Interférences en Optique
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1. Interférences par division de front d'ondes
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Les illustrations et animations de Yves
Cortial et Jacques
Charrier
Zone de cohérence et localisation des interférences Optique Physique En Optique, la qualité du tracé des rayons lumineux est essentielle à la compréhension et l'auteur vous conseille vivement le remarquable travail d'Yves Cortial et Jacques Charrier |
Plan
1. Interférences par division de front d'ondes
1.1. Interférences à deux ondes (dispositif
des fentes d'Young)
1.2. Interférences à plusieurs ondes
(réseaux)
2. Interférences par division d'amplitude
2.1. Interférences à deux ondes
2.2. Interférences à ondes multiples
(lame à faces parallèles à coefficient de réflexion
important)
Dans le chapitre " Généralités sur les phénomènes
de propagation ", nous avons étudié les conditions d’existence
d’un phénomène d’interférence, en particulier les
notions de cohérence temporelle et de cohérence spatiale.
Avec les lasers, sources de lumière extrêmement monochromatiques,
des progrès saisissants et extraordinaires on été
faits en interférométrie optique.
Nous avions noté deux possibilités de réalisation
d’interférences, par division du front d’ondes ou par division d’amplitudes
( à incident unique).
1. Interférences par division de front d’ondes
1.1. Interférences à deux ondes (dispositif des fentes d’Young)
Les fentes rectangulaires infiniment longues ont pour largeur 2a et
leurs centres 
et 
sont
distantes de 2h. La source ponctuelle S est dans le plan médiateur
des deux fentes à distance d.
Dans le dispositif de droite, l’observation est faite sur un écran
à distance D des fentes, dans celui de gauche l’observation
est faite dans le plan focal image d’une lentille de focale f .
Ces distances sont telles que d, D, f >>2h.
Sauf indication contraire, le milieu où se propage la lumière
est l’air (
).
Il existe un phénomène de diffraction par les fentes que nous ne considérons pas à ce stade et sur lequel nous reviendrons lors de l’étude de l’interférence de N ondes (réseaux). Ceci revient à dire que la largeur des fentes est très faible (la largeur angulaire de la diffraction est importante) ou " qu’il ne passe qu’une seule onde par chacune des fentes "
Dans le dispositif de gauche, la différence de marche entre deux
rayons distants de 2h au niveau des fentes est :
Dans le dispositif de droite,
, les deux formules
sont identiques en substituant D et f.
Pour avoir l’état vibratoire en P, il convient de faire
la sommation des deux états vibratoires.
soit 
L’ intensité lumineuse passe par une succession périodique de
maxima 
et
de minima (où l’intensité est nulle) appelés franges d’interférence
et obtenus respectivement pour 
et 
.
On appelle interfrange la distance entre deux maxima ou minima successifs : 
Les franges sont non localisées puisque, visualisables dans
tout l’espace au delà des fentes.
D’autres systèmes tels que les miroirs de Fresnel, la bilentille de Billet ou le biprisme de Fresnel permettent la division en deux ondes.
Dans ces systèmes les franges ne sont pas localisées,
on peut les voir dans des larges domaines de l'espace.
Inversement dans des dispositifs tels que les lames à faces parallèles ou le coin d'air, les franges ne seront obervables que dans des régions particulières (à l'infini pour les lames à faces parallèles, sur "le coin d'air"). On dit que les franges sont localisées.
Cohérence
temporelle
Le problème de la cohérence temporelle a déjà été
étudié, dans le chapitre " Généralités sur
les phénomènes de propagation ", à partir de la formule
précédente pour une source émettant continûment entre
,
on obtient un contraste égal à 
qui devient inférieur à 0,22 si 
.
On considère alors que le contraste est trop faible pour voir le phénomène
d'interférence.
représente
la différence de temps de marche entre les deux rayons et la condition
pour qu'il y ait interférence peut être exprimée 
où 
est appelé temps de cohérence.
Cohérence
spatiale
Nous reprenons sur cet exemple la notion de cohérence spatiale.
Une source élargie doit être considérée
comme une succession continue de sources ponctuelles indépendantes
entre elles puisque les groupes d’atomes qui émettent sont différents.
On remarque que, pour une source élargie suivant la direction
z,
la différence de marche au point P est la même quelque
soit la source ponctuelle. Chaque source va produire des figures d’interférences
identiques qui, par sommation, vont se renforcer.
Le cas intéressant est celui d’une source de largeur 2L
perpendiculairement à l’axe des z.
Nous repérons une source ponctuelle par sa position x. En considérant 
, on introduit une différence de marche supplémentaire égale
à 
si
bien que qu’une source ponctuelle de " largeur dx " produit une intensité 
Après intégration, 
Le contraste 
diminue lorsque L augmente. On considère que les franges ne sont
plus visibles si 
soit 
1.2. Interférences à plusieurs ondes (réseaux)
Un réseau plan est constitué de N fentes infiniment longues
de largeur 2a, la distance entre les centres de deux fentes successives
est 2h.
Une source ponctuelle placée au foyer objet d’une lentille éclaire
le réseau en lumière parallèle sous une incidence 
.
Après franchissement des fentes, on observe les interférences
à l’infini sous une incidence i. La figure d’interférence
est ramenée dans le plan focal image d’une lentille de focale f.
Pour considérer le phénomène de diffraction, nous
avons dessiné une fente, un rayon lumineux passant par son centre
et un repéré par son position x par rapport au centre.
La différence de marche entre deux rayons séparés de 2h
est égal à 
,
celle entre deux rayons distants de x est égal à 
où 
.
Les fentes sont numérotées 1, 2, … , p , … , N
et le rayon passant par le centre de la première fente est pris
comme origine des phases.
La différence de marche entre ce rayon et celui passant par l’abscisse
x de la fente p est égal à 
.
L’état vibratoire de ce rayon est donc proportionnel à
Pour trouver l’état vibratoire total , il convient de faire
la sommation à toutes les fentes et à toutes les ondes traversant
une fente.
Par suite, 
où 
Interférence Diffraction
L’intensité (ou l’état vibratoire) apparaît comme le produit
de la " fonction interférence " de l’ensemble des fentes par la " fonction
diffraction " d’une fente : ce résultat est général.
Le paramètre u est commun aux deux fonctions dans le
cas des réseaux plans, il est différent dans le cas des
réseaux "échelettes". Cette différence
est importante dans le calcul du pouvoir de résolution des réseaux.
Dans le cas général, 
avec u et u’ inversement proportionnels à 
Le lecteur pourra montrer que dans le cas de deux fentes (
)
et de la figure de droite 
et 
1.2.1. Etude mathématique de l’intensité
Etude de la fonction interférence 
Le numérateur s’annule pour 
où 
Le dénominateur s’annule pour 
où 
Lorsque le dénominateur s’annule, le numérateur aussi (
),
la fonction interférence a une valeur maximale égale à
1 qui correspond aux maxima principaux ou pics d’interférence.
La valeur de K est l’ordre du maximum principal.
Entre deux maxima principaux, il y a 
valeurs
de m qui annulent le numérateur sans que le dénominateur
soit nul.
Entre ces valeurs nulles, le numérateur atteint la valeur maximale
1 sans que le dénominateur s’annule : ce sont les maxima secondaires
(leur intensité est beaucoup plus faible que l’intensité
des maxima principaux si N est grand).
Etude de la fonction diffraction 
Elle est maximale pour 
et s’annule pour 
où 
Entre deux valeurs nulles, il existe des maxima de faibles valeurs, respectivement
égaux en s’éloignant de 
à 
, 
,
… si bien que l’on considère que la fonction diffraction a des valeurs
non nulles pour 
Représentation
La figure est centrée sur 
,
la courbe de diffraction modulant la figure d’interférence. Seule est
exploitable en u’ une largeur égale à 1/a. Le nombre
de maxima principaux situés dans cet intervalle est inférieur
à 
.
Si 
, il existe
un maximum principal (
)
de valeur égale à
au centre.
Si 
le maximum
principal de plus forte valeur ne coïncide pas avec le centre, K
étant à priori différent de 0.
La largeur en u d’un pic d’interférence est égal à 
.
1.2.2. Pouvoir de résolution d’un réseau
Nous considérons une source émettant deux longueurs d’onde voisines
notées 
et deux maxima respectifs de même ordre K.
; 
ð
Dans le cadre de l’approximation de Gauss, cette relation s’écrit 
Les deux pics seront distincts dans le réseau si leur distance angulaire
est supérieure à la demi-largeur angulaire d’un pic qui est égal
à 
(cette condition revient à dire que le maximum d’un pic est au moins
au delà de la valeur nulle de l’autre).
Ainsi, 
ð
qui est appelé pouvoir de résolution du réseau.
Plus ce nombre est élevé, plus le réseau est capable
de séparer des lumières proches en longueur d’onde (ou en
fréquence).
Un réseau est d’autant performant qu’il a un nombre de " fentes " élevé
et que l’on peut le faire travailler avec un nombre 
élevé.
Pour cette dernière condition, il convient que la largeur de diffraction
1/a soit la plus large possible et de concevoir (ce qui n’est pas le
cas du réseau présenté) des réseaux tels que 
.
Pour réaliser des réseaux de ce type, on produit des
variations d’épaisseur ou d’indice (réseau à marches,
réseau blazé, réseau acousto-optique).
Pour un réseau du type présenté, de largeur 2,5 cm
ayant 5000 traits (fentes) par cm et pour le deuxième ordre, on
obtient 
pour 
2. Interférences par division d’amplitude
2.1. Interférences à deux ondes
2.1.1. Lame à faces parallèles à coefficients
de réflexion faibles
 |
La lame à faces parallèles d’épaisseur
e
a pour indice n.
Un rayon incident noté 0 se réfléchit et se transmet sur la face d’entrée de la lame. Sur la face de sortie, les rayons sont partiellement réfléchis et transmis. Les rayons impairs interfèrent à l’infini coté face d’entrée, les rayons transmis pairs interfèrent à l’infini coté face de sortie. |
Sur la face d’entrée, les coefficients de réflexion et de transmission
en intensité sont respectivement R et T, sur la face de
sortie ces coefficient sont égaux à R’ et T’. La
lame est transparente c’est à dire que R et R’ sont faibles, 
et 
sont
voisins de 1.
; 
; 
; …
; 
; …
On constate que 
et 
sont
de valeurs semblables alors que 
beaucoup plus faible n’interviendra pas dans le phénomène d’interférence.
est beaucoup
plus faible que 
,
le phénomène d’interférence en transmission sera négligeable.
Les rayons qui interfèrent sont parallèles, la figure
d’interférence est localisée à l’infini, c’est
à dire dans le plan focal image de la lentille.
L’intensité en P est égal à : 
où 
est la différence de marche entre les rayons 1 et 3.
(ce dernier
terme est introduit par la réflexion sur la face de sortie, réflexion
d’un milieu plus réfringent sur un milieu moins réfringent ; la
démontration se fait à partir des équations de Maxwell
à la séparation de deux milieux).
On remarquera aussi que des incidents parallèles au rayon 0
produisent les mêmes interférences, la source peut être
étendue.
2.1.2. Coin
d’air
 |
Le coin d’air est constitué de deux lames
à faces parallèles faisant un angle 
entre elles. Nous négligerons leur épaisseur. La figure de droite nous montre le trajet des rayons dans les lames et l’existence d’une réflexion d’un milieu plus réfringent sur un milieu moins réfringent qui introduit unedifférence de marche supplémentaire  . |
Les coefficients de réflexion sont faibles et l’interférence
se produit au point P(x,y,z) entre les rayons 1 et 2.
Les différents vecteurs d’onde s’écrivent : 
; 
; 
où 
; 
Les états vibratoires des rayons 1 et 2 sont égaux à : 
et 
L’intensité résultante est 
.
On montre que :
où le
vecteur unitaire 
Les interférences se produisent dans le plan (
,
les maxima correspondant à 
,
les minima à 
.
L’ interfrange 
est la distance entre deux maxima ou deux minima successifs : 
qui
traduite sur l’axe x du coin d’air donne 
Généralement
reste petit et, souvent, le coin d’air est étudié sous incidence
normale (
).
Sous ces conditions, les interférences se produisent sur " le coin d’air
", 
et 
.
La différence de marche qui, outre le terme ,
est la différence des longueurs de trajet entre les deux rayons à
l’intérieur du coin d’air, est facile à calculer directement : 
.
Pour l’appareil dit " des
anneaux de Newton ", on fait reposer la théorie sur ce résultat.
2.2. Interférences à ondes multiples
(lame à faces parallèles à coefficient de réflexion
important)
 |
Pour avoir un coefficient de réflexion
voisin de 1 sur chacune des faces, on dépose une couche de métal
évaporé.
Le système va fonctionner en transmission. La différence de phase entre deux rayons successifs est égal à :  où 
. Soit R le coefficient de réflexion énergétique que l’on suppose être le même sur chacune des faces. |
ð
où 
et 
est appelé
la fonction d’Airy.
Cette fonction est maximale (pics d’interférence) pour 
.
Pour trouver la largeur des pics, nous posons 
et cherchons les valeurs pour lesquelles la fonction d’Airy est la moitié
de sa valeur maximale.
On obtient 
Les pics seront étroits (
)
si M (c’est à dire R) est élevé.
Ainsi 
et
la largeur des pics est 
.
Cet appareil est très largement utilisé comme spectromètre
à haute résolution ainsi que comme cavité optique
résonnante dans les lasers.
Dans le cas du spectromètre, il s’agit d’une lame d’air ð
Cet appareil sert à l’analyse de longueurs (étalon) ou
à l’analyse des distributions spectrales des sources lumineuses.
ð
(
) et 
, 
,
on déduit le pouvoir de résolution 
où F est la finesse.
, on
obtient en incidence normale 
où
m est entier.
En incidence normale 
.
Les radiations obéissant à la relation 
Afin de n’avoir dans le domaine du visible que la seule radiation 
,
on prend généralement m égal à 1.
Autres interféromètres
L’interféromètre
de Michelson est le plus célèbre à cause de l’expérience
de Michelson et Morsley (1887) dont l’interprétation des résultats
sont à l’origine de la Relativité.
Les salles de travaux pratiques en sont souvent dotées parce qu’il permet
l’étude des coins d’air et des lames d’air à faces parallèles.
Il convient aussi de citer l’interféromètre de Mach-Zehnder et
l’interféromètre de Sagnac.
2.3. Franges d'égale épaisseur (franges de Fizeau) et franges d'égale inclinaison (franges d'Haidinger)
Dans le cas des lames à faces parallèles où l'épaisseur
est fixée, la différence de marche (donc l'intensité lumineuse)
dépend de l'inclinaison des rayons. On parle de franges d'égale
inclinaison dite d'Haidinger.
Au contraire, dans des dispositifs tels que le coin d'air ou les anneaux de
Newton, la différence de marche (donc l'intensité lumineuse) dépend
de l'épaisseur (l'inclinaison des rayons est fixée). On a affaire
à des franges d'égale épaisseur dite de Fizeau.