Le but du TP est de déterminer :

Les modes de transferts de la chaleur sont la conduction , la convection et le rayonnement :
 

Conduction : C'est le mode de transfert dans un milieu matériel.

Loi de Fourier :
Soit T la température au sein du milieu et la densité de flux de chaleur (flux de chaleur par unité de surface dans une direction caractérisée par un vecteur) :
où est appelé conductivité thermique (unité M.K.S.A: W.m-1.K-1) qui traduit l'aptitude d'un matériau à conduire la chaleur.

Ordre de grandeur de l à 20°C

• Métaux purs : 20 à 400 W.m-1.K-1

• Alliages métalliques : 10 à 150 W.m-1.K-1

• Matériaux isolants : 0,025 à 0,25 W.m-1.K-1

Convection : C'est le mode de transfert entre un solide et un fluide. Il comprend des phénomènes de conduction auxquels se superpose un transport de matière. Les molécules du fluide viennent se réchauffer ou se refroidir au contact du solide.

Soit T la température de la paroi du solide et Tf la température du fluide au loin. La densité de flux de chaleur s'écrit :

où h est appelé coefficient de convection (unité M.K.S.A: W.m-2.K-1).
 

Rayonnement : La surface d'un solide émet un rayonnement électromagnétique. La densité de flux de chaleur s'écrit :

où e est le facteur d’émissivité et s est la constante de Stéfan-Boltzman

Les échanges d'énergie par rayonnement entre deux corps peuvent s'écrire de façon simplifiée, en appelant T1 et T2 les températures des deux corps (quand elles sont voisines) :

II. MESURE DE LA CONDUCTIVITÉ DE MATÉRIAUX CONDUCTEURS

Conduction de la chaleur dans une barre : Détermination de la distribution de température en régime permanent

    Le diamètre des barres est suffisamment petit comparé à leur longueur pour que l'on puisse admettre que la température est uniforme dans chaque section normale à l'axe. On considère un élément de barre entre les abscisses x et x+dx.

Le bilan de chaleur par conduction s'écrit, en appelant s la section droite de la barre :

La chaleur échangée par convection avec le milieu à la température Ta s'écrit en appelant p le périmètre de la barre :

D'où l'équation différentielle exprimant la conservation de la chaleur dans l'élément de barre :

En supposant que h conserve la même valeur tout le long de la barre, la solution est :

Soit T0 la température de la barre à l'origine des abscisses. En supposant la barre de longueur infinie, le coefficient B doit être nul puisque physiquement T ne peut pas tendre vers l'infini.

Soit :

On pose : 

Dans ce cas, la connaissance de m permet de déterminer l et h.
 

Dispositif expérimental

Le montage est constitué de trois barres cylindriques, identiques, respectivement en inox, laiton et fer et d'une barre rectangulaire en fer. Ces barres sont chauffées chacune électriquement à une extrémité. Des trous radiaux percés dans les barres contiennent chacun un thermocouple relié à un voltmètre par l'intermédiaire d'une boite de commutation et à un micro-ordinateur équipé d'une carte d'acquisition.

Chaque thermocouple est constitué de deux fils d'alliages différents brasés bout à bout. Les deux extrémités libres sont fixées sur une boîte de commutation, faisant office de "soudure froide". On mesure donc une force électromotrice correspondant à l'écart de température entre la brasure et l'air ambiant (T-Ta).

La mesure de la température (T-Ta) sur chaque thermocouple peut être effectuée soit de manière manuelle (boîte de commutation et voltmètre), soit de manière automatique (acquisition automatique des signaux de tensions obtenues à partir des thermocouples).

La boite est munie de deux commutateurs à 22 positions (de 0 à 21). On sélectionne le thermocouple dont on veut mesurer la force électromotrice en affichant le même nombre sur les deux commutateurs. Le contact électrique est alors établi entre les deux fils du thermocouple et le voltmètre.

Entre la carte d'acquisition (installée dans l'unité centrale du micro-ordinateur) et les thermocouples, un câble contenant 8 voies (une borne "+" et une borne "-" pour chaque thermocouple) relie cette dernière à un boîtier parallélépipédique disposant de 4 connecteurs mâles reliées chacun à une des 4 barres. En partant du côté gauche, le premier connecteur correspond à la barre en inox, le second à la barre en laiton, le troisième à la barre en fer rond et le dernier (celui de droite) correspond à la barre en fer de section rectangulaire. Pour effectuer les mesures de température (T-Ta) dans une de ces quatre barres, il suffit de connecter la fiche reliée au câble arrivant de la carte d'acquisition et suivre le protocole suivant :

• mettre en marche l'ordinateur,
• cliquer deux fois sur l'icône "TP Barres",
• entrer la liste des voies actives (par défaut elles sont toutes activées : de 0 à 7). Les numéros de ces voies doivent être séparés par un espace ou une virgule. Le tableau suivant précise pour chaque barre, les abscisses (en mm) et les numéros de voies et de thermocouples :

Les voies non utilisées doivent impérativement être désactivées pour des raisons de précision des résultats (supprimer leur numéro de la liste).

• modifier la sensibilité des thermocouples si celle-ci est différente de 41µV/°C,
• Entrer le nombre d'échantillons (par défaut il est égal à 100),
• entrer la fréquence d'échantillonnage (par défaut 20 Hz),
• lancer l'acquisition et attendre l'apparition des résultats,
• relever les résultats de l'acquisition (valeur moyenne par voie et incertitude sur chaque voie) en °C.

Système d'acquisition (Carte Keithley DAS 801 ST)

Une fois toutes les mesures sont relevées pour la première barre, passer à la barre suivante en adoptant la même procédure précédente pour l'acquisition.

Remarque :

Le temps nécessaire à l'acquisition est le rapport du nombre d'échantillon par la fréquence d'échantillonnage. Plus ce temps est important, plus la précision des résultats est meilleure (choisir ce temps supérieur ou égal à une minute et garder la fréquence d'échantillonnage fixée à 20 Hz).

Mesures

Le régime permanent est atteint au début de la séance. La barre rectangulaire est en position verticale. Après avoir pris les mesures dans cette position, placer la barre rectangulaire en position horizontale. Attendre une demi-heure avant d'effectuer les nouvelles mesures.
 

Calculs

• A partir des mesures précédentes, tracer pour chaque barre (sur le même graphe), la courbe  en fonction de l'abscisse x. T0 étant la température de 1er thermocouple de chaque barre et Ta représente la température ambiante.

• Mesurer les différentes pentes m de ces droites.

• En déduire :

• les valeurs de l de l'inox et du laiton, à partir de la pente correspondante, de celle du fer rond et de la conductivité de celui-ci. On suppose que h est le même pour toutes les barres cylindriques.
• les valeurs de h du fer rond et du fer rectangulaire pour les deux positions étudiées.

• Conductivité du fer : l1 = 52 W.m-1.K-1

• Diamètres des barres : f = 12 mm

• Section de la barre rectangulaire : L = 30 mm ; l = 6 mm

• comparer les résultats obtenus dans les calculs précédents,

• faire le calcul d'erreur et donner la précision des résultats,

• vérifier que l'hypothèse de barre infinie est compatible avec la longueur des barres en calculant l'écart de température à leur extrémité.

III. MESURE DE LA CONDUCTIVITE D'UN ISOLANT

Conduction en symétrie cylindrique : Détermination de la distribution de température en régime permanent

On considère deux cylindres coaxiaux de rayons R1 et R2, et de longueur l. Entre les deux cylindres on place un matériau isolant Dans le tube intérieur on dissipe un flux de chaleur uniforme. Soit T la température au rayon r. T1 au rayon R1, T2 au rayon R2.

La densité de flux s'écrit :

Pour un cylindre de rayon r et de longueur l le flux de chaleur s'écrit :

Par intégration on obtient :

En tenant compte des conditions aux limites, on obtient :

D'où : 

Dispositif expérimental

Le montage est constitué de deux cylindres d'acier coaxiaux, maintenus en place par des pièces profilées en bois, comme l'indique le schéma qui suit et la photo ci-dessous.

    Soit R1 le rayon extérieur du cylindre central, R2 le rayon intérieur du cylindre extérieur. Le volume délimité entre les cylindres est rempli de poudre d'infusoire (voir photo ci-dessous). A l'intérieur du cylindre R1, est placée une résistance électrique dissipant par effet Joule un flux de chaleur uniforme f sur la longueur du montage (longueur l). le cylindre extérieur est soumis au refroidissement d'un courant d'air intense, de manière à ce que sa température soit pratiquement uniforme. Les pièces de bois sont supposées isolantes.

Le montage présente une symétrie de révolution identique dans toutes les sections. Deux thermocouples TC1 et TC2 soudés sur les cylindres permettent de déterminer les températures T1 et T2 des cylindres.

Mesures

Le chauffage et le ventilateur sont branchés en début de séance. L'intensité du courant dans la résistance est réglée à 0,3 A.

Le régime permanent étant atteint, mesurer la force électromotrice de chaque thermocouple, la tension et l'intensité du courant. Pour calculer l'incertitude sur l, relever la classe de chaque appareil de mesure de U et de I ainsi que la précision du voltmètre numérique (inscrit sur la base de l'appareil et donnée en fonction de la plage de mesure de tension).
 

Calcul

Calculer la valeur de l sachant que :

R1 = 13 mm

R2 = 27,75 mm

l = 170 mm

La sensibilité des thermocouples est : 41mV/°C.

Remplir la feuille de résultats fournie par l'enseignant au début de la séance de TP.
 

COMPTE RENDU

Donner l'expression de l'incertitude absolue sur l. Calculer cette précision.