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Chapitre 4 : Transferts d’énergie et bilans énergétiques
 
Plan

1. Variables intensives et extensives
2. Travail des forces de pression extérieure
3. Chaleur sensible. Chaleur latente
3.1. Chaleur sensible. Capacités calorifiques
3.2. Chaleur latente de changement de phase d’un corps pur
3.3. Remarques
4. Etude énergétique du gaz parfait
4.1. Fonctions d’état
4.2. Etude de quelques transformations pour un système fermé
5. Transferts thermiques (transferts de chaleur ou d’énergie calorifique)
5.1. Conduction de la chaleur
5.2. Echanges de chaleur à la frontière d’un solide
6. Bilans énergétiques simples faisant intervenir les transferts thermiques
6.1. Paroi solide inerte d’échangeur en régime permanent
6.2. Bilans énergétiques pour un solide en régime transitoire
6.3. Bilan énergétique pour un fluide en écoulement permanent

Les illustrations et animations de Geneviève Tulloue

Transformations d'un gaz parfait

Nous limitons nos propos aux variables d’état pression, volume, température et quantité de matière.

1. Variables intensives et extensives

Nous considérons un système Shomogène, sous une seule phase, en équilibre. Les variables d’état y sont uniformes et constantes.
Elles sont liées par une équation d’état f(p, V, T, n ou m) = 0.
Considérons une partie S’ de S et notons que dans cette partie pression p et température T sont inchangées alors que le volume est devenu lV, la quantité de matière ln ou lml est compris entre 0 et 1.
Les variables d’état ont un caractère différent. On dira que pression et température sont des variables intensives, que volume et quantité de matière sont des variables extensives.
Ainsi si nous écrivons l’équation d’état pour S sous la forme V = V(T, p, n ou m), elle s’écrira pour SlV= V(T, p, ln ou lm) c’est à dire que la fonction V est une fonction homogène de degré 1 en n ou en m.

La notation générale que nous utilisons est la suivante :

L’indice M indique qu’une quantité est rapportée à une mole de matière (on dit molaire), la barre  qu’elle est rapportée à l’unité de masse de matière (on dit massique).
Nous avons noté le caractère additif des fonctions d’état U et S ; pour un système homogène, sous une phase, en équilibre ces fonctions seront extensives. Il en sera, de même, de la fonction d’état enthalpie H = U + pV , la quantité pV produit d’une variable intensive par une variable extensive étant extensive.

2. Travail des forces de pression extérieure

Le piston (paroi mobile en translation) est la technologie la plus simple pour aborder l’échange d’énergie par travail provoquant un changement de l’état interne du système. Les études de technologies liées à des roues mobiles (turbines) sont plus complexes et ne sont pas envisagées dans le cadre du DEUG A.

Fig. a - Nous raisonnons sur un piston plan de section S dont le déplacement est suivant la direction verticale x. Ce cas particulier n’enlève rien à la généralité de nos propos.
Il est soumis à la force de l’opérateur extérieur de composante verticale , à son poids , à la pression de l’environnement , à la force tangentielle de frottement de contact  (seule la projection tangentielle travaille) et à la force  qu’exerce le système fluide sur le piston ( est la force exercée par le piston sur le fluide).
Nous cherchons à connaître le travail dW échangé par le système fluide du à l’action du piston, soit  où  est le vecteur déplacement élémentaire du piston.
L’application du théorème de l’énergie cinétique au piston permet d’écrire :

Pour le travail de la force de frottement, la vitesse à considérer est celle de glissement du piston sur la paroi du cylindre qui, ici , se confond avec la vitesse v du piston puisque le mouvement est une translation.

La pression extérieure est définie par la relation  si bien que le travail échangé s’écrit  où nous avons introduit  variation de volume du système fluide (pour un déplacement du piston positif, nous avons une diminution de volume du système ce qui explique l’origine du signe moins).
L’expression de dW est, même pour ce cas simplifié, difficilement manipulable car il nous faut connaître le problème mécanique.

Aussi nous envisageons dW,
- pour un travail des forces de frottement négligeable (le but étant d’échanger du travail avec le système fluide, les parties mécaniques piston-paroi sont lubrifiées et la vitesse de glissement est suffisamment faible),
- pour une énergie cinétique négligeable (vitesse de déplacement du piston suffisamment faible et/ou masse du piston négligeable)
alors le travail échangé est égal à 

Fig. b - Dans le cas général, le calcul doit être fait à chaque élément de surface dS sans faire d’hypothèse sur les directions des forces ou des déplacements.
La pression extérieure au point M doit être comprise comme la somme de la pression d’environnement  et des projections, suivant la normale à l’élément de surface, des forces extérieures (force d’opérateur et poids).
Alors  (en négligeant le travail des forces de frottement de contact et l’énergie cinétique de l’élément de surface)

Remarque : si , le travail est moteur (le système " pousse " sur le milieu extérieur) ; il est récepteur dans le cas opposé.

Cas d’une pression extérieure uniforme

Dans ce cas là, entre deux instants successifs, nous pouvons intégrer l’expression de  à tous les éléments de surface.
dV est la variation de volume du système.

Cas d’une transformation quasistatique, d’une transformation réversible

Le système est en état d’équilibre ou très voisin d’un état d’équilibre. Les vitesses de déplacement ou de glissement sont " nulles ".
La pression du système est uniforme et égale à p. En écrivant le principe fondamental de la dynamique sur chaque élément de surface, on obtient :
(transformation réversible ; cette condition traduit aussi la condition d’équilibre mécanique sur une paroi mobile)
(transformation quasistatique).
Le travail échangé est égal à 

Représentation du travail dans un diagramme V, p
 
= - aire entre la courbe, les droites , l’axe V.

Cas d’un cycle : W > 0 si le cycle est décrit dans le sens trigonométrique (ou positif)

W < 0 si le cycle est décrit dans le sens inverse (ou négatif).

W > 0 le système est une machine réceptrice

W < 0 le système est une machine motrice

Ces schémas montrent que le travail des forces de pression extérieure dépend des états initial et final, des états intermédiaires c’est à dire de la transformation amenant de l’état initial à l’état final (on dit du chemin suivi).

3. Chaleur sensible. Chaleur latente

Lorsque l’échange de chaleur a pour effet de faire varier la température d’un système sans changement de phase, on parle de chaleur sensible. Par contre, s’il s’agit d’un corps pur changeant de phase à température constante, on parle de chaleur latente (rappelons que, dans ce cas, la pression est constante -Chapitre 2-).

3.1. Chaleur sensible. Capacités calorifiques

Transformation à volume constant (transformation isochore)

Réalisation : il suffit que les parois qui délimitent le système soient indéformables et fixes ; ceci est facilement réalisable pour les systèmes gazeux, presque impossible pour les liquides ou les solides (dont les volumes varient peu mais sur lesquels il faudrait exercer des forces très importantes pour les empêcher de changer de volume)

Pour un système fermé, le premier principe de la Thermodynamique s’écrit :  puisque le travail échangé est nul.
La fonction d’état U dépend des variables d’état  dont deux seulement sont indépendantes (existence d’une équation d’état). Si nous imposons une condition (ici ), il n’y a plus qu’une variable indépendante. Nous choisissons la température T comme variable indépendante ce qui veut dire que nous considérons la pression p comme une fonction de la température.
Ainsi dans le cas d’une transformation à volume constant , la quantité  est appelée capacité calorifique à volume constant, l'unité de mesure dans le système MKSA est le J/K.
Le caractère additif de U et intensif de T donne à  un caractère additif.
Pour un mélange, la capacité calorifique est la somme des capacités de chacun des constituants ; pour un corps pur, le caractère devient extensif c’est à dire que .
Le calcul de  est indépendant de la transformation (en particulier de la nature réversible ou non de la transformation), il ne dépend que des états initial et final, soit

Sauf avis contraire,  pourra être pris " constant " si bien que  si la transformation est isochore (à volume constant).

Transformation à pression constante (transformation isobare)

Réalisation : Le milieu extérieur impose une pression  ; dans les états initial ou final, il y a équilibre entre des pressions entre le milieu extérieur et le système ; lors de la transformation, le volume du système varie, sa pression reste constante (transformations quasistatique et réversible) ou devient non-uniforme (transformation irréversible).

La fonction d’état H dépend des variables d’état  dont deux seulement sont indépendantes (existence d’une équation d’état). Si nous imposons une condition (ici ), il n’y a plus qu’une variable indépendante. Nous choisissons la température T comme variable indépendante ce qui veut dire que nous considérons le volume V comme une fonction de la température.
Ainsi dans le cas d’une transformation à pression constante, la quantité  est appelée capacité calorifique à pression constante, l'unité de mesure dans le système MKSA est le J/K.
Le caractère additif de H et intensif de T donne à  un caractère additif.
Pour un mélange, la capacité calorifique est la somme des capacités de chacun des constituants ; pour un corps pur, le caractère devient extensif c’est à dire que .
Le calcul de  est indépendant de la transformation (en particulier de la nature réversible ou non de la transformation), il ne dépend que des états initial et final, soit

Sauf avis contraire,  pourra être pris " constant " si bien que  si la transformation est isobare (à pression constante).

3.2. Chaleur latente de changement de phase (d’état) d’un corps pur

Cette transition de phase qui s’effectue à température et pression constantes s’accompagne de transferts d’énergie.
 
On appelle chaleur latente (massique ou molaire) de changement d’état d’un corps pur à la température T la variation d’enthalpie (de l’unité de masse ou d’une mole) de ce corps passant d’un état (solide, liquide ou gazeux) à un autre état.
La notation habituelle pour les chaleurs latentes est L. Ainsi  , la variation d’enthalpie pour aller de l’état 1 à l’état 2 est égale à la quantité de chaleur échangée sur l’isobare.
Les chaleurs latentes de fusion (transition solide à liquide), de vaporisation (transition liquide à vapeur) et de sublimation (transition solide à gaz) sont positives c’est à dire qu’il faut fournir de la chaleur pour faire fondre un solide, vaporiser un liquide ou sublimer un solide.
Les chaleurs latentes de solidification, de condensation à l’état liquide et de condensation à l’état solide sont respectivement opposées à celles de fusion, de vaporisation et de sublimation.

3.3. Remarques

La Calorimétrie a pour objet la mesure des capacités calorifiques et des chaleurs latentes. Le chapitre 7 " Propriétés de la matière " apportera un certain nombre de connaissances essentielles avant d’entreprendre la façon de faire ces mesures.
A ce stade du cours, nous nous contenterons de dire que  et  se déduisent l’un de l’autre et que c’est la mesure de la capacité calorifique à pression constante qui est le plus facilement accessible.
En fait, pour les solides et les liquides,  et  sont peu différents (quelques %), alors que, pour un gaz, les valeurs respectives sont sensiblement différentes.
Pour tous les corps,  est supérieur à  (on introduit, de manière utile, le rapport ).
Les chaleurs latentes sont, d’autre part, très importantes. Nous ne donnons qu’un seul exemple : pour élever 1 kg d’eau liquide de 0 °C à 100 °C, il faut 418 kJ ; pour transformer 1 kg d’eau liquide à 100 °C en 1 kg de vapeur à la même température, il faut 2253 kJ soit environ 4 fois plus.
On trouvera , à la fin du cours, dans l’annexe " Détermination expérimentale des caractéristiques thermodynamiques " un certain nombre de résultats expérimentaux.

4. Etude énergétique du gaz parfait

4.1. Fonctions d’état U, H et S

4.1.1. Première loi de Joule
 
Expérience de Joule Gay-Lussac

Une mole de gaz est enfermée dans un récipient R1.
On ouvre le robinet et le gaz se répartit dans les récipients R1 et R2 .
Les parois des récipients sont indéformables et parfaitement calorifugées de l’extérieur si bien que la détente du gaz s’effectue à énergie interne constante.
Si la pression initiale dans R1 n’est pas trop élevée (gaz se comportant comme un gaz parfait), la température ne varie pas au cours de la détente.

Pour un gaz parfait, la température est constante si l’énergie interne est constante, soit  ou  où  ne peut dépendre que de la température.

Ces résultats constituent la première loi de Joule et sont conformes avec ce que nous avons exposé dans le Chapitre 2

4.1.2. Deuxième loi de Joule
 
Expérience de Joule-Thomson  
Un gaz à pression  s’écoule lentement en parcourant un tube horizontal à parois parfaitement calorifugées. Il traverse une couche poreuse et sort à la pression . Un ventilateur permet de maintenir un régime permanent (débit constant) dans lequel les pressions  et  et les températures en amont et en aval de la couche poreuse ne dépendent pas du temps.
On considère le système thermodynamique compris, à l’instant , entre les sections A et B. Compte tenu de l’écoulement, ce système à un instant  se situe entre les sections A’ et B’.

Le travail échangé entre les instants  et  par le système est égal à  si  est la partie de volume du système comprise entre les section A et A’ et  est la partie de volume du système comprise entre les section B et B’.

Le lecteur qui aurait quelques difficultés pourra imaginer deux parois fictives situées initialement aux sections A et B ; en fait, la vraie difficulté est qu’il s’agit d’un système ouvert et que ceux-ci seront étudiés dans le chapitre 6.

L’écriture du principe de conservation (où on néglige toute variation d’énergie cinétique, écoulement à faible vitesse, et toute variation d’énergie potentielle, tube horizontal) conduit à :  ( puisque les parois sont parfaitement calorifugées).

En réorganisant, on obtient : . L’écoulement (la détente) de Joule-Thomson est un écoulement (une détente) isenthalpique (à enthalpie constante)

Si la pression  n’est pas trop élevée (gaz se comportant comme un gaz parfait), la température ne varie pas lors de la traversée de la couche poreuse ().
Pour un gaz parfait, la température est constante si l’enthalpie est constante, soit  ou  où  ne peut dépendre que de la température.

Ce résultat constitue la deuxième loi de Joule.

Remarques :

4.1.3. Fonctions d’état du gaz parfait 4.2. Etude de quelques transformations pour un système fermé contenant un gaz parfait

Pour toutes les transformations, les capacités calorifiques seront prises constantes

4.2.1. Transformation isochore (V = Cste)

 

Pour une transformation réversible où la température du système évolue progressivement de ,

on obtient : et

Pour une transformation irréversible où la source impose " brutalement " une température ,

on obtient : ,  ;

Le lecteur montrera que est positif quelques soient ; il pourra poser .

4.2.2. Transformation isobare (pression extérieure pe )

Pour une transformation réversible où la température du système évolue progressivement de ,
on obtient : et

Pour une transformation irréversible où la source impose " brutalement " une température ,
on obtient : ,  ;

Le lecteur montrera que est positif quelques soient ; il pourra poser .

4.2.3. Transformation isotherme

Réalisation : Le système est en contact avec une source de chaleur à température constante TS ; dans les états initial ou final, il y a équilibre des températures entre le milieu extérieur et le système ; lors de la transformation, la température du système reste constante (transformations quasistatique et réversible) ou devient non-uniforme (transformation irréversible).

(puisque première loi de Joule)

Pour une transformation réversible, et

Autre démonstration : dW = -pdV = Vdp = -dQ
Les variables p et V ne sont pas indépendantes puisque liées par l’équation d’état pV=nRTS
On obtient :

Pour une transformation irréversible où la pression extérieure est imposée " brutalement ",

Le calcul de l’entropie créée par l’irréversibilité se fait à partir de : .

Le lecteur montrera que est positif quelques soient ; il pourra poser .

4.2.4. Transformation adiabatique (Q = 0)

Réalisation : Le système est isolé thermiquement de l’extérieur c’est à dire que les parois qui délimitent le système sont imperméables à la chaleur (athermales) ; ceci peut être réalisé par des parois constitués de matériaux non conducteurs de la chaleur ou en éliminant le phénomène de convection et en disposant des écrans anti-rayonnants pour éliminer les échanges par radiations thermiques.

Le premier principe s’écrit DU = W, le second DS = Sc .
Pour une transformation réversible, Sc est nul donc aussi DS (ð S est constant).
Une transformation adiabatique réversible est une transformation isentropique.
En exploitant les formules de l’entropie, on obtient une relation suivant le couple de variables utilisées.
Si g est constant, on retient la relation vraie à chaque instant de la transformation, étant entendu qu’il est facile de passer aux autres couples de variables en utilisant l’équation d’état des gaz parfaits. Ce résultat est souvent appelé loi de Laplace.
Ainsi, par exemple si le système initialement à pression et température évolue jusqu'à un état final où la pression est , la température finale est.
Le calcul le plus simple de W se fait à partir de . On peut aussi faire un calcul direct à partir de .

Pour une transformation irréversible, où, sur le système initialement à pression et température , on impose " brutalement " une pression extérieure constante , on calcule W par deux méthodes,

Nous disposons de deux relations indépendantes, de l’équation d’état des gaz parfaits dans les états initial et final : le problème thermodynamique est alors entièrement défini.
En les égalant et en organisant, on obtient

5. Transferts thermiques (transferts de chaleur ou d’énergie calorifique)

On appelle échangeur de chaleur le milieu solide qui sépare le système de la source de chaleur. Une paroi de faible épaisseur, de grandes dimensions transversales, est la représentation la plus simple d’un échangeur de chaleur.

5.1. Conduction de la chaleur

La non-uniformité de la température dans un solide entraîne un transfert d’énergie d’un point à un autre. Ce transfert qui se produit sans transport macroscopique de matière est appelé " Conduction de la Chaleur ".
Il est régi par le loi de Fourier.
Dans les systèmes solides, seul ce mode de transfert est possible. Dans les fluides, il peut être secondaire par rapport au transfert par convection.
Nous nous limitons à des solides homogènes et isotropes où, en chaque point, existe un champ de température 

Loi de Fourier

Expérimentalement, si la variation spatiale de température n’est pas trop forte, le vecteur densité de flux de chaleur est égal à :
La densité de flux de chaleur j (flux de chaleur par unité de surface transversale ) dans une direction caractérisée par un vecteur unitaire  est :

Ce type d’équation est appelé équation de diffusion, l’écoulement de chaleur, qui se produit dans le sens des températures les plus faibles, tend à uniformiser les températures.
Dans le système MKSA, j se mesure en W.m-2 et l en W.m-1.K-1 .
l est appelé conductivité thermique et traduit l’aptitude d’un matériau à conduire la chaleur.

Remarque : Lorsque, dans un milieu fluide, existent des gradients de concentration de matière, il se produit des mouvements de matière qui tendent à uniformiser la concentration de matière. Ce phénomène de diffusion de matière est régi par une loi analogue à celle de Fourier appelée loi de Fick.

Quelques conductivités thermiques aux températures ordinaires
 
Ordre de grandeur de l à 20 °C
W m-1 K-1
Gaz à la pression atmosphèrique
0,006 - 0,18
Matériaux isolants
0,025 - 0,25
Liquides non Métalliques
0,1 - 1,0
Solides non métalliques
0,025 – 3
Liquides métalliques
8,5 – 85
Alliages métalliques
10 – 150
Métaux purs
20 – 400
Ag
418
Béton brut
1,75
H2
0,18
Cu
390
Verre
~ 1
He
0,15
Al
238
Plâtre
0,46
Ne
0,05
Laiton
120
Bois
0,25 à 0,12
O2
0,027
Fe
82
Laine de verre
0,04
N2
0,026
Pt
69
Polystyrène
0,04
Ar
0,018
Pb
35
Eau
0,6
CO2
0,017
Ti
20
Alcool
0,17
Kr
0,01
Inox
14
Huile minérale
0,13
   

5.2. Echanges de chaleur à la frontière d’un solide

Convection de la chaleur
 
C’est le mode de transfert que l’on observe entre un solide et un fluide. Il comprend des phénomènes de conduction auxquels se superpose un transport de matière, les molécules du fluide venant se réchauffer ou se refroidir au contact du solide.
Le transport de matière dans un fluide peut se faire de deux manières :
     
  • naturelle les molécules chaudes de masse volumique plus faible ont tendance à s’élever.

L’étude de ces phénomènes, régis par les équations de Navier-Stokes, ne peut être abordée sans de sérieuses connaissances de Mécanique des fluides.
Nous resterons très élémentaire et poserons que la densité de flux de chaleur échangée par convection est égale à :
hc est le coefficient de convection, Tp la température à la paroi du solide et Tf la " température du fluide " au loin si celui-ci est " seul " ou la " température de mélange " s’il est entre deux parois.
hc est de l’ordre de quelques unités pour la convection naturelle des gaz, quelques dizaines pour la convection forcée des gaz, quelques centaines pour la convection naturelle des liquides et de quelques milliers pour la convection forcée des liquides.
hc est exprimée en W.m-2.K-1.

Rayonnement thermique

La surface d’un solide émet un rayonnement électromagnétique complexe d’énergie d’autant plus grande que cette surface est à température plus élevée.
Ce rayonnement se propage dans les milieux transparents. Lorsqu’il rencontre un corps, il est totalement absorbé (corps noir), partiellement absorbé (corps réfléchissants, semi-transparents) ou pas du tout absorbé (corps parfaitement réfléchissants, corps transparents). L’énergie absorbée est transformée en énergie interne.
Le spectre du rayonnement électromagnétique dépend de la température de surface du corps qui émet, de la nature du corps et de son état de surface.
L’aptitude d’un corps à réfléchir, transmettre ou absorber un rayonnement dépend aussi de ces paramètres.
Un bilan énergétique montre que, pour un corps en équilibre thermique, son aptitude à absorber un rayonnement est identique à son aptitude à en émettre. On rend compte de cette aptitude par un coefficient  compris entre 0 et 1, appelé émissivité.

La densité de flux d’énergie émise par un corps, à température T, sous forme de rayonnement électromagnétique est égale à  où  est la constante de Stéfan-Boltzmann.

Les échanges d’énergie par rayonnement entre deux corps dépendent de leur position relative.
En restant très élémentaire, la densité de flux de chaleur échangée par rayonnement est : 

est une fonction des émissivités des surfaces et de leur position relative.

En remarquant que  si Tm est une température moyenne entre T1 et T2.
La densité de flux de chaleur échangée par rayonnement peut être linéarisée sous la forme avec .
Cette linéarisation est très utilisée lorsque les températures T1 et T2 sont voisines car hr , coefficient de rayonnement, est pratiquement constant.

Pour en savoir plus

Dans une direction , la puissance énergétique spectrale (flux énergétique)  d’un rayonnement de longueur d’onde compris entre , émis (ou absorbé) par un élément de surface dans un angle solide  est donnée par la relation :
où  est l’angle entre et  et  l’émissivité spectrale dans la direction considérée.
est la luminance spectrale du corps noir qui est un corps qui absorbe tout rayonnement [].
Suivant une théorie de Planck introduisant la notion de quantum d’énergie,

La valeur correspondant à un maximum de la luminance spectrale est donnée par la loi de Wien, à savoir .
Pour les corps obéissant à la loi de Lambert (les métaux n’obéissent pas à cette loi), l’émissivité ne dépend pas de la direction [],

ð

La quantité est appelé émittance spectrale

On en déduit, si l’émissivité ne dépend pas de la longueur d’onde, la densité de flux énergétique émise par rayonnement :

6. Bilans énergétiques simples faisant intervenir les transferts thermiques

6.1. Paroi solide inerte d’échangeur en régime permanent

Pour ce type de système, il n’y a pas, au cours du temps, de variation de son énergie totale, ni d’échange de travail avec le milieu extérieur puisque le volume est constant.
Le principe de conservation de l’énergie impose qu’à chaque instant la chaleur échangée est nulle.
Mathématiquement, on écrit que le flux de chaleur  échangé par le système est nul (à chaque instant, le flux de chaleur  " entrant " est égal au flux de chaleur  " sortant ", soit  puisque le régime est permanent).

Dans le cas particulier où, dans le bilan énergétique, seuls interviennent des échanges de chaleur, on emploie l’expression bilan thermique.

6.1.1. Paroi en forme de " mur "

En thermique, on appelle " mur " un système où les échanges de chaleur se produisent suivant une direction cartésienne, par exemple x.
représente donc le champ de température en régime permanent.
 
Le bilan thermique est fait sur un élément de volume adapté, dans ce cas celui compris entre les abscisses x et x+dx de surface transversale S arbitraire.
Suivant la loi de Fourier, le flux de chaleur " entrant " par conduction par la face x est égal à , celui " sortant " par la face x+dx est égal à  .

Le bilan thermique consiste à écrire que le flux de chaleur qui entre est égal à celui qui sort.

ð
La résolution, avec les deux conditions aux limites  et , conduit à  et 

représente la résistance thermique pour une section transversale S et  le flux de chaleur. Nous pouvons faire une analogie avec le domaine électrique en régime permanent entre différences de température et différence de potentiel d’une part et, d’autre part, flux de chaleur et intensité du courant électrique.

  • Le bilan énergétique (thermique) permet d’écrire :
  • et  apparaissent comme les résistances thermiques liées au coefficients  et  et

    Remarque : utilisation d’ " ailettes ou barres " pour augmenter les échanges de chaleur

    On place, aux frontières de la paroi, des solides de forme particulière appelés " ailettes ou barres ". L’augmentation des échanges de chaleur (diminution de la résistance thermique) est obtenue par l’augmentation de la surface d’échange avec les fluides extérieurs.
    Ces solides sont de forme allongée, c’est à dire possèdent des dimensions transversales faibles par rapport à la troisième dimension.
    Le gradient de température a lieu principalement dans le sens de cette dernière direction. Chaque section transversale est, en première approximation, à température uniforme ce qui n’est pas contradictoire avec le fait de considérer des échanges de chaleur suivant ces directions jusqu’au contact avec le fluide extérieur.
    L’ efficacité  d’une ailette est définie par le rapport du flux de chaleur échangé par l’ailette au flux de chaleur qui serait échangé si elle n’existait pas.
    Des notions complémentaires sur les ailettes seront abordées en travaux dirigés.

    Pour en savoir plus

    Un bilan thermique entre deux sections quelconques prises dans chacun des deux murs conduit à :

    Par suite,

    Le problème posé est celui de l’écart .
    L’extrapolation jusqu’au contact du champ de température dans le milieu 1 conduit à la valeur  qui est, à priori, différente de température d’extrapolation jusqu’au contact dans le milieu 2.
    Pour tenir compte de cet écart, on introduit une résistance thermique supplémentaire appelée résistance thermique de contact suivant la relation 
    Les valeurs de la résistance de contact sont sensibles si la conductivité du fluide interstitiel est très différente de celles constituant les matériaux en contact, donc dans le cas de matériaux en contact conducteurs.
    Si l’écart  est négligeable, on dit que le contact est parfait.
    On remarque, de plus, que 

    6.1.2. Paroi à symétrie de révolution. Paroi à symétrie sphérique

    Symétrie de révolution autour d’un axe

    où r est la distance à l’axe et L une longueur axiale arbitraire.
    et  .

    représente la résistance thermique ().

    Symétrie sphérique

    où r est la distance au centre de symétrie.

    et

    représente la résistance thermique ().

    6.2. Bilans énergétiques pour un solide en régime transitoire

    Entre deux instants successifs t et t + dt, le premier principe de la Thermodynamique pour un système peut être écrit :

    Le système solide subit une transformation à pression 
    variation d’enthalpie résultant de variation dans le temps du champ de température.

    6.2.1. Cas où la température du solide est uniforme
     
    On considère un milieu de volume V, de surface S, de capacité calorifique , siège d’une dissipation d’énergie de puissance .
    La température extérieure  est constante, celle du milieu  est uniforme . On appelle h le coefficient d’échange traduisant les échanges de chaleur par convection et/ou rayonnement.

    Le bilan thermique conduit à , soit 

    En régime permanent, on obtient 

    Pour en savoir plus

    6.2.2. Equation de la chaleur
     
    On considère un élément du milieu quelconque, suffisamment petit pour être homogène, de volume V, limité par une surface S.
       
    • est la puissance calorifique volumique des sources internes, si bien que 

  • où  est l’élévation de température par unité de temps,  et  respectivement la masse volumique et la capacité calorifique massique à pression constante du milieu (on remarquera que, dans le cas d’une évolution à volume constant, il conviendrait de remplacer la capacité calorifique à pression constante par celle à volume constant et que la différence n’est significative que dans le cas des gaz).
  • L’application du premier principe de la Thermodynamique conduit à l’équation de la chaleur,

    Pour des conductivités thermiques indépendantes de la température et des milieux isotropes, on obtient :
    est la diffusivité thermique (m2.s-1).

    6.3. Bilan énergétique pour un fluide en écoulement permanent
     
    L’écoulement permanent d’un fluide s’effectue à pression constante.
    Il reçoit un flux de chaleur  si bien que sa température évolue d’une valeur amont (à l’entrée)  à une valeur aval (à la sortie) .
    Une quantité de masse dm de fluide échange la quantité de chaleur si on néglige, pour le fluide, toute variation d’énergie cinétique et potentielle.

    Par unité de temps, on écrit  où  est le flux de chaleur échangé par le fluide.