Mouvement des planètes : loi horaire

Cette page décrit la manière de représenter le mouvement d'une planète sur son orbite.

On utilise pour cela l'équation du temps de Képler, dont on trouvera la démonstration ici (format pdf) :

t/T = [φ - e*sin(φ)]/(2*π)

T est la période de révolution, e est l'excentricité, et φ est l'anomalie excentrique, définie par : tan²(φ/2) = (1-e)/(1+e) tan²(θ/2), relation illustrée par la figure ci-dessous :


Modifier l'excentricité e.







La figure s'anime lorsqu'elle est survolée par le pointeur. Cliquer pour arrêter ou redémarrer l'animation.

On peut donc exprimer le temps en fonction de φ, et, par suite, de θ : voir la figure date.

Mais comment exprimer φ en fonction de t, puisque la relation est implicite ???

La figure ci-dessous explique la démarche :



L'interrupteur vertical permet de choisir si l'on fixe φ ou t.

En position haute, c'est φ que l'on contrôle, et t est calculé par l'équation de Képler. On obtient le point L.

En position basse, c'est t que l'on contrôle, et le graphe  (t,φ) est approché par 4 arcs de cercle, de couleurs différentes. L'anomalie excentrique est donc représentée par l'un des 4 points M, N, P, Q, appartenant à ces arcs.

Faire varier l'excentricité pour constater la concordance.

Connaissant phi en fonction de t, et θ en fonction de φ, il est désormais possible de représenter la position de la planète en fonction du temps.