Exercices de physique statistique

1) Complexions, états microscopiques et états microscopiques

Soient trois niveaux d’énergie (), les niveaux 0 et 2 ne sont pas dégénérés, le niveau 1 a une dégénérescence égale à .
On considère deux particules notées A et B dont on veut que l’énergie totale soit égale à .
L’objet de l’exercice est de représenter sur un schéma les différents états macroscopiques ainsi que les différentes complexions (et/ou états microscopiques) correspondantes.
1)1) dans le cadre de la statistique de Maxwell-Boltzmann
1)2) dans le cadre de la statistique corrigée de Maxwell-Boltzmann
1)3) dans le cadre de la statistique de Bose-Einstein
1)4) dans le cadre de la statistique de Fermi-Dirac

| Réponse 11 | Réponse 12 | Réponse 13 | Réponse 14 |

2) Statistique de Maxwell-Boltzmann : système de particules à deux niveaux d’énergie en équilibre à température T
Soit un système composé d’un grand nombre de particules N, chacune possédant deux niveaux d’énergie (), de même poids statistique g. On posera .
2)1) Calculer les nombres de particules d’énergies respectives . En déduire les probabilités pour une particule d’être respectivement sur les niveaux .
2)2)a) Calculer .
2)2)b) Définir une température caractéristique du système.
2)2)c) Quelles sont les limites de pour , pour .
Conclure.
2)3)a) Etablir l’expression de l’énergie interne U du système (on fera un calcul direct et un calcul utilisant la fonction de partition Z). Tracer U en fonction de .
2)3)b) En déduire et représenter la capacité calorifique à volume constant .

| Réponse 21 | Réponse 22a | Réponse 22b | Réponse 22c | Réponse 23a | Réponse 23b |

3) Statistique de Maxwell-Botzmann : étude de la capacité calorifique d’un gaz parfait
3)1) Un état d’énergie e, pour une particule polyatomique est la combinaison d’un état d’énergie de translation , d’un état d’énergie de rotation et d’un état d’énergie de vibration .
Ces états sont indépendants, c’est à dire que :

• l’énergie de la particule est la somme des différents termes d’énergie, soit où sont des entiers,
• les particules de même énergie totale obtenue par des combinaisons différentes des différents termes d’énergie sont discernables,
• la fonction d’onde associée à l’état d’énergie

3)2) Etude de l’énergie de translation
Le mouvement du centre de masse d’une particule possède trois degrés de liberté, les trois mouvements de translation correspondants sont indépendants et équivalents.
 ;  ;
Dans la direction x, les niveaux d’énergie sont donnés (voir exercice de Mécanique quantique) par :
où m est la masse de la particule, h la constante de Planck, a la dimension du récipient contenant le gaz dans la direction x, un nombre quantique entier positif ou nul, k la constante de Boltzmann et une température caractéristique du quantum d’énergie de translation dans la direction considérée.
Pour les autres directions cartésiennes, on écrira : et
Pour chacune de ces énergies, le poids statistique est égal à 1 (pas de dégénérescence).
3)2)a) Ecrire en fonction des températures .
3)2)b) Calculer si le gaz est du dioxygène contenu dans un récipient cubique d’un litre.
3)2)c) Justifier l’hypothèse . En remarquant que la différence d’énergie entre deux états successifs est infiniment petite, on remplacera la sommation discrète par une intégrale pour calculer .
On rappelle que :
3)2)d) Montrer que ainsi que la capacité calorifique ( et N nombre de particules).
3)2)e) Calculer l’entropie S suivant la statistique de Maxwell-Boltzmann et suivant la statistique corrigée de Maxwell-Boltzmann.

3)3) Etude de l’énergie de rotation
On se limite à des particules diatomiques possédant donc deux degrés de liberté de rotation.
Les niveaux d’énergie de rotation sont donnés par :
où J est le moment d’inertie par rapport à toute direction perpendiculaire nà l’axe joigant les deux atomes et passant par le centre d’inertie 1 et p un nombre quantique entier positif ou nul.
3)3)a) Le poids statistique du niveau d’énergie est . Comment peut-on justifier cette valeur ?
3)3)b) Ecrire en fonction des températures .
3)3)c) Calculer si le gaz est du dioxygène , la distance entre les deux atomes est égale à .
3)3)d) Justifier l’hypothèse et calculer, compte tenu de cette hypothèse, la capacité calorifique .

3)4) Etude de l’énergie de vibration
Dans le cas d’une molécule diatomique, il y a qu’une seule possibilité de vibration correspondant à la variation de la distance interatomique. Cette vibration est, en première approximation, de fréquence n .
Les niveaux d’énergie de vibration sont selon la Mécanique quantique :
où q est un nombre quantique entier positif ou nul.
3)4)a) Pour le dioxygène, calculer ().
3)4)b) Calculer la fonction de partition en fonction des températures .
3)4)c) Calculer la capacité calorifique en fonction des températures . Représenter en fonction de .

3)5) Etude de l’énergie totale
3)5)a) Tracer la capacité calorifique en fonction de .
3)5)b) Que vaut la capacité calorifique C à température ordinaire ?
3)5)c) Que peut-on déduire sur l’équipartition de l’énergie ?

| Réponse 31a | Réponse 31b | Réponse 32a | Réponse 32b | Réponse 32c | Réponse 32d | Réponse 32e | Réponse 33a | Réponse 33b | Réponse 33c | Réponse 33d | Réponse 34a | Réponse 34b | Réponse 34c | Réponse 35a | Réponse 35b | Réponse 35c |

4) Statistique de Maxwell-Botzmann : étude du mélange idéal de deux gaz parfaits diatomiques

Soient le nombre respectif de particules de deux gaz parfaits , les masses des particules de chacun des deux gaz. Ces deux gaz ont même température et sont contenus dans des compartiments de volumes .
On effectue, à température constante, le mélange idéal de ces deux gaz dans un volume .
4)1)a) Que faut-il attendre par l’expression " mélange idéal " ?
4)1)b) A partir des résultats de l’exercice 3, expliquez pourquoi l’on peut écrire la fonction de partition de l’un ou l’autre des gaz sous la forme :
4)1)c) Calculer l’énergie interne U des deux gaz séparés et l’énergie interne U’ des deux gaz mélangés. Conclure.
4)1)d) Calculer l’entropie S des deux gaz séparés et l’entropie S’ des deux gaz mélangés. Conclure à partir du calcul de .
4)1)e) Calculer l’énergie libre F’ du mélange. En déduire la pression p’ du mélange ainsi que la pression partielle de chacun des deux gaz dans le mélange. En déduire la loi de Dalton.

| Réponse 41a | Réponse 41b | Réponse 41c | Réponse 41d | Réponse 41e |

4)2) Enthalpie libre et potentiel chimique
4)2)a) Calculer l’enthalpie libre G’ des deux gaz mélangés en fonction de la température T, de la pression p’ et des fractions molaires et des gaz dans le mélange.
4)2)b) En déduire le potentiel chimique du gaz i dans le mélange rapporté à une particule.
4)2)c) Exprimer l’enthalpie libre G’ en fonction des nombres de particules et des potentiels chimiques .

| Réponse 42a | Réponse 42b | Réponse 42c |

5) Statistique de Bose-Einstein : étude du rayonnement dans une enceinte (corps noir)

Une enceinte de volume V de température T est rempli d’ondes électromagnétiques. A toute onde électromagnétique est associée une corpuscule appelée photon de spin égal à 1 et obéissant à la statistique de Bose-Einstein.
Le nombre d’états de fréquences comprises entre est égal à : où correspond au calcul habituel du nombre d’ondes de fréquences comprises entre et où le facteur 2 est introduit pour tenir compte du fait que toute onde plane se décompose en deux ondes planes polarisées perpendiculairement.
5)1)a) Exprimer, en fonction de la fréquence , la répartition à l’équilibre des photons dans l’enceinte.
5)1)b) Calculer la densité volumique spectrale d’énergie c’est à dire l’énergie volumique des photons ayant leur fréquence comprise entre .

5)2) Etude thermodynamique
5)2)a) Calculer l’énergie interne volumique u des photons de l’enceinte. en déduire l’énergie interne U.
5)2)b) Calculer l’entropie S des photons de l’enceinte, leur énergie libre F, la pression de radiation p ainsi que l’enthalpie libre G.

5)3) Etude de la densité volumique spectrale d’énergie

• pour les faibles fréquences (loi de Rayleigh-Jeans)
• pour les fréquences élevées (loi de Wien)
• représenter graphiquement en fonction de la fréquence, pour une température donnée ; calculer fréquence correspondant à une valeur maximale de

5)4) Flux de photons à travers un orifice. Constante de Stefan-Boltzmann

• calculer, en fonction de la température, le nombre n de photons par unité de volume dans l’enceinte
• calculer le nombre de photons par unité de volume ayant une direction de vitesse dans un angle solide
• en déduire le nombre de photons quittant l’enceinte par un orifice de section unitaire.
• A.N.
• montrer que le flux énergétique s’échappant de l’enceinte est égale à  ; calculer constante de Stefan-Boltzmann.

 ;

| Réponse 51a | Réponse 51b | Réponse 52a | Réponse 52b | Réponse 53 | Réponse 54 |

6) Statistique de Bose-Einstein : étude de la capacité calorifique des solides
L’énergie interne dans un solide est due à la vibration, autour de leur position d’équilibre, des particules constituant le solide. A l’onde acoustique se propageant dans un solide, on peut associer une corpuscule dénommée phonon de type boson. L’étude des propagations des ondes acoustiques montrent que l’énergie d’un phonon est limitée par une valeur maximale .
Ainsi les vibrations du réseau d’un solide sont représentées par une assemblée de phonons de nombre indéterminé obéissant à la statistique de Bose-Einstein. Le nombre d’états possibles pour un phonon d’avoir une énergie comprise entre est égal à .

6)1) Capacité calorifique d’un solide pour une densité d’états quelconque

6)1)a) Le réseau à trois dimensions étant constitué de N atomes, écrire le nombre total d’états possibles.
6)1)b) Ecrire les expressions théoriques donnant l’énergie interne U et la capacité calorifique à volume constant .
6)1)c) Que deviennent ces expressions pour une température T élevée ? Conclusion.

6)2) Modèle d’Einstein
Dans le modèle d’Einstein, où est la distribution de Dirac []. Ce modèle revient à considérer que toutes les particules vibrent à une fréquence unique égale à .
Calculer et représenter .

6)3) Modèle de Debye

D’une manière générale, l’onde acoustique de fréquence se propageant dans un solide est la superposition d’une onde longitudinale, de vitesse de phase , de nombre d’onde et de deux ondes transversales polarisées perpendiculairement entre elles de vitesse de phase , de nombre d’onde .
Le phonon associé à une onde acoustique obéit aux mêmes relations de De Bröglie que le photon : et .
Dans ce modèle, on admet que l’énergie varie continûment jusqu’à la valeur maximale , et on néglige la dispersion dans le phénomène de propagation (les vitesses de phase sont indépendantes de la fréquence).
6)3)1) Exprimer le nombre d’états possibles en considérant que chaque mode longitudinal ou transversal est indépendant.
On posera : .
6)3)2) A partir du nombre total d’états possibles, exprimer ainsi que la température de Debye .
6)3)3) Donner les expressions théoriques de . On envisagera les cas et . Représenter . Comparer les résultats à ceux du modèle d’Einstein.

| Réponse 61a | Réponse 61b | Réponse 61c | Réponse 62 | Réponse 631 | Réponse 632 | Réponse 633 |

7) Statistique de Fermi-Dirac : étude des propriétés des électrons

Les électrons d’un plasma et les électrons fortement énergétiques d’un réseau solide (capables de se déplacer dans tout le solide) sont le principal exemple de fermions c’est à dire de particules obéissant à la statistique de Fermi-Dirac.

ou (pour un continuum d’énergie).

La quantité est appelée énergie de Fermi. On montre que l’énergie de Fermi dépend faiblement de la température. Elle sera supposée constante sauf précision contraire.

7)1) Occupation des niveaux d’énergie

La fonction représente la probabilité d’occupation d'un niveau d'énergie .
Etudier cette fonction pour différentes valeurs de à partir de (on pourra poser ).
Donner une expression linéarisée de .
Conclusions sur la façon de remplir les différents niveaux d'énergie (on distinguera le cas des isolants, des conducteurs et des semi-conducteurs).

| Réponse 71 |

7)2) Gaz d’électrons

On fait l’hypothèse que les électrons " libres " du réseau se comportent comme les particules d’un gaz en mouvement de translation. On rappelle que le spin d’un électron, à un même niveau d’énergie, peut prendre deux valeurs.
7)2)a) Estimation de l’énergie de Fermi
- Calculer l’énergie de Fermi à , puis à une température en prenant l’expression linéarisée de .
- A.N. pour le cuivre :  ; ; Nombre d’électrons " libres " par atome : 1 ; masse de l’électron :

- A partir du calcul de , montrer que la statistique de Maxwell-Boltzmann ne saurait être appliquée aux électrons " libres " du cuivre solide.

7)2)b) Calculer l’énergie interne et la capacité calorifique à volume constant du " gaz d’électrons " [on limitera le calcul à l’expression linéarisée de ]

| Réponse 72a | Réponse 72b |

7)3) Etude des propriétés des semi-conducteurs

Calculer le rapport du nombre d’électrons dans la deuxième bande conduction sur le nombre d’électrons dans la première.
Calculer le rapport du nombre de trous dans la deuxième bande de valence sur le nombre de trous dans la première.
A.N.  ;
En déduire que, pour les semi-conducteurs, les calculs peuvent être fait, en première approximation, avec une seule bande de conduction d’énergie et avec une seule bande de valence d’énergie .

7)3)b) Fonctionnement d’un semi-conducteur non dopé
Une bonne approximation du nombre d’états possibles est l’approximation parabolique au voisinage de et de .

et

- Montrer que la concentration (nombre par unité de volume) en électrons dans la bande de conduction est donnée par : où , celle en trous est donnée par : où

- Pour le fonctionnement intrinsèque d'un semi-conducteur, la neutralité électrique impose .

En déduire . . Montrer que varie peu avec la température.

AN : Pour le Silicium, ; , ;  ;

7)3)c) Fonctionnement d’un semi-conducteur dopé

7)3)c)a) Dans une situation plus générale, on introduit des impuretés (semi-conducteur dopé) c’est à dire des atomes donneurs (atomes pentavalents P, As ou Sb) et accepteurs (atomes trivalents B, Al, Ga ou In) en concentrations respectives .
A une température quelconque, seule une fraction de ces atomes est ionisée, soient les concentrations des ions ainsi formés

• Ecrire l’équation de neutralité électrique et montrer que .
• Dans le cas où tous les atomes d’impuretés sont ionisés, calculer dans le cas d’un dopage de type n ou d’un dosage de type p (pour les dosages usuels, le nombre d’impuretés est de l’ordre de par m³ ; on montrer que ou que

7)3)c)b) Un semi-conducteur est dopé à l'aide d'atomes donneurs en concentration .
A la température , supposée constante et de l'ordre de l'ambiante, on a .
La densité d'atomes donneurs non ionisés vaut : ( est l'énergie du niveau donneur ; ).

- Déterminer l'expression de la concentration d'atomes donneurs ionisés

- Calculer et . Commenter.

| Réponse 73a | Réponse 73b | Réponse 73ca | Réponse 73cb |