Equations différentielles linéaires

L'objectif de cette page est d'illustrer la solution des équations différentielles linéaires du premier ou du second ordre rencontrées fréquemment en Physique. La résolution proprement dite est développée en cours de Mathématiques et ne sera pas détaillée ici. On trouvera un résumé des résultats et des exemples à cette page pour l'ordre 1 et à celle-là pour l'ordre 2.

Expression générale.

ax" + bx' + cx = f(t)

- pas d'excitation : c'est le "régime libre" ou "relaxation"
- une excitation constante
- une excitation en créneau
- une excitation sinusoïdale

Equation du Premier ordre

Un cas simple

x' = k x

Une telle équation décrit une grandeur dont l'évolution est proportionnelle à la grandeur elle-même. Si le coefficient de proportionnalité est positif, la grandeur "s'emballe" dans le temps (réaction en chaîne, instabilité). S'il est négatif, il joue un rôle "modérateur", et on aboutit vers un état d'équilibre, tel que x et x' s'annulent quelles que soient les conditions initiales.

Le cas "habituel"

La plupart des phénomènes naturels présentent une évolution vers un équilibre. Pour un phénomène temporel, l'équation peut alors se mettre sous la forme canonique :

x' + x/t = f(t)/t

t, homogène à un temps, est la "constante de temps" du système.

f(t), homogène à la grandeur x, est l'excitation.

L'animation ci-dessous permet de visualiser l'évolution de x dans le temps, avec possibilité de modifier les paramètres : constante de temps, excitation, période, position initiale, directement sur la figure (points entourés d'un cercle). Les valeurs de ces paramètres s'affichent à droite du graphe. Les boutons sous le graphe permettent de choisir le type d'excitation.

En manipulant la figure, on peut remarquer l'influence de la constante de temps, ou "temps de relaxation" sur le retour du système à l'équilibre, ou sur sa façon d'atteindre un régime établi.

Dans le cas d'une excitation périodique, il est intéressant de comparer t avec T : si t << T, la fonction x(t) suit la même évolution que l'excitation. En revanche, si t > T, le système n'a pas le temps de relaxer, et la fonction x(t), déphasée, prend une petite amplitude. Les oscillations de l'excitation sont donc filtrées à haute fréquence.

L'autre cas

x' - x/t = f(t)/t

L'évolution d'un tel système diverge dans le temps, et ne conduit donc pas vers un état d'équilibre.

Exemples : réaction en chaîne, AO dont le bouclage aurait été effectué sur la borne +.

Equation du Second ordre

Un cas simple

x" = k x

La dérivée seconde représente l'évolution de l'évolution... Pour que celle-ci ne s'emballe pas, il est nécessaire que l'on ait k < 0. L'équation peut alors se mettre sous la forme canonique :

x" + w0²x = 0

Une telle équation traduit une "accélération" proportionnelle au phénomène et constamment opposée à celui-ci. La grandeur x montre donc des "spasmes", une pulsation.

Le cas "habituel"

Si l'on rajoute un terme modérateur et une excitation, on obtient :

x" + 2lx' +w0²x = w0² f(t)

l est le terme "résistant "(s'il est positif !), et w0 est le terme "pulsant".

f(t), homogène à la grandeur x, est l'excitation.

L'animation ci-dessous montre les courbes obtenues dans les différents cas d'excitation envisagés plus haut. Les curseurs permettent de faire varier les paramètres internes du système (l et w0), les points cerclés les paramètres de l'excitation (amplitude E et période T), et les conditions initiales (x0 et x'0). Les valeurs s'affichent à droite du graphe.

En manipulant la figure, on peut constater la "compétition" entre les termes l et w0, et prévoir ainsi si le système présentera ou non des pseudo-oscillations :

l = 0.
lw0.
lw0.
lw0.
Pas de terme résistant
Le terme pulsant l'emporte sur le terme résistant : régime pseudo-périodique
Le terme résistant est égal au terme pulsant : régime critique
Le terme résistant l'emporte sur le terme pulsant : régime surcritique
oscillations sinusoïdales
oscillations amorties
pas d'oscillations
pas d'oscillations
On remarque que c'est lors du régime critique que le système revient le plus rapidement à l'équilibre.

Un cas particulier

x" - 2lx' +w0²x = f(t)

L'évolution de la fonction x(t) est divergente dans le temps.

On trouve parfois cette situation temporairement : la grandeur x(t) augmente très rapidement, et conduit à un comportement non linéaire ramenant le système vers l'équilibre. Le système est alors le siège d'oscillations entretenues.

Exemples en Electronique : oscillateur "à résistance négative", oscillateur à "pont de Wien".

On peut alors modéliser le phénomène à l'aide d'une équation différentielle non linéaire, par exemple l'équation de Van Der Pol

Portrait de phase : voir à cette page
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