Chapitre IV : Approximation - Lissage des courbes
                             Méthode des moindres carrés

1. Principe de la méthode

2. Lissage par un polynôme

3. Exemples de lissage

1. Principe de la méthode

Lors d’une expérimentation, on a obtenu les résultats suivant représenté sur le graphique ci-dessous. Ces résultats sont les mesures physiques caractérisant, par exemple, la température en fonction du temps.

On a  et .

La fonction f(x) peut être représentée par une ligne passant par tous les points, par exemple en utilisant l’interpolation de Lagrange. Du point de vue physique, ceci n’a pas de sens. Au contraire, pour mieux représenter f(x) par une courbe, celle-ci doit passer entre les points expérimentaux, voire ne passant par aucun d’entre eux comme c’est le cas de la figure ci-dessus.

Une première méthode consiste à tracer ‘à l’œil’ la fonction g(x) censée représenter le mieux possible f(x) décrite par les points expérimentaux. Évidemment, il est préférable d’avoir cette représentation par une méthode plus sûre. Ainsi, on choisit une fonction g(x), censée représenter f(x).

Dans le cas du graphique ci-dessus par exemple, g(x) est représentée par une droite de la forme :

g(x) dépend d’un certain nombre de paramètres .

Donc, cette fonction sera de la forme . Dans le cas du graphe précédent, on a : . On désigne les coordonnées des points expérimentaux par  où  et nous formons la quantité (graphe précédent) :

Dans ce cas, on cherche  de telle sorte que s soit minimal. Ainsi, s est minimal si et seulement si :

on obtient alors un système de (r+1) équations (pas forcément linéaires) à (r+1) inconnues :  qui peut être résolu par l’une des méthodes développées au chapitre I.
 

2. Lissage par un polynôme

Dans la pratique, on utilise fréquemment un polynôme de degré r pour la représentation de f(x). Dans ce cas, la fonction g(x) sera :

En appliquant la méthode précédente qui consiste à calculer s on obtient :

Après la minimisation, on obtient :

soit :

Dans le cas général, on a :

soit :

Pour k=0, on retrouve bien  ; et pour k variant de 0 à r, on obtient un système de (r+1) équations à (r+1) inconnues. Ces inconnues sont .

En posant :

le système précédent s’écrit :
 

Ce système peut être résolu par la méthode du pivot par exemple. Pour la résolution, il est fortement recommandé de travailler en double précision (si on n’utilise pas le langage MATLAB), car à partir d’un polynôme de degré 7, les erreurs d’arrondi donnent des résultats sans signification. En général, on utilise un polynôme de faible degré, et si c’est possible des droites de préférence. Il est souvent utile pour cela de changer d’échelles (échelles logarithmique ou semi-logarithmique par exemple).

3. Exemples de lissage

3.1. Cas d’une droite de régression (ou droite des moindres carrés)

g(x) est un polynôme de degré 1 à r=1.

Soit : 

Le système précédent devient alors :

En posant :

le système précédent devient :

Les solutions de ce système sont :

et g(x) devient :

Pour , on a :

Ainsi, a₁ s’écrit :

où  est la variance des abscisses x_i des points M_i.

avec :

En effet :

et en faisant x=y, on obtient :

Pour y, on définit de la même façon que pour x la variance  :

x

Ainsi, le coefficient de corrélation entre les variables x_i et y_i sera défini par :

On remarque que les coefficients a₁ et C sont liés par la relation : 
 

3.2. Cas d’une fonction comportant des exponentielles

Exemple :

A la suite d’une série de mesures physiques, on a obtenu les résultats suivants dans le tableau ci-dessous :
 

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	0,00	0,40	0,80	1,20	1,60	2,00	2,40	2,80	3,20	3,60	4,00
	2,97	2,87	2,45	1,91	1,24	1,29	0,71	0,57	0,74	0,42	0,39

Approcher la fonction  par une exponentielle.

Solution :

et il s'agit de calculer les constantes a et A à partir des mesures physiques.

On a :

La minimisation de S donne :

 
 

avec :

Dans la 2^ème équation du système, on remplace A par sa valeur obtenue dans la 1^ère équation, et on obtient :

Cette équation est donc du type f(a) = 0, on peut la résoudre par la méthode de Newton par exemple. Pour cela, on choisit une valeur arbitraire ‘’, et on calcule . En faisant plusieurs itérations, on montre que :

Après itérations, on trouve :

d’où la fonction :