Equations différentielles linéaires d'ordre 2

Cette page présente un résumé des équations souvent rencontrées en Physique

équation canonique
solution
exemples
de base

y"+ω0²y = 0

y = A cos(ω0t) + B sin(ω0t)

y = C cos(ω0t + φ)

oscillateur harmonique, mécanique ou électrique

y"- α²y = 0

y = A ch(αt) + B sh(α>t)

particule sur une tige dans un référentiel en rotation uniforme

générale avec second membre nul

y''+2λy'+ω0²y = 0

Si λ < ω0 régime pseudo-périodique : y = A exp(-λt) cos(ωt+φ) avec ω²=ω0²-λ²

Si λ > ω0 : régime apériodique (surcritique) : y=Aexp(r1t)+Bexp(r2t)

Si λ = ω0 : régime critique : y = exp(-λt)*(At+B)

décharge d'un condensateur à travers R et L (λ = R/2L et ω0²=1/LC)

oscillations d'une masse accrochée à un ressort horizontal (λ = h/2m et ω0² = k/m)

second membre constant

y''+2λy'+ω0²y = ω0²E

Si λ<ω0 régime pseudo-périodique : y = A exp(-λt) cos(ωt+φ) + E

Si λ > ω0 : régime apériodique (surcritique) : y = A exp(r1t)+B exp(r2t) + E

Si λ = ω0 : régime critique : y = exp(-λt)*(At+B) + E

"charge" d'un condensateur à travers R et L sous une tension constante

oscillations d'une masse suspendue à un ressort vertical

second membre sinusoïdal

y''+2λy'+ω0²y=ω0²E*cos(ωt)

régime sinusoïdal établi au bout de peu de temps : on ne calcule que la SPEG, de la forme A cos(ωt+φ)

A et j se déterminent par l'outil des complexes

circuit RLC en régime sinusoïdal

oscillations forcées d'une masse

suspension d'un véhicule sur une route bosselée

sismographe

(*)SPEG : Solution Particulière de l'Equation Globale : elle a la même forme que le "second membre".