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équation canonique
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solution
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exemples
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| de base | y"+w0²y = 0 | y = A cos(w0t) + B sin(w0t)
y = C cos(w0t + j) |
- oscillateur harmonique, mécanique ou électrique |
| y"- a²y = 0 | y = A ch(at) + B sh(at) | - particule sur une tige dans un référentiel en rotation uniforme | |
| générale avec second membre nul | y''+2ly'+w0²y = 0 | Si l < w0 régime pseudo-périodique : y = A exp(-lt) cos(wt+j) avec w²=w0²-l²
Si l > w0 : régime apériodique (surcritique) : y=Aexp(r1t)+Bexp(r2t) Si l = w0 : régime critique : y = exp(-lt)*(At+B) |
- décharge d'un condensateur à travers R et L (l = R/2L et w0²=1/LC)
- oscillations d'une masse accrochée à un ressort horizontal (l = h/2m et w0² = k/m) |
| second membre constant | y''+2ly'+w0²y = w0²E | Si l<w0 régime pseudo-périodique : y = A exp(-lt) cos(wt+j) + E
Si l > w0 : régime apériodique (surcritique) : y = A exp(r1t)+B exp(r2t) + E Si l = w0 : régime critique : y = exp(-lt)*(At+B) + E |
- "charge" d'un condensateur à travers R et L sous une tension constante |
| second membre sinusoïdal | y''+2ly'+w0²y=w0²E*cos(wt) | régime sinusoïdal établi au bout de peu de temps : on ne calcule que la SPEG, de la forme A cos(wt+j)
A et j se déterminent par l'outil des complexes |
- circuit RLC en régime sinusoïdal
- oscillations forcées d'une masse |
(*)SPEG : Solution Particulière de l'Equation Globale : elle a la même forme que le "second membre".