II)1)a)
Pour un gaz parfait, une transformation isotherme est aussi une transformation à énergie interne constante.
Une détente (diminution de pression) suppose un milieu extérieur à plus faible pression que le système. Le volume du système augmente, le système pousse sur le milieu extérieur ().
Pour la détente isotherme réversible d'un gaz parfait, le premier principe s'écrit :
ð .
La détente isotherme s'accompagne d'un échange de chaleur reçu par le système c'est à dire que le système est en contact thermique avec une source de chaleur qui fournit au système la quantité de chaleur nécessaire.

II)1)b)
(en introduisant l'équation d'état du gaz parfait)
ð en écrivant la condition limite

Si (disons ) alors

II)2)a)
Pour un gaz parfait, si sa température diminue, son énergie interne diminue aussi ().
or alors que dans la transformation isotherme dU était nul.
reste positif : si on admet que cette quantité "ne change pas", alors il convient de penser que la quantité de chaleur reçue par l'air lorsqu'il se détend sa température diminuant est plus faible que lorsqu'il se détend sa température restant constante.

II)2)b)
En introduisant l'équation d'état du gaz parfait, la loi de l'hydrostatique devient :
ð
ð (disons )
Sous cette condition

Remarque : le fait de retrouver, en première approximation, la même loi d'évolution de la pression quelque soit l'évolution linéaire de la température avec l'altitude confirme que les échanges de travail restent toujours à peu près les mêmes.

II)3)
La diminution de température correspond, pour un gaz parfait, à une diminution d'énergie interne. Nous avons vu d'autre part qu'il y avait apport de chaleur dans la détente du gaz d'autant plus important que l'on se rapproche de l'isothermicité.
Par suite, dans la relation , a est négatif, à la limite nul

II)3)a)

ð
ð

soit

II)3)b)
ð