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" De toutes les sciences de la nature, la physique est celle qui entretient le plus de relations étroites avec les mathématiques, si étroites d’ailleurs que bien des grands noms se retrouvent associés à la fois à des théorèmes mathématiques et à des lois physiques : Descartes, Fermat, Gauss, Bernoulli, ... "

Eléments de Mathématiques
 

Plan 1. Développements en série 2. Calcul des expressions indéterminées 3. Calcul différentiel 4. Différentielles d'ordre supérieur 5. Différentielles des fonctions de plusieurs variables indépendantes 6. Calcul intégral 7. Equations différentielles 8. Les différents repères 9. Eléments d'analyse vectorielle 10. Analyse de Fourier

Les illustrations et animations de Geneviève Tulloue Coordonnées cylindriques   Coordonnées sphériques   Synthèse de Fourier                                         CABRI

Rappel : soit une fonction ; on appelle dérivée de la quantité égale à.
Prérequis : calcul de dérivées

1. Développements en série

Soit une fonction  définie pour des intervalles de variation de x où elle ne devient pas infinie et où les dérivées existent.

Théorème des accroissements finis : Pour une telle fonction, il existe toujours une abscisse c comprise entre a et b telle que :

Formule de Mac-Laurin

Formule de Taylor

Application aux développements en série

On montre que :
;

;

Remarque : Les séries obtenues sont soumises à des conditions de convergence que nous ne développons pas ici. On montre que les trois premières séries données sont valables pour tout x, la quatrième pour -1 < x < 1.

Utilité des développements en série pour les applications numériques

2. Calcul des expressions indéterminées

Premier moyen Il suffit de développer le numérateur et le dénominateur en série de Mac-Laurin et de simplifier.

Deuxième moyen. Règle de L’Hopital

se présente sous la forme , alors
démonstration à partir du théorème des accroissements finis.

Par exemple, 

3. Calcul différentiel

Le calcul différentiel et intégral a été inventé par Newton et Leibnitz à la fin du XVII ^ème siècle à la suite d’un grand nombre de travaux mathématiques ayant abouti à l’étude des dérivées, des tangentes aux courbes et des infiniment petits. Ce calcul a été ensuite mis au point par différents mathématiciens (Euler, Laplace, Cauchy, ...) qui lui ont donné sa forme actuelle.
On faisait déjà de l’algèbre avant Jésus-Christ et le célèbre Archimède savait résoudre certaines équations du 2 ^ème degré ; on doit donc convenir que, du moment qu’il a fallu attendre l’arrivée de Leibnitz et de Newton, il y a trois cents ans seulement, c’est que ce calcul est subtil et transcendant, et d’un niveau supérieur aux mathématiques élémentaires. Il exige une certaine tournure d’esprit.

Les infiniment petits. Un infiniment petit est une quantité variable qui tend vers 0.

Exemples,

• quand x tend vers 0 tend aussi vers 0, c’est donc un infiniment petit

• quand x tend vers 0 tend aussi vers 0, c’est donc un infiniment petit.

Les différentielles

La petitesse d’une grandeur est relative. Une minute comparée à une heure est très petite, mais une minute comparée à une seconde est très grande.
Dans le calcul différentiel, on appelle dx une très petite variation donnée à la variable x en plus ou en moins. On peut la prendre aussi petite que l’on veut, mais elle est fixe et il n’est pas question de la faire tendre vers 0 comme un Dx.

dx a un caractère algébrique.

En effet, soit par exemple, 

Appliquons la formule de Taylor

On appelle différentielle de y ou de f (x) la quantité dy = y’dx ou df = f ’(x)dx

dy a un caractère algébrique.

Calcul des différentielles

Application de la définition

Différentielles d’une somme, d’un produit, d’un quotient

Soient u et v des fonctions de x.

  Différentielles des fonctions de fonctions

Soit y = f (u) avec u = u(x)

Quelques applications simples des différentielles

• On chauffe un disque en métal et son rayon croît à la vitesse de 1 mm par seconde. Calculer la vitesse à laquelle croît la surface S du disque si le rayon R = 10 cm ?

• Différentielles des fonctions paramétriques

• Différentielle logarithmique

4. Différentielles d’ordre supérieur

Nous avons vu que la différentielle de y = f (x) est dy = y’ dx où dx est aussi petit que l’on veut mais fixé.
Nous cherchons la différentielle de dy c’est à dire d(dy) que nous noterons (prononciation " d deux y ").
Par définition, = (dérivée de dy).dx (dérivée de dy) = (y’dx)’ = y’’dx

On aurait de même 

5. Différentielles des fonctions de plusieurs variables indépendantes

En Physique, nous avons souvent à étudier les fonctions de plusieurs variables indépendantes. Nous nous limiterons à deux notées x et y mais les résultats sont facilement généralisables.
Soit une fonction f (x, y), nous appellerons différentielle de f (notation df ) la quantité  est la dérivée de f par rapport à x, la variable y étant considérée comme une constante dans la dérivation (prononciation d rond f sur d rond x).
La différentielle apparaît comme la somme des différentielles partielles.
Un grand nombre de mathématiciens prennent a priori cette formule comme définition de la différentielle et ne la démontrent pas. Que les esprits ... rigoureux sachent qu’elle se démontre.

L’application de cette formule aux calculs d’erreur est chose importante pour un expérimentateur.

Théorème : soit une fonction de deux variables f (x, y), on a toujours 

Autrement dit : pour la dérivée seconde croisée l’ordre de dérivation importe peu ; que l’on commence par x et que l’on continue par y, ou que l’on commence par y et que l’on continue par x, le résultat est le même.

Remarque importante sur la différentielle d’une fonction

Soit une forme différentielle A (x, y) dx + B (x, y) dy différentielle d’une fonction f (x, y) c’est à dire telle que df = A (x, y) dx + B (x, y) dy, alors par définition de la différentielle d’une fonction f (x, y) nous avons,

Le théorème sur les dérivées croisées nous permet d’établir la relation très importante de Cauchy,

La conséquence de cette relation est simple.

Soit une forme différentielle A (x, y) dx + B (x, y) dy,

• les coefficients A (x, y) et B (x, y) obéissent à la relation ci-dessus, alors il existe une fonction f (x, y) telle que df = A (x, y) dx + B (x, y) dy.

On dit, ce qui est équivalent, que la forme différentielle A (x, y) dx + B (x, y) dy est une différentielle totale exacte.

• les coefficients A (x, y) et B (x, y) n’obéissent pas à la relation ci-dessus, alors la fonction f (x,y) n’existe pas.

La forme différentielle A (x, y) dx + B (x, y) dy n’est pas une différentielle totale exacte.

• nous avons des formes différentielles qui sont des différentielles totales exactes, nous les notons d f et nous sommes amenés à calculer la fonction f (x, y).

C'est le cas de ce que nous appellons les fonctions d’état (la fonction U (énergie interne), ou la fonction H (enthalpie) ou la fonction S (entropie) ou ...).

• nous avons des formes différentielles qui ne sont pas des différentielles totales exactes, nous les notons d g ce qui veut dire que la fonction g(x, y) n’existe pas.

C'est le cas de d W et d Q qui sont des quantités, respectivement de travail et de chaleur, élémentaires (aussi petites que l’on veut) échangées.

Exemples

• ; ;


Il existe une fonction f (x, y) telle que  que nous apprendrons à calculer.

• ; ;


Il n’existe pas de fonction g (x, y) et la notation sera 

Le calcul intégral est l’opération inverse du calcul différentiel à savoir,

• trouver une fonction f (x) dont la dérivée 

• en notation différentielle, ceci peut se dire, trouver une fonction f (x) dont la différentielle est df = f ’(x) dx.

• (prononciation somme de ou primitive de f’(x) dx)

Calcul des fonctions f(x, y) dont on connaît la différentielle

. Cette primitive est faite en traitant y comme une constante si bien que la constante d’intégration peut être fonction de y.

où il faut bien comprendre que F (x, y) est une primitive par rapport à x de A (x, y) et que la variable x s’est éliminée dans .

• Nous prenons, à titre d’exemple, 

Le lecteur, pour bien comprendre la méthode, aura intérêt à recommencer le calcul à partir de .

Remarque :
Très souvent, en Thermodynamique, A (x, y) ne sera fonction que de x et B (x, y) que de y. Alors
Le calcul se ramène à celui de deux primitives ordinaires.

Calcul des intégrales curvilignes

On appelle intégrale curviligne l’expression suivante,
d’un point I à un point F suivant une courbe d’équation h (x, y) = 0.
(En Thermodynamique, on dit d’un état initial I à un état final F suivant une transformation)

Le calcul direct se fait en remplaçant y et dy en fonction de x et de dx à partir de h (x, y) = 0 dans l’intégrale curviligne et le calcul devient celui d’une intégrale simple.

Le cas particulier où  mérite d’être étudié.

c’est à dire que le résultat ne dépend pas de la courbe, il ne dépend que des points I et F (en Thermodynamique, nous dirons que le résultat ne dépend pas de la transformation et qu’il ne dépend que des états initial et final).
Dans ce cas, nous disposons de deux méthodes pour calculer l’intégrale curviligne.

7. Equations différentielles

On appelle équation différentielle une relation de type . D'une manière générale, on ne connaît que très peu de solutions analytiques des équations différentielles.

Equations différentielles du premier ordre

• Il est intéressant de penser à séparer les variables, c'est à dire isoler la variable y à gauche du signe égal et la variable x à droite. Lorsque ceci est possible, il suffit ensuite de procéder au calcul de deux primitives.

• Pour les équations différentielles linéaires du type  la solution générale avec le second membre , compte tenu de la linéarité de l'équation, est égale à la somme de la solution générale sans second membre  et d'une solution particulière .

ð
La recherche d'une solution particulière est parfois immédiate. En particulier si  et sont des constantes, on trouve .

A défaut, on peut employer la méthode dite de la " variation de la constante " où dans la solution générale sans le second membre on pose ð.


En remplaçant dans l'équation différentielle, on obtient 
Le calcul de K (x) se ramène à un calcul de primitive.

Seules les équations différentielles du second ordre linéaires à coefficients constants avec second membre nous intéresse réellement, soit .

La linéarité entraîne 
En ce qui concerne le second membre, il se présente, pour les cas réels, sous la forme d'une constante, d'un polynômes en puissance de x ou d'une combinaison linéaire de cosinus et sinus du groupement .
On cherche respectivement, pour la solution particulière, une constante, un polynôme de degré +2 en puissance de x, une combinaison linéaire de cosinus et sinus du groupement .

est l'équation différentielle sans second membre pour laquelle on cherche des solutions sous la forme .
En remplaçant, on forme l'équation caractéristique  qui a deux solutions  et . La solution s'écrit alors .

En explicitant suivant les valeurs de ,

• ð 

• ð 

• ð 

8.1. Repère cartésien
;  ; 

8.2. Repère cylindrique 
;  ; 

8.3. Repère sphérique 
; 

8.4. Repère curviligne ou de Frénet
 

C : centre du cercle tangent en M à la trajectoire : rayon de courbure s : abscisse curviligne ;

9. Eléments d'analyse vectorielle

Prérequis : le produit scalaire, le produit vectoriel.

Produit mixte : 

Double produit vectoriel : 

Opérateur gradient
Soit une fonction f (x, y, z) c’est à dire une fonction des trois variables cartésiennes x, y et z.

Par définition (prononciation : gradient de la fonction  f au point M(x, y, z) où  sont les vecteurs unitaires de la base cartésienne habituelle .

Propriété
Soient  le vecteur position et 

Coordonnées cylindriques : 

Coordonnées sphériques : 

Opérateur divergence
Soit un vecteur  où les composantes sont des fonctions des variables x, y et z.

Par définition

Coordonnées cylindriques : 

Coordonnées sphériques : 

Opérateur Laplacien
Soit une fonction f (x, y, z) c’est à dire une fonction de trois variables indépendantes x, y et z.

Par définition

Propriété : 

Coordonnées cylindriques : 

Coordonnées sphériques : 

Opérateur rotationnel
Par définition 

Coordonnées cylindriques : 

Coordonnées sphériques :

Remarque : tous ces opérateurs sont linéaires

L'opérateur " nabla "
Par définition, 
Ainsi, , , 

Quelques relations

; 

Théorème d'Ostrogradsky : ; S est la surface fermée contenant le volume  ;  est orienté vers l’extérieur de la surface fermée S.

Théorème de Stokes : ; la surface S est quelconque s’appuyant sur le contour  ;  est orienté suivant la règle dite du "tire-bouchon" par rapport au sens de parcours de .

Formules du gradient :  ; 

Formule du rotationnel : 

Formules de Green :  ; 

10. Analyse de Fourier

10.1. Série de Fourier 
Soit fonction réelle ou complexe de la variable réelle t, périodique de période , présentant sur l’intervalle  un nombre fini de discontinuités, de maxima et de minima, et telle que  ait une valeur finie.

On peut décomposer  en série de Fourier, c’est à dire écrire sous la forme :



avec :  ; ; la formule donnant est valable pour

Le terme  correspond au fondamental, les autres termes sont appelés harmoniques.
L’importance relative des différents harmoniques est déterminée par .

Sous forme complexe, les formules ci-dessus peuvent s’écrire :
avec 

Théorème de Parseval

; 

10.2. Transformée de Fourier
Soit fonction réelle ou complexe de la variable réelle t ; la fonction  est supposée de carré sommable, c’est à dire que  a une valeur finie.

On montre que peut s’écrire sous la forme :

avec 

La fonction  est la transformée de Fourier de la fonction .

Ces formules montrent que la représentation d’une fonction par superposition de fonction sinusoïdales n’est pas limitée aux fonctions périodiques.
Une mention particulière doit être faite pour des fonctions périodiques ou pseudo-périodiques de pulsation  sur une durée .
Le spectre de Fourier de telles fonctions correspond à un ensemble de sinusoïdes dont les pulsations appartiennent principalement à l’intervalle  avec 
Ainsi le seul fait de limiter dans le temps une sinusoïde élargit le spectre de fréquences. Ce résultat surprend, mais il constitue un des aspects fondamentaux de la transformée de Fourier.