Relativité

Exercices de relativité restreinte

Cinématique relativiste

1) Effet Doppler-Fizeau

Une source lumineuse émet une onde de fréquence f. Calculer la fréquence f’ de l’onde pour un observateur animé d’une vitesse v par rapport à la source.

2) Expérience d’Ives (1938)

On accélère des protons sous une tension de 30000 volts . Quelle est leur vitesse.
En arrivant dans l’air, ces protons accaparent un électron et deviennent des atomes d’Hydrogène excités qui émettent la raie . Montrer que la lumière émise vers l’avant ou vers l’arrière n’a pas la même fréquence et que la moyenne des fréquences n’est pas égale à la fréquence émise par les atomes au repos. Peut-on mettre en évidence cet écart expérimentalement ?

3) Battements lumineux

Une onde lumineuse de fréquence f se réfléchit sur un miroir normal à la direction de propagation. Ce miroir a un mouvement de translation de vitesse v.

Quelle est la fréquence f’ de la lumière réfléchie ?
On se propose de comparer f et f’ en faisant battre les deux ondes. Montrer que la fréquence des battements est donnée par : .
Est-il possible de mettre en évidence expérimentalement le terme en ?. On prendra pour raisonner et .

4) Expérience de Fizeau

Soit l la longueur de chaque portion de tube traversée. Ce tube coudé, fermé par des fenêtres transparentes contient un liquide d’indice n qu’une pompe permet d’animer d’une vitesse par rapport au laboratoire.
Calculer la différence de temps de parcours de la lumière pour des trajets correspondants aux tubes supérieur et inférieur :
4)1) dans le cas de la cinématique classique,
4)2) dans le cas de la cinématique relativiste.

4)3) Comparer ces différences de temps de parcours.
4)4) A.N. . Conclusion.

Mouvement de particules chargées

5) Accélération d’une particule par une différence de potentiel U

Une charge q, de masse m, initialement au repos dans le référentiel du laboratoire est accélérée par une différence de potentiel U.
Calculer la vitesse v en fonction de U.
Représenter en fonction de U. A.N. , la particule est un électron.

| Réponse 5 |

6) Mouvement dans un champ électrique uniforme et constant

On se limite au cas d’une particule initialement au repos à l’origine des coordonnées.
Calculer l’abscisse de la particule.

| Réponse 6 |

7) Mouvement dans un champ magnétique uniforme et constant
On se limite au cas où la vitesse initiale est perpendiculaire à .
Calculer la pulsation et l’énergie cinétique de la particule.
Comparer à la solution de la Mécanique classique

| Réponse 7 |

8) Mouvement relativiste dans un champ de forces en

Une particule de masse m est soumise à une force

8)1) Montrer en utilisant le moment cinétique de l’électron que le mouvement de celui-ci est plan.
En déduire, en utilisant dans ce plan les coordonnées polaires habituelles que :
où v est l’intensité de vitesse de l’électron.

8)2) Soit E l’énergie totale de la particule et son énergie potentielle
Après différentiation de l’expression de conservation de l’énergie et élimination du temps à partir de l’expression obtenue en 8)1), montrer que l’on obtient l’équation différentielle :
ð

En déduire qu’une solution du type convient.

Retrouver les équations de la Mécanique classique et comparer les résultats en particulier dans le cas où est peu inférieur à 1 et .

| Réponse 81 | Réponse 82 |

Chocs relativistes

9) Application à la collision de particules

Pendant la durée très brève d'un choc, le système sera considéré comme isolé. Il y aura donc conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement au cours du choc.
Le choc de particules traduit une interaction très intense entre ces particules se produisant pendant un laps de temps très bref. La localisation d'un choc est quasi-ponctuelle (dans l'espace et le temps) de sorte qu'un choc se traduit par une discontinuité des vitesses.
Nous engloberons la désintégration des particules dans les phénomènes de choc, soit qu'elle survienne à l'occasion d'un choc, soit qu'elle survienne à partir d'une particule isolée.
Un choc est dit élastique si le nombre et la nature des particules sont conservés au cours du choc, inélastique dans le cas contraire. L'hypothèse d'un choc élastique suppose que les différentes particules se trouvent dans un même état énergétique interne avant et après le choc. Un atome qui absorbe un photon n'est plus, après l'absorption, dans le même état énergétique qu'avant : un tel choc est inélastique (le photon a disparu).

9)1) Collision élastique d'un photon sur un électron (Effet Compton)

Un photon de longueur d'onde entre en collision élastique avec un électron libre de masse m initialement au repos dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Le photon est diffusé sous un angle avec sa direction initiale et sa longueur d'onde devient tandis que l'électron se met en mouvement dans une direction faisant un angle avec la direction du photon incident.

9)1)1) Quelles sont les grandeurs conservées au cours de la collision ?

Définir les quadrivecteurs impulsion-énergie du photon et de l'électron avant et après la collision. Quelle relation lie ces quadrivecteurs ?

Etablir la relation qui lie, et . Quelles sont les limites de ? Quel type de photon est-il nécessaire d'employer pour observer l'effet Compton ?

Calculer numériquement .

Exprimer le rapport de l'énergie cinétique de l'électron diffusé à l'énergie cinétique du photon incident en fonction de . Pour quel type de photons ce rapport devient-il notable ?

9)1)2) Montrer qu'il n'est pas possible que le photon soit absorbé par l'électron, transférant ainsi son énergie à l'électron sous forme d'énergie cinétique.

9)1)3) Dans une expérience d'effet Compton, on fait interagir le photon avec un atome possédant des électrons périphériques à faible énergie de liaison (pour pouvoir leur appliquer le calcul précédent). Si l'on vérifie bien, parmi les électrons diffusés, la relation prévue, on observe néanmoins des photons diffusés dont la longueur d'onde n'a pas varié.
Donner une explication à ce phénomène.

| Réponse 911 | Réponse 912 | Réponse 913 |

9)2) Collision inélastique

9)2)1) Désintégration d'une particule au repos

Supposons qu'une particule de masse initialement au repos dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen se désintègre en donnant naissance à deux particules de masses respectives . Calculer les énergies des particules.

9)2)2) Désintégration en vol d'une particule

Soit une particule de masse , possédant dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen une quantité de mouvement se désintégrant "en vol" pour donner naissance à deux particules .
Déterminer l'équation donnant l'énergie de la particule de masse en fonction de et des masses des particules.
Les questions 9)2)1) et 9)2)2) sont-elles indépendantes ?

| Réponse 921 | Réponse 922 |

9)2)3) Seuil d'énergie nucléaire

9)2)3)1) On envisage que la collision photon - proton (au repos dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen) puisse conduire à des particules nouvelles.

photon + proton à proton + méson On appelle et les masses respectives du proton et du méson.

Montrer que l'énergie du système photon - proton doit être au moins égale à une certaine valeur pour que la réaction puisse avoir lieu.

Calculer cette énergie minimale dans le référentiel barycentrique du système photon - proton

Calculer la vitesse du référentiel barycentrique dans le référentiel du laboratoire.

Calculer, dans le référentiel du laboratoire; l'énergie minimale du photon incident à partir de laquelle la réaction peut avoir lieu.

9)2)3)2) On étudie la collision de deux particules (A) et (B) de masses , (B) étant initialement au repos dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. De cette collision, résulte la formation d'un certain nombre de particules de masses

Pour quelle valeur minimale de l'énergie cinétique de la particule incidente (A) la réaction est-elle possible ? On exprimera en fonction de .

A partir des deux mêmes particules (A) et (B), on peut avoir différentes réactions se produisant pour des seuils différents. Déterminer pour les deux réactions suivantes :
p + p à p + n +
p + p à (p + )+ p + p
où p est un proton, n un neutron,un méson et un anti-proton.

Données : ; ; ; ; ; ; ;

| Réponse 9231 | Réponse 9232 |