Pendule sur un manège en rotation : étude de l'équilibre

Manipulons la figure...

Un manège tourne à la vitesse angulaire ω constante. Un pendule, dont on suppose le fil de fixation rigide et sans masse, est suspendu en un point I hors de l'axe. On examine les différentes possibilités d'équilibre de ce pendule dans le référentiel du manège, non galiléen car en mouvement de rotation. La masse est soumise à son poids mg, à la tension du fil T, et à la force d'inertie d'entraînement axifuge Fie. L'équilibre est obtenu lorsque la somme de ces 3 forces est nulle. On peut rechercher les positions qui réalisent cette condition, puis en bougeant de part et d'autre, examiner si la somme des 3 forces provoque un retour à l'équilibre ou non, afin de voir si l'équilibre est stable ou instable. En faisant varier la vitesse angulaire ou la longueur du fil, ou encore la position du point I, on peut constater qu'il y a deux ou quatre positions d'équilibre, dont la moitié est stable et l'autre moitié instable (manoeuvrer l'interrupteur).

Observons maintenant le diagramme de l'énergie potentielle. Celle-ci est formée de l'énergie potentielle de pesanteur mg*altitude et de l'énergie potentielle d'inertie -1/2mω²HM². Le point rouge correspond à la position du pendule. On s'aperçoit que l'équilibre stable correspond à un minimum (relatif) d'énergie potentielle ("cuvette de potentiel"), et l'équilibre instable à un maximum ("barrière de potentiel"). Pour passer d'un équilibre stable à un autre, il est nécessaire de franchir une barrière de potentiel. A l'équilibre la dérivée de l'énergie potentielle par rapport à la variable de position est nulle. Lorsque les deux positions d'équilibre de gauche sont confondues, la dérivée seconde est nulle également (point d'inflexion) : que dire de la stabilité dans ce cas ? En faisant varier les différents paramètres disponibles, observer la déformation du profil de potentiel.

Le cas où le point de suspension est sur l'axe est assez semblable au problème de l'anneau en équilibre sur un cerceau en rotation.