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Oscillateur mécanique en régime sinusoïdal forcé

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Manipulons la figure...

Un objet cylindrique de masse m est suspendu à un ressort de raideur k, et plongé dans un liquide exerçant une force de frottement "fluide", proportionnelle à la vitesse, avec un coefficient h, qui dépend de la viscosité du liquide. Un dispositif formé de poulies permet d'imposer à l'oscillateur une excitation sinusoïdale.

Les paramètres de l'oscillateur sont :

  • sa pulsation propre : w0 = (k/m)1/2
  • son terme d'amortissement : l = h/2m
  • son facteur de qualité : Q = w0/2l

L'équation du mouvement s'écrit, par application du Principe Fondamental de la Dynamique dans un référentiel fixe :

mx" = -h*x'- k*(x-y), si on désigne par x(t) le mouvement de la masse et y(t) le mouvement de l'extrémité supérieure du ressort.

En d'autres termes, on peut écrire :

Voir cette page pour l'équation différentielle et celle-là pour l'animation du régime libre.

Manipulation

Sur le boîtier de l'appareil se trouvent un interrupteur Marche/Arrêt et un bouton rotatif (rouge) permettant de régler la fréquence. Un curseur permet de choisir la valeur du facteur de qualité (augmenter Q équivaut à utiliser un liquide de moindre viscosité).

A droite du dispositif on peut voir les graphes de l'excitation et du mouvement de la masse. Le graphe supérieur peut être "glissé" avec la souris, et superposé à l'autre, dans le but de comparer les courbes. Un appui sur le bouton "Clear" efface ces courbes. En haut à gauche est représenté le graphe du gain (amplitude de l'oscillation de la masse/amplitude de l'excitation) applet

En manipulant cette figure, on observe beaucoup de choses :

  1. Lors de la mise en route de l'excitation, la masse oscille de manière plus ou moins chaotique (d'autant plus que Q est grand), puis son mouvement se "stabilise" à une oscillation sinusoïdale de même pulsation que l'excitation, mais d'amplitude différente, et déphasée.applet
    On observe un régime transitoire, qui ne dure que peu de temps, suivi d'un régime sinusoïdal forcé.
  2. En faisant varier la fréquence, on constate que les deux oscillations diffèrent dans le temps, tout en restant synchrones.
    L'amplitude et la phase du mouvement de la masse dépendent de la fréquence.
  3. Lorsque l'excitation est de fréquence très basse, les deux oscillations sont identiques en amplitude et phase.applet
  4. Lorsque l'excitation est de fréquence "grande", l'oscillation de la masse a une petite amplitude, et elle est en opposition de phase avec celle de l'excitation.applet
    Le dispositif joue le rôle d'un "filtre passe-bas".
  5. Lorsque Q est "grand" (supérieur à 0,7) il existe une fréquence (1,5 Hz) pour laquelle l'amplitude de la masse passe par un maximum, et alors les deux oscillations sont déphasées de p/2 (Laquelle est en avance ?). On constate que cette fréquence correspond à celle du régime libre. Il y a en fait résonance pour la vitesse.

Le régime sinusoïdal forcé est cmplètement déterminé par la connaissance de son amplitude et de sa phase, fonctions de la fréquence.Voir aussi en Electricité le dossier sur le courant alternatif sinusoïdal.et celui sur les filtres.

Analogie électrique

La fonction de transfert en régime sinusoïdal forcé s'écrit :

Elle a la même expression que celle du filtre ci-après: voir cette page pour simuler ce fltre et visualiser les diagrammes de gain et de phase