FACULTÉ DES SCIENCES

ET DES TECHNIQUES

DE NANTES

 

LICENCE SCIENCES PHYSIQUES

Module de Physique Fondamentale

Contrôle du 25/04/2001

Durée 2H

Calculatrices autorisées cf. circulaire N°99-186 du 16-11-1999 MEN

Le matériel autorisé comprend toutes les calculatrices de poche y compris les calculatrices programmables, alphanumériques ou à écran graphique à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit pas fait usage d'imprimante. ….Le candidat n'utilise qu'une seule machine sur la table….

Coin d'air et  localisation des franges

Les figures inclues dans le texte ont été réalisées avec le logiciel cabri géomètre. Pour répondre à certaines questions vous devrez utiliser des intercalaires avec des figures à compléter.

Soit un coin d'air d'angle α.. situé entre deux surfaces réfléchissantes M1 et M2. Le dispositif est éclairé latéralement sous l'incidence io. La droite d'intersection de ces deux surfaces est normale au plan de figure au point O origine du système d'axes xOy.

La source monochromatique de longueur d'onde λ est ponctuelle et située au foyer objet F d'une lentille convergente de distance focale f'.

Les vecteurs unitaires  d'origine O représentent les directions de propagation des ondes planes réfléchies par M1 et M2. Soient  OB et OB' respectivement les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle des vecteurs

On a placé perpendiculairement à la direction moyenne des faisceaux réfléchis, un écran qui est donc parallèle à la seconde  bissectrice OB'. On supposera que les réflexions sont de même nature et que les amplitudes des vibrations réfléchies sont égales. (A1=A2=A0).

1           Soit M (x,y) un point du plan de figure situé sur cet écran.  On utilise pour cette question l'intercalaire 1 avec la figure 1

1.1     On observe sur cet écran des franges d'interférences, pourquoi? Expliquez vous simplement en quelques mots clés. Les franges sont elles localisées?

1.2     Exprimez dans le repère xOy les composantes des vecteurs

1.3     Décrivez et montrez sur le schéma, les étapes de la construction des rayons [1] et [2] qui vont  de la source  au point M de l'écran.

1.4     Au point O, construisez les traces des plans d'onde P01 et P02 normaux aux directions . Que dire de la différence de phase φ =φ2 – φ1 et de la différence de marche δ au point O?

1.5     Au point M construisez les traces des plans d'onde [P1] et [P2] normaux aux directions  et les projetés orthogonaux H1 et H2 de M sur ces directions
Que dire de la différence de marche δ0 et de la différence de phase φ0=φ2 – φ1 au point M?

1.6     Exprimez δ0(M) et φ0(M)  en fonction de x,y, io+α, α et si nécessaire de λ.

1.7     Déterminez l'intensité I(M) au point M en fonction de A0 et de φ0.

1.8     Déterminer en fonction de x,y, io+α, α,  λ et de k, l'équation y=f(x) des courbes qui représentent dans le plan de figure la trace des surfaces où l'intensité est maximale. Tracez ces courbes sur votre figure 1. (intersections avec l'écran et OB')

1.9     Décrire l'aspect des franges sur l'écran et déterminez l'interfrange itf en fonction de α et de λ

2           On considère maintenant un écran "virtuel" dont la trace dans le plan de figure serait celle de la seconde bissectrice OB'. Soit M'(x,y)  ou M'(ρ,θ) un point de cet écran virtuel.

2.1     Construisez le rayon [2] réfléchi sur M2  qui semble provenir du point M' puis le rayon [0] en provenance de la source. Montrez que la construction du rayon [1] semblant provenir du point M' est ensuite très simple.

2.2     Quelle particularité importante présentent les rayons réfléchis [1] et [2] qui semblent provenir de M'?

2.3     Décrire brièvement ce que devrait voir l'observateur qui accommode sur le plan OB'. Quelle est la valeur de l'interfrange (sur OB'). Représenter les maxima d'intensité par des points sur OB'. On notera ρk la position de ces maxima

2.4     Un écran (réel) est placé perpendiculairement au faisceau réfléchi à une distance OE=1m. On dispose d'une lentille convergente de 8 dioptries. A quelle distance de l'écran doit on placer la lentille pour former une image nette de l'état interférentiel dans le plan OB'?

3           La source placée au foyer de la lentille de distance focale f'est une source large de largeur a. L'incidence du faisceau sur M1 variera donc de io-Δi à io+Δi.  (intercalaire figure 3)

3.1     On a représenté sur la figure 3 jointe en intercalaire, les positions extrêmes de la seconde bissectrice des directions . Indiquez les valeurs correspondantes des angles

3.2     Les points représentés sur OB' correspondent à des maxima d'intensité. Pour les ordres 1, 2 ,3 et 4, représentez  pour chaque position extrême (incidences io-Δi et io+Δi) la trace dans le plan de figure des surfaces d'intensité maximale (cf 1.8). Pour représenter la totalité de la source coloriez pour chaque ordre la zone intermédiaire entre deux positions extrêmes.

3.3     Pourriez vous observer des franges d'interférences sur l'écran de la première question? Quelle est selon vous la position la plus favorable pour l'observation de franges très contrastées? Quel adjectif qualifie les franges qui ne sont observables que dans une zone très limitée? Quel dispositif utiliseriez vous pour les montrer sur un écran?

3.4     Pour les ordres élevés, un brouillage des franges intervient même dans la zone très favorable  définie ci dessus. En représentant plus précisément (Zoom sur la construction  d'une une zone de contraste maximum) montrez que l'on peut évaluer simplement l'élargissement de la zone d'intensité maximale. Déterminer la valeur maximale de k, si on estime que le brouillage intervient quand l'élargissement atteint 1/4 d'interfrange.

4           Pour compléter la  démonstration géométrique  précédente on peut également chercher la zone de contraste maximum en calculant l'intensité I(M) sous la  forme  I(M) = Io [1+ V cos φ0]. On découpera la source large en sources élémentaires correspondant à l'incidence io+i (i [- Δi , + Δi ]) et de largeur angulaire di. On supposera que la contribution dI de la source à l'intensité totale au point M est proportionnelle à di. On pourra donc procéder à calcul d'intégration très approché qui a déjà fait ses preuves pour d'autres sources larges.

4.1     Pour la source correspondant à l'incidence io+i et de largeur angulaire di, déterminer la nouvelle expression de φ(M)

4.2     L'angle i est assez petit pour que l'on puisse poser cos i ≈ 1 et sin i ≈ i. Exprimer φ(M) sous la forme
 φ(M)= φ0+ φ(x,y, i, i0+α, α, λ)

4.3     Exprimer dI et intégrer l'expression de – Δi à + Δi. Présenter le résultat sous la forme:
I(M) = Io [1+ V cos φ0].

4.4     Exprimer le contraste et montrer qu'il est maximum si le point M est sur OB'

4.5     De part et d'autre de OB', déterminez la position des surfaces sur lesquelles L contraste devient nul  pour la première fois. 

5 Le coin d'air traité dans ce problème peut être réalisé avec un interféromètre bien connu. Montrez schémas à l'appui comment vous pourriez reproduire les conditions expérimentales des questions 1, 2, 3

Rappels utiles

Bissectrice extérieure (dans un triangle): Droite passant par un sommet et perpendiculaire à la bissectrice intérieure correspondante. 2 bissectrices extérieures et la 3e bissectrice intérieure concourent en un point, centre d'un cercle exinscrit au triangle (tangent à un côté et aux prolongements des deux autres).

Nom :                             prénom:                                                  Intercalaire N° 


Nom :                             prénom:                                                  Intercalaire N° 

 

2.1

Nom :                             prénom:                                                  Intercalaire N° 


SOLUTION

Coin d'air et  localisation des franges

 

 

1.1      La source est ponctuelle et monochromatique. Elle est placée au foyer F de la lentille convergente de distance focale f'. Une onde sphérique émise par la source devient une onde plane au delà de la lentille. Soit un plan d'onde P0,. tous les chemins optiques qui vont de la source à P0 sont égaux. Il en est de même pour les ondes réfléchies par les miroirs M1 et M2 qui sont cohérentes. On pourra donc toujours trouver au point M deux rayons cohérents issus de la source ponctuelle F.

1.2      Dans le repère xOy les composantes des vecteurs  sont:

1.3      Pour construire les rayons [1] et  [2] on trace par M deux parallèles aux directions  . Les intersections avec M1 et M2 sont respectivement I1 et I2 par lequels on mène deux parallèles à la direction i0. Soient J1 et J2 les points d'intersection avec la lentille. On trace ensuite en traits pleins les segments FJ1 FJ2; J1 I1  J2I2  et I1M, I2M. On cache ensuite les droites de construction.

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1.4      Au point O on peut tracer les plans d'onde P00 (incident) P01 et P02.(réfléchis) Au point O φ = 0 et δ = 0

1.5      On construit sur la figure les plans d'onde P1 et P2 passant par M et les projetés orthogonaux H1 et H2 sur les directions . En M et H1 la phase est φ1 pour l'onde plane N°1 et φ2 en M et H2 pour l'onde plane N°2. La différence de marche sera: δ0= OH2 –OH1

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1.6      Dans ces conditions:

 

1.7      On peut représenter les vibrations transversales qui parviennent au point M par:




Au point M les vibrations sont cohérentes. Additionnons les vibrations:

L'intensité détectée par le récepteur placé au point M sera proportionnelle au carré de l'amplitude de la vibration résultante.


En tenant compte des données du texte:

1.8      L'intensité est maximale si cos φ0 = +1  ou si φ0 = 2 kπ


Ce sont des droites parallèles à la bissectrice OB de l'angle des vecteurs
Elles coupent l'axe Ox  en
 ou sur l'écran  cf OB' 

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1.9      Les franges brillantes sur l'écran sont rectilignes et parallèles à l'arête du coin d'air. Elles apparaissent dans la zone de recouvrement des faisceaux issu de M1 et M2
Si O' est le point d'intersection de l'écran avec OB et ρ'=O'M on aura :

Régressi 2.29 et +

2            On considère ,maintenant un écran virtuel placé selon OB'

2.1      On trace par M' deux droites parallèles respectivement à qui coupent M1 en I1 et M2 en I2. En I1,construisons le rayon incident correspondant. Dans le triangle MI1I2 0M' et OM1 sont bissectrices extérieures. OM2 est donc bissectrice intérieure. Il en résulte que I1I2 est le prolongement du rayon initial [0]

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2.2      Les rayons [1] et [2] peuvent ^être considérés comme résultants d'un même rayon initial. On parle dans ce cas de division d'amplitude.

2.3      Un observateur qui accommode sur le plan OB' devrait voir des franges parallèles à l'arète du coin d'air. Le calcul de la différence de marche est encore valable
 

2.4      Un écran réel est placé à 1 m. la lentille est convergente et f'= 1/8= 0,125 m
Soit C le centre optique et  A un point du plan observé sur l'axe de la lentille et A' son image sur l'écran mous aurons:


On choisira la première solution. Comme tout les chemins optiques qui vont d'un point à son image sont égaux on obtiendra  sur l'écran une image nette et agrandie de l'état interférentiel dans le plan de OB'.

3            On élargit la source. L'incidence variera donc de io-Δi à io+Δi

3.1      Les positions extrêmes de OB' seront donc io+α-Δi à io+α +Δi

3.2      Télécharger la figure Cabri

3.3      Sur l'écran de la première question on obtiendrait un éclairement uniforme. La zone la plus favorable pour l'observation des franges avec une source large est justement celle de l'écran virtuel de la deuxième question. On dit que les franges sont localisées. On les visualise en projetant l'image du plan de localisation OB' sur l'écran  avec la lentille. Généralement on pose immédiatement que la seule solution pour obtenir des interférences localisées est la division d'amplitude et on détermine le la, différence de marche et le plan de localisation sans démontrer que c'est effectivement le plan d'observation le plus favorable.

3.4      Sur la  figure 4 on fait apparaître l'élargissement PQ de la frange brillante d'ordre k.

Pour évaluer le nombre des franges visibles nous estimerons que le brouillage intervient si PQ > itf/4

4            Pour un calcul grossier on décompose la source en sources élémentaires de largeur angulaire di

4.1       La source élémentaire correspondant à l'incidence i0+i


Utilisons les approximations proposées

4.2      L'intensité correspondant à la source élémentaire sera donc:




4.3      Le contraste est défini par:
 
donc C=V. Le contraste est  maximum pour

Cette condition est remplie sur la droite :

C’est à dire sur la droite OB’ seconde bissectrice  qui sera la trace du plan de localisation des franges sur le plan de figure

4.4      Cherchons la première annulation du contraste.


Ce sont donc deux droites parallèles à OB’ à une distance :


Si Di=5°  on obtient   5,7 interfranges. On ne trouve pas de brouillage en s’éloignant sur OB’. Avec des approximations plus fines en ce qui concerne le cos i. nous aurions sans fait apparaître les termes correspondants au prix de calcul nettement plus complexes. Cependant l’objectif de ce problème est atteint. Il nous sera désormais plus facile d’admettre la localisation des franges avec une source étendue. On retiendra que l’interfrange ne varie pas avec l’incidence et que la surface de localisation est exactement celle que l’on retrouve en faisant intervenir la division d’amplitude. "L'épaisseur" de la zone de localisation est de deux ou trois interfranges. Dans le cas des anneaux de Newton il sera inutile de se lancer dans des tracés complexes qui ne démontrent rien, le plus simple suffira. On choisira une incidence normale entre lame et lentille.

 

5            Pour cette question on se référera au texte  du TP sur le Michelson

6            Texte et solution proposée par Jacques Charrier