L'équation de Van Der Pol
x" + a(x²/b²-1)x' +w0²x = 0
- Cette équation, non linéaire, est utilisée pour modéliser des oscillateurs entretenus.
Elle n'a pas de solution explicite, mais seulement numérique.
Elle comporte deux paramètres a et b ayant des rôles bien particuliers, que l'animation ci-dessous permet de mettre en évidence. Sur cette animation, il est possible de choisir les valeurs de a, b et w0 (curseurs) ainsi que les conditions initiales x0 et x'0 (points cerclés). Ces valeurs sont affichées à droite du graphe.
- a apparaît comme un terme de réaction : lorsqu'il est nul, l'équation est celle d'un oscillateur sinusoïdal, et les oscillations ont une amplitude qui dépend des conditions initiales. Puis, si on le fait croître, on observe des oscillations même avec des conditions initiales très petites. Ces oscillations se déforment à mesure que a augmente.
- b apparaît comme un terme de contrôle : lorsque x > b, le coefficient de la dérivée première devient positif, jouant un rôle modérateur, et lorsque x < b, il joue un rôle moteur, d'où l'établissement puis la stabilisation des oscillations. On s'aperçoit que l'amplitude maximum est voisine de 2*b quelles que soient les conditions initiales.
- En faisant varier les conditions initiales, on constate que les oscillations s'amorcent même avec des valeurs très faibles, et que ces valeurs n'ont pas d'influence sur le régime établi.
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- On trouvera une animation temporelle, ainsi que le portrait de phase à cette page.
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