvement des deux cylindres.

5.5 Déterminez z₁(t) et z₂(t) avec les conditions initiales:

Les équations qui régissent les mouvements de deux cylindres seront donc

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