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Chapitre VII : Calculs des équations
aux dérivées partielles
2. Expression des dérivées partielles
3. Conditions aux limites
3.1. Cas où le contour suit
le maillage
3.2. Cas où le contour est
quelconque
4. Équations du premier ordre : Méthode
des caractéristiques
4.1. Courbes caractéristiques
associées à une équations du premier ordre
4.2. Exemples de problèmes
liés aux conditions aux limites
4.3. Système d'équations
du premier ordre
7. Problèmes en coordonnées cylindriques
8. Discrétisation de l'équation de la Conduction en régime instationnaire
Dans la pratique, la plupart des équations aux dérivées
partielles sont du premier ou du second ordre à deux variables indépendantes,
et l’extension de ces équations à un ordre plus élevé
ne pose aucun problème pour la résolution. Si 
est une fonction des variables 
et 
, alors
les équations aux dérivées partielles font intervenir 
, 
, 
, 
et 
.
Dans la suite, nous exprimons ces quantités en fonction de leurs
expressions établies à l’aide des différences finies.
Les contours du domaine de la fonction 
permettent de donner les conditions aux limites.
2. Expression des dérivées partielles
Pour calculer 
,
on utilise les points situés de part et d’autre de 
.
Considérons les développements en séries de Taylor
autour de 
,
de la fonction 
:
Posons 
où 
est l’un des points de la figure 1 ci-dessous :
Fig. 1 : Maillage utilisé en différences
finies
Pour 
et 
, on
obtient à partir du développement précédent
à l’ordre 2 les dérivées partielles premières
:
soit :
(1)
On a également :
soit :
(2)
En additionnant les développements en séries de Taylor
des fonctions 
et 
à
l’ordre 2, on obtient les dérivées partielles secondes :
soit :
soit :
Pour l’obtention des dérivées croisées, 
par exemple, on applique successivement les équations (1) et (2)
:
Soit :
Dans le cas de plusieurs variables indépendantes, la limite représente
le contour dans le cas de deux variables, la surface dans le cas de trois
variables, etc. En général, on impose sur le contour (en
tout point), des conditions portant soit sur la fonction 
(problème de Dirichlet), soit sur le gradient de
: (
,
problème de Neumann).
3.1. Cas où le contour suit le maillage
Dans la majorité des cas, le contour est constitué (ou approché) par des segments de droites qui suivent le maillage. Les conditions aux limites s'expriment de la même façon que dans le cas des équations différentielles (chapitre précédents).
Fig. 2 : Contour suivant le maillage
3.2. Cas où le contour est quelconque
Un contour quelconque est remplacé par la ligne polygonale la plus voisine. Dans le cas de la figure 3 ci-dessous, c'est Aa, bB, Cc, dE, Ee, etc. Ainsi les équations du paragraphe précédent, faisant intervenir les dérivées partielles, et écrites pour tous les points intérieurs A,B, C, etc., font intervenir les points extérieurs a, b, c, etc. Les conditions aux limites fournissent des conditions supplémentaires sur ces points extérieurs.
Sur le contour, il faut interpoler 
, 
, 
à partir des nœuds voisins à l'aide de la formule de Gregory-Newton
par exemple.
Fig. 3 : Contour quelconque
4. Équations du premier ordre : Méthode des caractéristiques
On s'intéresse ici aux équations du premier ordre qui sont quasi-linéaires et de la forme :
où 
Les coefficients 
, 
et 
ne
dépendent ni de 
ni de 
.
À cette équation, il faut ajouter les conditions aux limites.
4.1. Courbes caractéristiques associées à une équations du premier ordre
L'équation précédente à résoudre est de la forme :
Considérons les vecteurs 
et 
suivants
:
Cette équation se réduit à :
.
Ainsi,
est un vecteur tangent à la surface 
représentative de la solution 
.
Le vecteur 
parallèle à
est : 
(1)
Les courbes 
et 
obtenues
à partir de ces équations sont appelées des courbes
caractéristiques.
La méthode caractéristique consiste à remplacer
l'équation aux dérivées partielles précédente
par un ensemble d'équations de la forme :
ou encore 
qui, une fois intégrée compte tenu de la constante d'intégration,
donne l'équation 
.
ou encore 
(ou 
)
qui, une fois intégrée donne la valeur de 
en tout point 
(donc 
)
de la caractéristique.
Ainsi, la solution recherchée 
satisfait
à :
4.2. Exemples de problèmes liés aux conditions aux limites
Exemple 1:
Soit à résoudre la simple équation aux dérivées partielles suivantes :
En se reportant au paragraphe précédent, on a :
L'équation (1) s'écrit alors :
Cette équation est remplacée par deux autres équations :
(3)
D'après la première équation du système
(3), les caractéristiques sont des droites parallèles. Ainsi,
l'expression de 
devient :
Les constantes 
et 
(ou 
)
sont déterminées à partir des conditions aux limites.
Exemple 2:
Soit à résoudre l'équation différentielle
suivante :
Dans cette équation : 
; 
et 
.
D'où :
L'équation des caractéristiques est :
Les conditions aux limites donnent :
D'où la solution :
Les constantes 
et 
sont
déterminées par les conditions aux limites.
4.3. Système d'équations du premier ordre
Soit le système suivant liant les dérivées des
fonctions
et 
:
(4)
où les coefficients peuvent dépendre de 
et 
, mais
pas de 
ni de 
. 
et sont
supposées connues sur une courbe 
.
Suivant la procédure décrite dans le paragraphe précédent, on peut écrire :
(5)
Les systèmes (4) et (5) ne définissent pas les 4 inconnues 
, 
, 
et 
de
manière unique, seulement s'ils sont linéairement dépendants;
c'est à dire si le déterminant est nul.
| 1) |  |
En divisant le déterminant par 
,
on obtient une équation du second degré en 
,
dont la solution est l'équation différentielle des caractéristiques.
2) En remplaçant dans le déterminant la dernière colonne par celle du second membre, on obtient :
et par intégration, on obtient les valeurs de 
et de 
le long des caractéristiques.
Soit l'équation aux dérivées partielles suivante :
(6)
, 
, 
et 
peuvent
dépendre de 
,
, , 
et 
, mais
pas des dérivées secondes de la fonction .
Posons :
et : 
L'équation (6) devient :
(7)
avec :
(8)
Les équations (7) et (8) comportent 3 inconnues 
, 
et 
. La
solution n'est pas unique si 
.
soit :
(9)
Lorsque l'équation (10) est vérifiée, le système (7) et (8) n'admet pas de solution sauf si les autres déterminants du système sont nuls : c'est à dire en remplaçant dans le déterminant précédent la deuxième colonne par la colonne du second membre de l'équation :
(10)
Pour pouvoir utiliser la méthode des caractéristiques,
il faut que les racines de l'équation (9) soient réelles.
En conséquence, les 3 cas suivants présentent :
, l'équation
(9) n'a pas de racines réelles, et l'équation (6) est dite
elliptique 
.
, l'équation
(9) admet une racine réelle double, et cette équation est
dite parabolique (c'est le cas de l'équation de diffusion de la
chaleur 
où si 
se confond avec la variable t).
, l'équation
(9) admet deux solutions réelles qui sont distinctes, et cette équation
est dite hyperbolique (c'est le cas de l'équation de propagation 
).Dans cette partie, on montre comment on discrétise une équation
aux dérivées partielles elliptique avec des conditions aux
limites, dans le but de la transformer en un système de 
équations à 
inconnues.
La mise en équation à l'aide des différences finies
comporte les étapes suivantes :
Ainsi, on obtient un système de
équations à 
inconnues.
Exemple :
Résoudre l'équation de Laplace suivante :
avec les conditions aux limites suivantes :
et 
pas sur 
(
) et
m
+ 1 pas sur y (
)
à 
et 
à 
).
, 
, 
et 
.
et 
:
Les valeurs 
et 
donnent
dans l'équation précédente :
Pour 
à 
,
on a :
à
l'ordre 4 s'écrit :
Soit :
On continue ainsi à exprimer les conditions aux limites, ce qui donne :
Pour 
,
on obtient :
Les équations précédentes constituent un ensemble
de équations.
Pour 
variant entre 0 et 
,
on obtient 
équations à 
inconnues (valeurs de 
dans les nœuds intérieurs au domaine). Ce système d'équations
peut être résolu par exemple par la méthode de Gauss-Seidel
(méthode itérative).
Principe de la méthode :
Après multiplication par 
et regroupement des termes, l'équation discritisée peut s'écrire
sous la forme :
Le coefficient 
est le plus grand en module. Donc :
Pour 
,
on obtient :
Pour résoudre l'équation discritisée, on applique
le procédé d'itérations de Gauss-Seidel (méthode
explicite). Pour cela, on se donne une valeur (distribution) arbitraire
initiale 
,
qui portée dans l'équation (19) au second membre pour chaque
couple 
,
donne une nouvelle valeur 
,
et ainsi de suite. L'arrêt des calculs se fait quand 
où 
est la limite de convergence que l'on se donne.
Dans le cas de l'équation de Laplace, le procédé
converge toujours. Pour d'autres équations plus compliquées,
ce procédé de convergence pourra diverger. Dans ce cas, on
utilise un facteur de relaxation 
.
En général, la convergence est plus rapide lorsqu'on utilise
un procédé de relaxation
(où 
).
7. Problèmes en coordonnées cylindriques
Considérons l'équation de la conduction de la chaleur exprimée en coordonnées cartésiennes :
En coordonnées polaires, cette équation s'écrit sous la forme :
sur la
domaine 
Sur ce domaine ,
on construit un maillage en coordonnées polaires 
comme
le montre la figure 5 ci-dessous, avec 
et 
où 
et 
sont
des entiers.
Fig. 5 : Système de maillage en coordonnées
polaires
Ainsi, la température 
et la fonction 
deviennent au point 
:
Pour des valeurs non nulles de 
,
les dérivées secondes de
par rapport à 
et 
s'écrivent
sous la forme disrétisée suivante :
En utilisant les différences centrées, 
peut s'écrire au point
sous la forme :
Ainsi, l'équation de la chaleur discrétisée est :
Soit, après regroupement des différents termes :
C'est l'équation de conduction de la chaleur discrétisée
(différences finies) en coordonnées cylindriques, obtenue
pour des valeurs de 
non nulles (
).
Les indices 
et 
sont
des entiers (commençant par 1 dans Matlab).
A l'origine (
),
l'équation de la conduction en coordonnées polaires présente
une singularité. Cette dernière doit être éliminée.
Pour cela, on utilise le Laplacien de l'équation de la conduction
non pas en coordonnées cylindriques, mais en coordonnées
cartésiennes :
quand 
On construit ensuite un cercle de rayon 
,
centré en .
Considérons 
la température à ,
et 
, 
, 
et 
sont
les températures sur le cercle aux 4 nœuds (intersection avec les
axes 
et 
).
Ainsi, l'équation précédente (en coordonnées
cartésiennes) s'écrit sur le cercle de rayon
:
La rotation des axes
et autour
de conduit
au mêmes résultats (équation de la chaleur en coordonnées
cartésiennes discrétisée). En considérant 
comme la moyenne arithmétique des températures autour du
cercle de rayon 
,
l'équation précédente devient :
à
où
est la moyenne arithmétique des valeurs de 
autour du cercle de rayon 
et de centre
et 
est
la valeur de la température à .
Les coordonnées polaires 
(deux dimensions) peuvent être extrapolées en coordonnées
cylindriques 
(trois
dimensions) pour l'obtention de l'équation de la conduction de la
chaleur discrétisée.
Pour le problème bidimensionnel en
évoqué précédemment, compte tenu de la symétrie
axiale, l'équation de la conduction de la chaleur peut être
réduite à :
Pour 
,
l'équation précédente discrétisée s'écrit
sous la forme :
où , 
,
et 
est
un entier positif.
Au centre (),
en utilisant la règle de l'Hopital nous obtenons :
D'où, l'équation de la conduction de la chaleur en deux
dimensions ,
s'écrit compte tenu de la symétrie axiale du problème
:
en 
soit en différences finies :
pour 
En coordonnées cylindriques, l'équation de la conduction de la chaleur est donnée par l'expression suivante :
Les coordonnées 
sont représentées par :
où 
et 
sont des entiers.
La température 
au nœud 
est notée par :
et les différentes dérivées partielles deviennent :
L'équation de la chaleur discrétisée en coordonnées
cylindriques au nœud 
devient :
pour des valeurs de 
non nulles.
Pour ,
on a :
et l'équation de conduction en
devient :
en
Soit en utilisant les différences finies au nœud 
:
8. Discrétisation de l'équation de la Conduction en régime instationnaire
Dans le système de coordonnées cartésiennes (trois
dimensions), l'équation de conduction de la chaleur en régime
instionnaire (temporel) s'écrit (si 
)
:
Pour résoudre cette équation aux dérivées
partielles en utilisant la méthode des différences finies,
on utilise un maillage cubique (mailles de côtés 
avec :
où 
, 
et 
sont
entiers positifs, et le domaine temporel est divisé en petits intervalles
de temps 
de telle sorte que 
.
Dans ce cas, la température 
au point 
à un temps donné 
est représentée par :
En utilisant la méthode des différences finies, les différents
termes de l'équation ci-dessus au dérivées partielles
s'écrivent au point
:
et l'équation de la conduction discrétisée en trois dimensions devient :
En regroupant les différents termes de cette équation, on obtient :
Cette équation ne peut être résolue que par une méthode itérative (méthode de Gauss-Seidel par exemple).
On pose :
La convergence de la solution recherchée est assurée si
la quantité 
est
strictement positive. Ainsi, le pas de temps 
et les autres pas spatiaux (
,
et 
) sont
reliés par :
Pour amorcer le calcul itératif, on ensemence le domaine de frontière 
par des valeurs arbitraires (
par exemple), et on arrête les calculs quand la condition
est réalisée (
est une précision à fixer).