A)1) L'équation d'état donnée est celle du gaz
parfait, limite de comportement de tous les gaz réels lorsque la pression
devient nulle.
L'air au dessus de 200 K est donc un gaz (sa température critique
est inférieure à 200 K ; en fait la température
critique de l'air est 132,4 K).
Une pression de
doit être considérée comme une pression relativement faible
puisqu'on peut appliquer l'équation d'état des gaz parfaits.
A)2)
peut aussi s'écrire ,
soit encore puisque
pour un gaz parfait .
correspond à
5 degrés de liberté soit, dans le cas des molécules diatomiques
(cas de l'air) aux températures comprises entre 150 K et 1200
K, à 3 degrés de liberté pour le mouvement de translation
du centre de masse et à 2 degrés de liberté pour les deux
rotations possibles.
ð
ð
A)3) ð
B)1)a)
puisque le système (A+B) n'échange ni travail (parois indéformables
et immobiles) ni chaleur (parois adiabatiques).
Le système (A) échange de la chaleur avec le système (B)
: initialement, il y a déséquilibre thermique entre les deux systèmes
ð
; dans l'état final, il y aura équilibre thermique (principe O
de la Thermodynamique), les deux systèmes auront même température
. La transformation
est irréversible.
ð
avec
Si nous écrivons le second principe, puisque la transformation est adiabatique (pas d'entropie échangée) et irréversible (entropie créée)
Mathématiquement, montrer que est supérieur à 0 quelques soient revient à démontrer que est supérieur à 1, c'est à dire savoir si quelques soient , condition évidemment réalisée.
Applications numériques :
; ;
B)1)b) La transformation est irréversible puisqu'il
n'y a pas équilibre mécanique dans l'état initial.
La transformation est isotherme (contact avec la source à température
).
A la fin de la transformation, il y aura équilibre mécanique (pressions
identiques dans les compartiments A et B).
Le volume de chaque compartiment sera
(une même quantité de matière dans les mêmes conditions
de pression et de température occupe un même volume).
Mathématiquement,
cette quantité est positive pour les mêmes raisons qu'à
la question précédente.
Si on écrit le premier principe,
puisque le système (A+B) n'échange pas de travail.
puisque le système
(A+B) est constitué de gaz parfaits qui ne changent pas de température.
Donc, et l'entropie échangée par le système (A+B) est nulle
Par suite puisque la transformation est irréversible.
C'est ce que nous avons trouvé à partir de l'expression
mathématique, c'est donc conforme au second principe.
Application numérique :
B)2)
A la fin de l'opération de mélange (transformation irréversible),
le mélange de gaz contenu dans le volume
à même température
et même pression .
Le raisonnement pour calculer
est identique à celui fait en B)1)a)
On trouve
La pression partielle due au gaz A est égale à
La pression partielle due au gaz B est égale à
La pression totale est
qui est la pression obtenue en 1)b)
La variation d'entropie se calcule par application directe de la fonction
entropie :
La
variation d'entropie
est positive puisque les variations d'entropie
sont positives. Ceci est conforme au second principe puisqu'il n'y a pas d'échange
de chaleur avec l'extérieur, l'entropie échangée est nulle.
La variation d'entropie est due à de l'entropie créée par
les irréversibilités.
Si on compare la transformation 2 et la transformation
1)a) + 1)b), il n'y a pas de différence au niveau des variables
d'état pression et température ; la seule différence provient
du mélange des deux gaz, opération irréversible.
;
C)1)
ð
ð
c'est à dire le poids de l'eau.
On peut faire le calcul direct pour établir ce résultat : dans
le cas présent le calcul est simple parce que la forme du réservoir
est simple.