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Chapitre V : Intégrations numériques
Méthodes d'intégration
1. Introduction
2. Méthodes d’intégrations numériques
2.1. Méthode des trapèzes
2.2. Méthode de Simpson
2.3. Formules de Newton-Cotes
2.4. Méthode de Gauss
2.5. Intégration sur un
pas quelconque
2.6. Problèmes liés
aux limites de la fonction
2.6.1. Intégration
sur un domaine infini
2.6.2. Singularité
dans l’intégrale
Pourquoi utilise t-on l’intégration numérique ?
Lorsque l’intégrale ne peut pas être évaluée analytiquement ou lorsque l’intégrale n’est pas donnée sous forme analytique mais numériquement en un certain nombre de valeurs discrètes, l’intégration numérique peut être utilisée.
Il existe plusieurs méthodes permettant d’évaluer les intégrales de fonctions bornées sur un intervalle. La présence de singularité dans les fonctions (ou dans certaines fonctions) rend les calculs parfois difficiles.
2. Méthodes d’intégrations numériques
Cette méthode consiste à remplacer la courbe f(x) par une ligne brisée et à calculer l’aire de chaque trapèze, ensuite faire la somme des aires sur l’intervalle sur lequel la fonction est définie.
Dans ce cas, on a :
; et 
Si 
est l’intervalle d’intégration de f(x), qui est divisé
en n intervalles :
,
on a :
Dans la suite, on suppose que tous les points sont régulièrement espacés :
Ainsi, l’intégrale précédente devient :
Cette démonstration ne permet pas de mettre en évidence
l’erreur d’intégration. Un développement en série
de Taylor au 1er ordre permet de faire apparaître l’erreur
qui correspond aux termes du second ordre en 
.
Cette erreur est d’autant plus faible que le pas
est petit.
D’où :
où 
Pour la plupart des fonctions, on peut obtenir une meilleure approximation
en estimant simplement 
par :
et l’intégrale précédente devient :
Cette méthode est appelée la méthode des trapèzes
avec corrections aux extrémités. En tenant compte de cette
correction, la méthode devient d’ordre 4. Cette méthode peut
donc être utilisée pour l’intégration d’une fonction
donnée numériquement à intervalles discrets. f’(a)
et f’(b) peuvent être calculées par des différences
finies par exemple.
Cette méthode consiste à remplacer , entre 
et 
, la
fonction par l’arc de parabole passant par 
, 
et 
. Un
développement en série de Taylor permet de démontrer
la formule de Simpson. Pour cela, on pose :
avec 
Dans ce cas, on obtient :
L’aire de 2 tranches 
d’intervalles 
et 
s'écrit 
,
soit,
On remplace 
par son expression utilisant les différences centrales :
En posant ,
on obtient :
soit :
L’aire sur l’intervalle 
est alors obtenue par :
Cette intégrale nécessite que le nombre d’intervalles
soit pair. En remplaçant dans l’intégrale précédente
les 
par
leurs expressions, on trouve :
Après regroupement des termes, et en remarquant que :
il vient alors :
soit finalement :
Cette méthode d’intégration est exacte pour l’intégration des polynômes jusqu’à l’ordre 3 inclus. La méthode de Simpson est une méthode d’ordre 4.
Exemple :
Calculer 
par la méthode de Simpson.
Avec 4 tranches, on a : 
L’erreur relative est : 
Les méthodes des trapèzes et de Simpson sont des cas particuliers
des formules de Newton-Cotes.
L’intégrale 
est une combinaison linéaire de 
; ce qui signifie que cette intégrale est calculée de façon
exacte lorsque 
est un polynôme de degré inférieur ou égal à
n
:
le nombre de valeurs 
est égal à n+1, on intègre sur n tranches,
et les valeurs des coefficients de la combinaison linéaire dépendent
de n. La méthode des trapèzes et la méthode
de Simpson correspondent respectivement à n=1 et n=2.
Le principe de la méthode de Newton-Cotes dans le cas le plus général
à pas non constant, sera donné dans la suite de ce cours.
Les résultats de cette méthode donnent :
soit encore :
avec 
où A et ak sont données par le
tableau suivant :
| Nom de la formule |
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| Trapèzes |
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|||||
| Simpson |
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||||
| Villarceau |
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| Hardy |
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Remarque :
Les formules de Newton-Cotes ne doivent pas être utilisées
pour ‘n’ élevé. La méthode de Simpson est couramment
utilisée.
C’est une méthode très précise. Elle utilise des
points qui ne sont pas régulièrement espacés et convenablement
choisis. Lorsque la fonction 
est connue analytiquement ou lorsqu’elle est tabulée numériquement
en ces points précis, la méthode de Gauss peut être
appliquée.
En développant
sur une base de polynômes, l’intégrale de
peut s’écrire comme une combinaison linéaire des valeurs
que prend la fonction en divers points :
Dans cette expression, la constante C est proportionnelle à
(b-a)
et les facteurs de pondération 
dépendent
de la fonction par laquelle on approche
(segments de droites pour la méthode des trapèzes, arcs de
paraboles pour la méthode de Simpson). En ce qui concerne la méthode
de Gauss, on développe
dans une base de polynômes orthogonaux dont les 
sont les racines de ces polynômes, qui sont alors irrégulièrement
espacés. Ces polynômes sont définis sur l’intervalle 
.
Dans ce cas, il faut faire un changement de variable sur 
qui permet de transformer 
en 
;
c’est à dire :
(a)
On obtient donc :
(b)
où 
et 
sont
tabulés.
Ainsi, l’intégrale de ,
peut être évaluée en suivant la procédure :
et les
n
valeurs de
qui sont deux à deux symétriques par rapport à zéro
(qui sont les racines du polynôme de Legendre d’ordre n) qui
correspondent à la valeur de n choisie,
par l’équation (a), ensuite on évalue l’intégrale
de (expression
(b)).|
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Racines et poids pour la
|
méthode de Gauss - Legendre |
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0,7745966692 |
0,5555555556 |
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0,8611363116 |
0,3478548451 |
|
|
0,5384693101 0,9061798459 |
0,4786286705 0,2369268850 |
|
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0,6612093865 0,9324695142 |
0,3607615730 0,1713244924 |
|
|
0,4058451514 0,7415311856 0,949079123 |
0,3818300505 0,2797053915 0,1294849662 |
Exemple :
Calculer l’intégrale 
par la méthode de Gauss.
Solution :
Analytiquement, on connaît : 
.
On choisit un 
,
et on calcule les 
donnés par (d). On extrait ensuite les 
et les 
du tableau précédent.
Pour b=4 et a=0, on a :
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On calcule ensuite l’intégrale 
selon l’équation (b) :
d’où : 
2.5. Intégration sur un pas quelconque
Dans le cas précédent, on a soit le pas 
est constant, soit la fonction à intégrer est donnée
numériquement en des points 
qui ne sont pas régulièrement espacés et disposés
de façon quelconque.
La méthode générale pour intégrer une telle
fonction consiste à :
.
Ainsi :
où 
et 
.
Les coefficients 
sont déterminés de la manière suivante :
On obtient alors un système linéaire de n+1 équations
à
n+1 inconnues et dont les inconnues sont les coefficients 
donnés par :
On remarque que lorsque n=1, on obtient la formule des trapèzes.
Quand les points
sont différents les uns des autres, on obtient le système
de Cramer avec une solution. Et lorsque les points sont équidistants,
on obtient la formule de Newton-Cotes. Pour obtenir une bonne approximation
de l’intégrale de 
,
il est conseillé de ne pas prendre beaucoup de points, car le polynôme
d’interpolation devient dans certains cas une mauvaise approximation.
2.6. Problèmes liés aux limites de la fonction
2.6.1. Intégration sur un domaine infini
Pour calculer l’intégrale 
suivante, par exemple :
il faut s’assurer que cette intégrale converge.
Dans ce cas, on procède de la façon suivante :
peut être
facilement évaluée par l’une des méthodes évoquées
précédemment.
En ce qui concerne le calcul de 
,
si b est suffisamment grand, 
devient négligeable, et par conséquent :
Pour le critère donné sur b (b suffisamment
grand), on calcule 
par exemple et 
.
Si 
,
alors b (ou 2b) est pris comme borne remplaçant l’infini.
Dans la plupart des cas, on connaît la forme asymptotique de .
Si 
pour 
suffisamment grand, on écrit :
où l’intégrale 
peut souvent être évaluée analytiquement.
On peut également faire un changement de variables pour ramener
la borne infinie de la seconde intégrale 
à une valeur finie. Mais cette technique introduit souvent une singularité.
2.6.2. Singularité dans l’intégrale
La meilleure méthode pour traiter les singularités est
de les éliminer si possible par l’une des nombreuses techniques
algébriques ; à savoir l’intégration par partie, le
changement de variables, etc. Si on doit calculer l’intégrale par
la méthode de Simpson à pas constants, l’intervalle d’intégration
doit exclure la borne où la singularité apparaît.
Exemple :
Soit à calculer l’intégrale suivante :
est infinie
sur la borne inférieure.
Analytiquement, cette intégrale peut être calculée
facilement : 
Par la méthode de Simpson par exemple, on calcule :
où
e
est suffisamment petit.
Comme il est très difficile d’approcher une singularité
par un polynôme, on partage
en deux intégrales :
avec 
ou 
par
exemple.
On prend un grand pas entre c et 1 et un pas petit entre e et c.
La méthode de Gauss est la mieux adaptée en général
parce qu’elle correspond à une approximation par un polynôme
de degré n élevé d’une part, et si, d’autre
part, on choisit n pair, on n’a pas besoin de la valeur de
aux bornes.
Cependant si la fonction
oscille autour de la singularité, ce type d’approche ne donne pas
de bons résultats.
Une autre approche possible permettant de calculer
consiste à faire un changement de lavariables 
en variable 
.
Pour le cas particulier étudié, on obtient :
si 
et par suite : 