Anneau coulissant sans frottement sur un cerceau en rotation : stabilité de l'équilibre

Manipulons la figure...

Le cerceau tourne autour d'un axe vertical à la vitesse angulaire ω constante. L'anneau coulisse sans frottement sur celui-ci : la force de réaction est normale au support.

On s'intéresse à l'équilibre de cet anneau dans le référentiel du cerceau, non-galiléen car en rotation par rapport au référentiel du laboratoire (supposé, lui, galiléen). Puisqu'il s'agit d'équilibre, seule la force d'inertie d'entraînement (Fie) est à prendre en compte parmi les forces d'origine cinématique. Cette force, axifuge, d'intensité m ω²HM, dépend de la position de l'anneau, et de la vitesse du cerceau.

Il y a équilibre lorsque la somme des forces est nulle, c'est-à-dire lorsque la somme vectorielle (R+mg+Fie) est nulle. Chercher les positions de M qui conviennent : il y en a 2 ou 4 suivant la valeur de ω. Pour savoir si cet équilibre est stable, déplacer légèrement le point M et observer l'effet de (R+mg+Fie) : cet effet a-t-il pour résultat de ramener vers l'équilibre, ou d'en éloigner ? Dans le premier cas l'équilibre est stable, dans le second, instable. On peut constater qu'il existe une valeur critique de ω, au-dessus de laquelle il y a 4 positions d'équilibre, dont deux stables et deux instables, et en-dessous de laquelle il y a 2 positions d'équilibre, une stable et une instable.

Le graphe d'énergie potentielle rassemble les énergies potentielles de pesanteur (mgz, z étant l'altitude) et d'inertie (-1/2m ω²HM²) : l'équilibre stable correspond à un minimum d'énergie potentielle, On peut constater la déformation de cette courbe lorsque la vitesse angulaire varie, et retrouver ainsi les deux régimes d'équilibre.