MÉTHODES D'INTÉGRATION NUMÉRIQUE

On donne la fonction  en différents points  qui ne sont pas équidistants :
 

	-1,00	-0,50	-0,11	0,27	0,95	1,00	1,50	1,99	2,82	3,05	4,01	4,28
	-1,7510	-1,4376	-0,8870	-0,7118	0,1748	0,2490	1,0574	1,9643	3,7449	4,2891	6,7715	7,5240
	4,95	5,31	6,11	7,92	9,21	10,57	11,05	12,41	13,62	16,27	19,02	20,00
	9,4753	10,564	13,049	18,667	22,221	25,013	25,667	26,194	24,584	11,375	-22,411	-41,000

L'intégrale exacte de la fonction  sur l'intervalle  est I_ex telle que .

En utilisant la méthode des moindres carrés, chercher un modèle ()permettant de représenter . Intégrer analytiquement ce modèle sur l'intervalle  et comparer le résultat avec . Conclusion.

Intégrer numériquement les données de  (ou éventuellement ) sur l'intervalle  en utilisant une méthode d'intégration précise. Calculer l'erreur relative entre la valeur exacte et la valeur obtenue numériquement. Conclusion.

Pour la méthode de Gauss, par exemple, le tableau suivant donne les constantes pour  :
 

	1	2	3	4	5	6
	0,9951872200	0,9747285560	0,9382745520	0,8864155270	0,8200019860	0,7401241916
	0,0123412298	0,0285313886	0,0442774388	0,0592985849	0,0733464814	0,0861901615
	7	8	9	10	11	12
	0,6480936519	0,5454214714	0,4337935076	0,3150426797	0,1911188675	0,0640568929
	0,0976186521	0,1074442701	0,1155056681	0,1216704729	0,1258374563	0,1279381953

Partie II : Intégration Numérique d'une équation différentielle du 1^er ordre
 

• Écrire un algorithme (Matlab) permettant de calculer numériquement, à l'aide de la méthode d'Euler à l'ordre 1, la solution de l'équation différentielle suivante :

On écrira un programme paramétré permettant d'intégrer une fonction quelconque  depuis un instant initial  jusqu'à un instant final . Le pas d'intégration temporel ainsi que la valeur initiale de la fonction  seront entrés interactivement par l'utilisateur.
 

• Résoudre, à l'aide de ce programme, l'équation différentielle suivante :

• Calculer la solution analytique (solution vraie).

• Comparer la solution numérique à la solution exacte.

• Tracer l'évolution des deux solutions en fonction de t.

• Que peut-on dire de l'influence du pas d'intégration sur la solution numérique.

• Reprendre l'exercice complet, en mettant en œuvre la méthode du prédicteur-correcteur (Adams), et comparer la solution numérique obtenue par rapport à la solution d'Euler à l'ordre 1. Tracer les différentes solutions (vraie, Euler et Adams) sur le même graphe. Conclusions.