Relativité

Exercices de physique quantique

1) Paquet d’ondes
On considère une particule libre de masse m, d’énergie E dont l’état peut être décrit par la fonction

1)1) Soit une fonction d’onde
1)1)a) Donner la relation qui existe entre pour que soit solution de l’équation de Schrödinger. En déduire la valeur de l’énergie E en fonction de .
1)1)b) Calculer la densité de probabilité de la particule. L’état du système peut-il être décrit par ainsi définie ?

1)2) On propose la fonction définie par : où est une fonction du vecteur d’onde .
1)2)a) Justifier pourquoi est solution de l’équation de Schrödinger.
représente-t-elle un état physique ?
1)2)b) A , l’état du système est représenté par .
Pour quelle valeur de C, est la transformée de Fourier de ?
Quelle condition doit satisfaire pour que soit normalisable ?

2) Paquet d’ondes – Relation d’incertitude

2)1) Donner la forme générale de la fonction d’onde d’une particule

2)2) La fonction d’onde, à l’instant , est donnée par :
où est une constante positive et C une constante destinée à normaliser la fonction .
2)2)a) Quelle est la transformée de Fourier de . Interpréter et.
2)2)b) Calculer et représenter graphiquement et .
2)2)c) Supposons que et ne prennent des valeurs appréciables que dans les intervalles respectifs et .
Que peut-on dire du produit ? Interpréter , et .
2)2)d) Quelle est la probabilité pour qu’une mesure de l’impulsion effectuée à l’instant , donne un résultat compris entre ? Etudier la fonction .
2)2)e) Donner la fonction de la particule à l’instant t. Etudier la fonction probabilité . Interpréter.

3) Indice d’un cristal en optique électronique – Diffraction d’un électron par un réseau cristallin – Loi de Bragg et écart à la loi de Bragg
Dans un monocristal, on peut grouper les atomes par familles de plans, appelés plans réticulaires, parallèles et équidistants.
Un faisceau parallèle monochromatique d’électrons d’énergie cinétique pénètre dans le monocristal, l’angle d’incidence avec la normale aux plans réticulaires est noté .

On caractérise l’interaction d’un électron avec les ions du cristal par l’énergie potentielle , V étant le potentiel électrostatique créé par les ions.
L’indice du cristal est défini par

3)1) Quelle est l’expression de n en fonction de ? Montrer que (réfraction négligeable) si

3)2) Montrer que l’accord de phase entre les ondes (1) et (2) [direction privilégiée où le flux d’électrons est maximum] se traduit par la relation :
où k est un entier et l la longueur d’onde associée à l’électron incident.

3)3) Montrer que, si on néglige la réfraction du rayon (2), on trouve la relation de Bragg

3)4) A.N. ; ; ;

4) Réflexion de particules sur un mur de potentiel

En , la particule rencontre une barrière de potentiel d’énergie . Dans le milieu (1), la particule possède une énergie cinétique , l’énergie potentielle sera prise de référence dans ce milieu ().

4)1) Etude des cas physiques possibles dans le cadre de la mécanique classique.

4)2) Etude des cas physiques possibles dans le cadre de la mécanique quantique.

| Réponse 41 | Réponse 42 |

5) Traversée d’une barrière de potentiel. Effet tunnel

Dans les milieux (1) et (3), la particule possède une énergie cinétique , l’énergie potentielle étant prise de référence dans ces milieux (). Dans le milieu (2), l’énergie potentielle est égale à .
Le seul cas intéressant correspond à , cas où, dans le cadre de la mécanique classique, une particule située dans le milieu (1) ne peut traverser la barrière de potentiel et atteindre le milieu (3)

5)1) Il s’agit de calculer, au sens quantique, la possibilité de traversée de la barrière de potentiel (effet tunnel) c’est à dire le facteur de transmission T, rapport du flux de particules atteignant la partie (3) sur le flux de particules incidentes dans la partie (1).

Trouver une formule approchée si .

| Réponse 51 |

2) Radioactivité a - Loi de Gamow, Condon et Gurney

L’énergie potentielle d’une particule a dans un noyau radioactif a la forme représentée ci-contre. Pour , () et pour , , K étant la constante de l’interaction.

2)a) Exprimer la constante K sachant que le nombre de protons du noyau est Z. Dans la suite, on considérera le cas concret de l’Uranium 238 où .
2)b) Pour une particule a existant à l’intérieur du noyau avec

une énergie E comprise entre , établir la formule de Gamow, Condon et Gurney :
où T est le facteur de transmission pour atteindre défini par .
On admettra pour établir cette relation que localement on peut appliquer la formule approchée établie en 1) et que est très inférieur à 1.
A.N. Calculer T si .

| Réponse 52a | Réponse 52b |

3) Emission électronique par effet tunnel ou émission froide

On applique un champ électrique uniforme à l’extérieur du conducteur dans la direction normale à sa surface.
3)a) Pour , calculer . Quel est le signe de A pour que ait la forme ci-contre et que l’on puisse envisager une transmission hors du conducteur par effet tunnel pour des électrons d’énergie .
3)b) Calculer le coefficient de transmission T si localement on peut appliquer la formule approchée établie en 1)
A.N. ;

| Réponse 53a | Réponse 53b |

6) Etude d’un puits de potentiel carré

Une particule non relativiste se déplace suivant un axe Ox. L’énergie potentielle varie suivant cette direction conformément à la figure ci-contre (puits de potentiel de profondeur et de largeur L).

6)1) Etude des cas physiques possibles dans le cadre de la mécanique classique.

6)2) Etude des cas physiques possibles dans le cadre de la mécanique quantique.

| Réponse 61 | Réponse 62 |

7) Etude d’un puits de potentiel infini

Puits de potentiel unidimensionnel

On considère le potentiel défini par la fonction :

7)1) Pour une particule non relativiste, montrer que les énergies possibles sont quantifiées ; Quel est le degré de dégénérescence de ? Dans quelles conditions, peut-on parler de niveaux d’énergie formant un spectre quasi continu (quasi continuum de l’énergie) ?

Calculer les fonctions d’onde possibles correspondantes ; normaliser ces fonctions.

7)2) L’état décrivant la particule à l’instant est :
7)2)a) Quelle est la probabilité lorsqu’on mesure l’énergie de la particule de trouver une valeur inférieure à .
7)2)b) Déterminer la matrice représentative de l’opérateur position x dans la base
7)2)c) Calculer,
ainsi que
En déduire . Conclusion.

7)3) Puits de potentiel tridimensionnel

On considère le potentiel défini par la fonction :

Pour une particule non relativiste, montrer que les énergies possibles sont quantifiées ; Quel est le degré de dégénérescence entre les niveaux d’énergie dans l’approximation où le spectre d’énergie est quasi continu ?

Calculer les fonctions d’onde possibles correspondantes ; normaliser ces fonctions.

8) Potentiel périodique : modèle de Krönig-Penney

Le modèle unidimensionnel simplifié ci-contre représente celui d’un électron à l’intérieur d’un cristal.

8)1) Pour déterminer les fonctions d’onde possible, on cherche une solution (fonction de Bloch) sous la forme : , est la fonction d’onde associée à une maille élémentaire de dimension a, traduit la périodicité du modèle.

Montrer qu’on obtient des fonctions d’onde possibles si :

- pour , avec et

8)2) On se propose d’étudier les équations (1) ou (2).
8)2)a) Montrer que les valeurs de K peuvent être limitées à l’intervalle . Cette représentation est connue sous le nom de zone réduite de Brillouin.
8)2)b) On limite l’étude au cas où et avec
Montrer que l’équation (2) devient :
avec
8)2)c) A quels cas physiques correspondent les valeurs et
Représenter la fonction pour un valeur quelconque de P ainsi que pour ses valeurs extrêmes.
Conclusion.

9) Oscillateur harmonique à une dimension
L’énergie potentielle d’une particule de masse m est donnée par où x représente, pour la particule, l’écart à sa position d’équilibre.

1) Ecrire l’équation de Schrödinger pour des états stationnaires

2)
2)a) Vérifier que la fonction correspond à un état stationnaire possible. On déterminera a en fonction de ; en déduire l’énergie correspondant à cet état.
2)b) Calculer la constante A pour que la fonction soit normée (.
2)c) Comparer résultat quantique et résultat classique.

3) On définit les opérateurs :

3)a) Montrer que :

et où H est l’hamiltonien.

3)b) On considère la fonction .
Calculer en fonction de
En déduire en fonction de
3)c) Montrer que est un nouvel état stationnaire possible et exprimer son énergie en fonction de .
3)d) En déduire l’expression générale de l’énergie des états stationnaires possibles.

10) Problème à deux corps

On considère deux particules de masses et en interaction situées aux points et définis par
et .

L’énergie potentielle d’interaction entre les particules est notée .

L’équation de Schrödinger, pour les deux particules dans le référentiel galiléen d’origine O s’écrit :

Ecrire l’équation de Schrödinger à partir des coordonnées () et () définies par
Conclure.

| Réponse |

11) Etude de l’atome d’hydrogène

Il s’agit d’étudier la fonction d’onde pour une particule de masse réduite soumise à une interaction proton-électron .

ð d’une part, le barycentre se confond avec la position du proton d’autre part.

L’étude est menée en coordonnées sphériques.

; ;

11)1)a) Ecrire les composantes du moment cinétique ainsi que les opérateurs associés en coordonnées cartésiennes et en coordonnées sphériques.
11)1)b) Ecrire, en coordonnées sphériques, l’opérateur associé à . Réécrire l’équation de Schrödinger en introduisant cet opérateur.