Analyse d'un portrait de phaseConsidérons un oscillateur possédant un seul degré de liberté, car assujetti à une trajectoire (rectiligne ou curviligne). Le repérage de sa position se fait à l'aide d'une coordonnée (abscisse x, angle q, abscisse curviligne s, etc...). L'état mécanique de cet oscillateur à un instant donné est complètement déterminé par la connaissance de sa position et de sa vitesse, elles mêmes calculables à l'aide de l'équation différentielle du mouvement et des conditions initiales. Cet état mécanique peut être représenté sur un graphe (vitesse, position), appelé "portrait de phase".
Pour des raisons d'homogénéité, s'il s'agit d'un oscillateur de pulsation propre w0, nous porterons en ordonnées la quantité v/w0, homogène à une longueur, et tracerons le graphe en axes orthonormés. Ainsi la trajectoire de phase d'un oscillateur harmonique non amorti sera ue ellipse (ou un cercle, selon l'échelle), décrite dans le sens horaire : voir cette page. Observons maintenant différentes caractéristiques de ce portrait : La lecture des coordonnées d'un point M de l'espace des phases donne directement la vitesse et la position du mobile. La trajectoire décrite par M donne l'évolution du système au cours du temps. On peut reconnaître quelques caractères généraux : - lorsque l'oscillateur est amorti, la trajectoire converge inexorablement vers un point, de l'axe des abscisses (position d'équilibre) ; - lorsque l'oscillateur est entretenu, la trajectoire converge vers une trajectoire limite, correspondant à un régime permanent (cycle limite) ; - un système instable n'a pas de trajectoire limite ; Un calcul simple montre que l²= x²+ v²/w0² = 2/k*(1/2 mv²+ 1/2 kx²) = 2/k*Energie mécanique de l'oscillateur harmonique.
On peut donc "lire" sur le portrait de phase les pertes ou gains d'énergie (frottement ou au contraire entretien des oscillations). On peut associer à la trajectoire de phase un vecteur vitesse. Ce vecteur vitesse a pour abscisse la vitesse et pour ordonnée l'accélération, c'est-à-dire, au facteur m (masse) près, la résultante des forces. Examinons les cas particuliers :
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