Optique géométrique et Diffraction
 

Plan 1. Approximation "Optique géométrique" 1.1. Le théorème de Malus 1.2. Equation différentielle de la trajectoire d'un rayon lumineux 1.3. Principe de Fermat 1.4. Le principe d'Huygens 1.5. La formation des images 1.6. Systèmes centrés 1.7. Aberrations 2. Phénomène de Diffraction 2.1. Mises en évidence expérimentales 2.2. Le principe d'Huygens - Fresnel 2.3. Le théorème de Babinet 2.4. Diffraction de Fresnel (à distance finie). Diffraction de Fraunhofer (à l'infini) 2.5. Diffraction à l'infini par une surface plane 2.6. Pouvoir séparateur des instruments optiques

Les illustrations et animations de Yves Cortial et Jacques Charrier Optique géométrique Diffraction                        CABRI En Optique, la qualité du tracé des rayons lumineux est essentielle à la compréhension et l'auteur vous conseille vivement le remarquable travail d'Yves Cortial e Jacques Charrier. Nous conseillons pareillement en Optique géométrique le travail d'Eric Tanguy qui regroupe les bases théoriques, des exercices corrigés et des illustrations

1. Approximation " Optique géométrique "

1.1. Le théorème de Malus

On considère un milieu diélectrique linéaire, isotrope (qui peut être non homogène) caractérisé en chaque point par sa permittivité électrique.
On se propose d’étudier la propagation, dans ce milieu, d’ondes électromagnétiques de longueurs d’onde (lumière).
On cherche pour le champ électromagnétique des solutions sous la forme :

où  est le module du vecteur d’onde dans le vide et  la phase.
, et sont des fonctions à déterminer dans le cas où (en fait où  reste très inférieure à toute dimension spatiale).
Le calcul, que nous ne reproduisons pas, montre que :
-  où  est l'indice de réfraction,  et  étant respectivement les intensités de vitesses de l’onde dans le vide et dans le milieu au point considéré et  le vecteur unitaire de la direction de propagation de l'onde au point considéré,
-  forment un triède orthogonal direct.
Les surfaces d’onde sont déterminées par , si bien que la direction de la propagation se confond avec la direction de .
Ainsi, localement, dans le cas où , l’onde a une structure d’onde plane.

1.2. Equation différentielle de la trajectoire d’un rayon lumineux
En différentiant l’équation , on montre que l’équation de la trajectoire du rayon lumineux obéit à l’équation :  où  représente l’abscisse curviligne suivant la trajectoire..

1.2.1. Milieu homogène
Pour un milieu d’indice n uniforme, on obtient . Le vecteur unitaire reste identique à lui-même quelque soit la valeur de l’abscisse curviligne : Les trajectoires suivies par la lumière dans un milieu homogène sont des droites.

1.2.2. Exemple de milieu non homogène

On considère la trajectoire d’un rayon lumineux dans le plan Oxy, l’indice n étant une fonction de y.
Dans ce cas,  et .

En projetant l’équation différentielle de la trajectoire, on obtient :
ð et 

Par suite , soit  qui établit explicitement l’équation différentielle de la trajectoire du rayon lumineux.

1.3. Le principe de Fermat

Entre deux surfaces d’onde voisines, la variation de phase est égale à :

est, par définition, la différentielle du chemin optique (représente le temps mis par la lumière pour aller d’une surface d’onde à l’autre).
Nous avons vu que la trajectoire de la lumière est perpendiculaire, en tout point, à la surface d’onde si bien que la longueur  entre deux éléments correspondants de deux surfaces d’onde voisines est minimale [ (ou ) est minimal et positif s’il est compté dans le sens de propagation de la lumière, maximal et négatif dans le sens contraire].
On appelle chemin optique entre deux points A et B d’une trajectoire suivie par un rayon lumineux, la quantité 

Le principe de Fermat exprime le caractère extrémal, par " morceau " , du chemin optique de la manière suivante : le chemin optique entre deux points A et B est stationnaire.
Il est courant de se servir du principe de Fermat comme point de départ de l’Optique géométrique.

1.3.1. Milieu homogène

Dans un milieu d’indice n uniforme, la distance qui sépare deux points d’un même rayon lumineux est minimale ð la trajectoire est la droite qui joint les deux points.
Les trajectoires suivies par la lumière dans un milieu homogène sont des droites.

1.3.2. Les lois de Descartes-Snell
 

Sur le dessin ci-contre, est représentée la trace de la surface de séparation entre les milieux homogènes 1 et 2 d’indices respectifs  et . Un rayon lumineux allant de A à B coupe la surface de séparation en I dont on veut déterminer la position  Ce chemin optique est stationnaire, c’est à dire que

et , vecteurs différentiels des vecteurs unitaires  et  des directions AI et IB, sont perpendiculaires à ces directions. Par suite, 
vecteur résultant d’un déplacement élémentaire sur la surface de séparation est dans le plan tangent en I à cette surface. Par suite, est colinéaire à la direction normale en I à la surface de séparation.

où est le vecteur unitaire de cette direction normale.

Le rayon réfracté est contenu dans le plan formé par le rayon incident et la direction normale au point d’intersection à la surface de séparation. Ce plan est appelé plan d’incidence.

Si nous multiplions scalairement par le vecteur unitaire de la direction déterminée par l’intersection du plan tangent et du plan incident, on obtient :
ð (dans cette formule, nous avons choisi de ne pas donner de caractère algébrique aux angles  et  ð rayon incident et rayon réfracté sont de part et d’autre de la direction normale).
Ces résultats constituent les lois de la réfraction de Descartes-Snell.
En ce qui concerne la réflexion, c’est à dire le rayon lumineux allant de A à C, il convient de changer en , en et B en C.
On trouve que le rayon réfléchi est dans le plan d’incidence et que  (dans cette formule, les deux angles n’ont pas de caractère algébrique ð rayon incident et rayon réfléchi sont de part et d’autre de la direction normale).
Ces résultats constituent les lois de la réflexion de Descartes-Snell.

1.3.3. Exemple de milieu non homogène
 

Nous reprenons l’exemple du paragraphe 122 L’écriture des lois de la réfraction sur deux couches successives d’ordonnées  et  conduit à :

Par suite, et, après différentiation, 

1.4. Le principe d’Huygens

La lumière se propage de proche en proche. L’ensemble des points d’égale perturbation lumineuse est appelée surface d’onde . Chacun des points de cette surface atteints par la lumière se comporte comme une source secondaire qui émet des ondelettes sphériques dans un milieu isotrope. La surface enveloppe de ces ondelettes forme une nouvelle surface d’onde.

Les dessins ci-dessus sont faits en supposant les milieux homogènes, c’est à dire les indices ou les intensités de vitesse de propagation uniformes dans chaque milieu.
Le dessin de droite permet de retrouver les lois de Descartes-Snell à partir du Principe de Huygens.
Les surfaces d’onde AB et CD sont des plans (ondes planes). Dans chacun des milieux notés 1 et 2, les surfaces d’onde sont parallèles les unes au autres, la distance séparant deux surfaces d’onde d’un même milieu étant  si  est le temps mis pour la lumière pour aller à vitesse  d’une surface d’onde à l’autre.
Dans le milieu 1, la lumière parcourt la distance  et, dans le même temps, la lumière parcourt, dans le milieu 2, la distance .
Des considérations géométriques simples permettent d’établir la relation , soit .

1.5. La formation des images

Un instrument d’optique est un assemblage de milieux " transparents " à la lumière.
Le rôle des instruments d’optique est de donner des répliques, appelées images, les plus fidèles et les plus grandes possibles des objets. Un instrument fait converger les rayons lumineux issus d’un point objet A vers un point A’. On dit que A’ est l’image de A, ou le conjugué de A, ou que l’instrument est stigmatique pour le couple de points A, A’.
Bien que ce propos ne soit pas absolu, les rayons optiques " utiles " seront peu inclinés par rapport à un axe appelé axe optique qui, souvent, est axe de révolution pour les instruments d’optique (on parle alors de systèmes optiques centrés).
Les détecteurs qui permettent de " visualiser " les images sont excités par l’énergie de l’onde. Le lecteur pourra se reporte au chapitre " Photométrie et détecteurs ".

1.5.1. Stigmatisme rigoureux
 

L’objet A ponctuel est dans un milieu d’indice , l’image ponctuelle A’ dans un milieu d’indice . Lorsque les rayons convergent vers l’image, celle-ci est réelle c’est à dire capable " d’impressionner " un détecteur. Si les rayons sont issues de A’ qui est à l’intérieur de l’instrument, l’image est dite virtuelle. Par extension, on parlera d’objet virtuel si les rayons convergent vers  " l’objet A "  à l’intérieur de l’instrument.

Le principe de Fermat (nous pourrions dire aussi que A et A’ sont deux surfaces d’onde ponctuelles) impose que le chemin optique soit indépendant du rayon.
constitue la relation de stigmatisme pour le couple A, A’.

Le miroir plan est le seul instrument où la relation ci-dessus est parfaitement réalisée quelque soit le couple A, A’. Dans le cas de systèmes simples tels que le miroir ellipsoïdal, le miroir parabolique, le miroir sphérique ou le dioptre sphérique, cette condition est réalisée pour un couple particulier de points A, A’ appelés points d’Young ou de Weierstrass.
Le stigmatisme rigoureux ne présente qu’un intérêt limité, d’autant que pour le réaliser, dans la pratique, il faudrait empêcher le phénomène de diffraction qui élargit l’image d’un point et disposer de cellules de détection ponctuelles.

1.5.2. Stigmatisme approché

Il est possible de réaliser des instruments optiques qui vérifient la condition ci-dessus en première approximation.
Il s’agit de systèmes optiques dans lesquels on sélectionne les rayons lumineux issus de l’objet A peu inclinés par rapport à un axe appelé axe optique. Cette condition est appelée approximation de Gauss.
A priori, ces systèmes optiques sont à symétrie de révolution, c’est à dire nous serons dans le cadre très important des systèmes optiques centrés. Le couple A, A’ est sur l’axe optique que nous notons axe z.
Avant d’aborder l’étude des éléments constitutifs de ces systèmes optiques, il convient de savoir s’il peut y avoir conservation du stigmatisme approché dans l’espace c’est à dire existence de points conjugués en dehors de l’axe optique de façon que objet et image conjugués ne se limitent pas à des segments situés sur l’axe optique … ce qui ne présenterait guère d’intérêt.

Stigmatisme approché dans l’espace
Sur la figure ci-dessus, nous envisageons le stigmatisme pour un couple M, M’ voisins de l’axe optique et d’un couple A, A’ situé sur l’axe et vérifiant, au moins en première approximation, la relation de stigmatisme 

Pour le couple M, M’  s’il est conjugué: , soit encore 

• Aplanétisme : condition des sinus d’Abbe

On appelle plans frontaux des plans xy perpendiculaires à l’axe optique z.
M, M’, que nous appelons B, B’, sont dans des plans frontaux.
La condition ci-dessus devient .
Pour calculer la constante, il suffit de prendre le rayon particulier correspondant à  (donc ).
On obtient la condition des sinus d’Abbe : 

• Condition d’Herschel

M, M’, que nous appelons C, C’, sont sur l’axe optique.
La condition ci-dessus devient .
Pour calculer la constante, il suffit de prendre le rayon particulier correspondant à  (donc ).
On obtient la condition d’Herschel : 

1.6. Systèmes centrés

1.6.1. Eléments constitutifs d’un système centré

Les éléments constitutifs sont : les miroirs plans, les miroirs sphériques, les dioptres plans et les dioptres sphériques.

Le dessin du miroir plan montre que l’image A’ (virtuel) est symétrique de l’objet A par rapport au miroir. Tout rayon issu de A passe par A’ : il y a stigmatisme rigoureux.
Le dessin du dioptre sphérique sera utilisé pour établir les " relations de conjugaison " entre les points A et A’, les résultats sont transposables sans difficulté aux autres éléments constitutifs des systèmes centrés.
Dans les triangles AIC et A’IC, on écrit les relations des sinus,
; ðð en introduisant la relation de Descartes-Snell de la réflexion.
Cette relation doit être vérifiée quelque soit I (c’est à dire pour tout rayon lumineux) pour qu’il y ait stigmatisme pour un couple A, A’ .

• Le stigmatisme rigoureux est obtenu :

- pour tout point A sur le dioptre (A, I et A’ sont confondus)
- pour 
- pour un couple de points particuliers A, A’ appelés points de Weierstrass ou d’Young situés sur l’axe optique z.

• Le stigmatisme approché est réalisé pour un couple de points A, A’ si les rayons sont peu inclinés sur l’axe optique z (approximation de Gauss) ; en première approximation, les points I peuvent être confondus avec le sommet S du dioptre sphérique.

La formule, écrite sous forme algébrique, devient .
A l’aide de la relation de Chasles, on établit les relations de conjugaison en prenant pour origine soit le sommet S, soit le centre C du dioptre :
ou 
Un objet  perpendiculaire à l’axe optique forme une image perpendiculaire à l’axe optique.
En utilisant le rayon BC, qui n’est pas dévié à la traversée du dioptre, on calcule le grandissement linéaire 

• Pour le miroir sphérique, on obtient les relations de conjugaison et le grandissement à partir des résultats du dioptre sphérique en remplaçant  (cette astuce permet d’écrire les lois de la réflexion à partir de celles de la réfraction).

On obtient :  ;  ; 

• Le dioptre plan est un dioptre sphérique de rayon infini.

; 

• Le miroir plan s’obtient soit à partir du miroir sphérique, soit à partir du dioptre plan .

; 

Foyers, Plans focaux
On appelle foyer objet F un point de l’axe optique tel que tout rayon incident issu de F émerge après traversée du système centré parallèlement à l’axe optique. Le plan focal objet est le plan frontal Fxy.
On appelle foyer image F’ un point de l’axe optique tel que tout rayon incident parallèle à l’axe optique émerge en convergeant vers F’. Le plan focal image est le plan frontal F’xy.

Plans principaux
Ce sont des plans frontaux conjugués tel que le grandissement soit égal à 1. Ils sont notés respectivement Hxy (plan principal objet) et H’xy (plan principal image).

Focales
On appelle respectivement focale objet f et focale image f’ les quantités algébriques :  et .

Construction d’images
 

Savoir construire des rayons est essentiel en Optique géométrique.

Pour le système optique l’indice est , pour les rayons incidents issus des objets l’indice est , pour les rayons émergents convergeant vers les images l’indice est .
Sur l’axe optique sont connus les foyers F et F’ et les points H et H’ des plans principaux objet et image : ils définissent le système optique.

• Les deux rayons les plus importants sont (BIJF’B’) et (BFI’J’B’)

(BIJF’B’) : nous partons d’un objet AB et traçons par B la parallèle à l’axe optique qui coupe le plan principal objet en I. L’image de I est J dans le plan principal image telle que par définition des plans principaux. Le rayon émergent du système optique passe par le foyer image F’ puisque le rayon incident est parallèle à l’axe optique.
(BFI’J’B’) : nous partons de B et traçons BF qui coupe le plan principal objet en I’. L’image de I’ est J’dans le plan principal image telle que . Le rayon émergent est parallèle à l’axe optique puisque l’incident passe par le foyer objet F.
L’intersection des deux rayons définit B’ et donc l’image  de l’objet .
L’obtention des premières relations de conjugaison relève de géométrie élémentaire : ; (relation de Newton)
Il convient de ne pas oublier la très importante relation des sinus d’Abbe  qui, dans le cadre de l’approximation de Gauss, est appelée relation de Lagrange-Helmholtz et s’écrit 

• Nous considérons maintenant un objet  dans le plan focal objet, son image se forme à l’infini.

Nous avons déjà tracé le rayon (CIJF’).
L’image de l’objet H est H’. Le rayon émergent à partir de H’, ayant pour incident (CH) est parallèle à JF’ de façon que l’image se forme à l’infini.
On appelle les angles de ces rayons avec l’axe optique.
La relation de Lagrange pour l’objet  et son image  et pour les rayons définis s’écrit ðð
Pour des milieux extrêmes identiques 
En transformant la relation de conjugaison de Newton à l’aide de la relation mathématique de Chasles et en utilisant cette relation entre indices et focales, on obtient :  (V est appelée la vergence du système centré et se mesure en dioptries dans le système MKS ; le système est convergent si la vergence est positive, divergent si la vergence est négative).
La relation de Lagrange-Helmholtz pour l’objet  et l’image , pour le rayon incident AI et son émergent JA’ donne .
Après simplification,  .

• Enfin, nous déterminons les points nodaux N et N’ qui sont deux points conjugués définis comme étant les intersections avec l’axe optique d’un incident et d’un émergent parallèle.

A partir de C nous traçons un rayon incident parallèle au rayon JF’ qui coupe le plan principal objet. L’émergent au point conjugué du plan principal image est parallèle aux deux rayons puisque l’image de l’objet  est à l’infini. Les intersections avec l’axe optique de ces deux rayons donnent les points nodaux.
La connaissance des points nodaux est une façon de définir un système optique qui peut se substituer à la connaissance des plans principaux.
On remarquera que  et que 

Remarques :
- pour le dioptre sphérique ou le miroir sphérique les plans principaux sont confondus de telle sorte que ,
- pour le dioptre sphérique ou le miroir sphérique les points nodaux sont confondus au centre C,
- pour le dioptre sphérique, les focales sont  et ,

- pour le miroir sphérique, les focales sont  et .

1.6.3. Un exemple de système centré : la lentille mince
 

Une lentille mince est constituée de deux dioptres sphériques comme indiqué sur la figure ci-contre où on peut faire . Les plans principaux des deux dioptres sont des plans frontaux situés en S. Il en sera de même pour la lentille mince (). Un objet A donne une image A" à travers le premier dioptre qui sert d’objet à travers le deuxième dioptre pour une image A’.

L’écriture des formules de conjugaison donne :
; ð

Le foyer objet et la focale objet seront déterminées par :, le foyer image et la focale image par : 
Les constructions de rayons et les résultats sur les systèmes centrés du paragraphe précédent sont totalement transposables en faisant .
Très souvent les milieux extrêmes sont l’air ambiant () et l’indice du système optique est noté .

Avec ces nouvelles notations 

1.7. Aberrations

1.7.1. Aberration chromatique

L’indice des verres constituant les instruments optiques varie avec la fréquence de l’onde lumineuse (ce phénomène est appelé dispersion) si bien que les caractéristiques varient : on dit que l’instrument présente une aberration chromatique.
Dans le cas d’une lentille mince, ð.
Conventionnellement, on utilise les trois radiations caractéristiques suivantes : la radiation C rouge (), la radiation F bleu-vert (), toutes deux de l’atome d’Hydrogène) et la radiation D jaune () de l’atome de sodium et on définit le pouvoir dispersifK (ou son inverse le nombre d’Abbe ou constringenceA) par la relation : .
Il existe deux grands types de verre, les flints lourds qui dispersent beaucoup (A est compris entre 30 et 50), les crowns légers qui dispersent moins (A est compris entre 50 et 65).
Pour diminuer l’aberration chromatique, les lentilles sont en fait l’assemblage de deux lentilles l’une en verre flint, l’autre en verre crown.

1.7.2. Aberrations géométriques ou monochromatiques

Dans l’approximation de Gauss, on linéarise les équations en confondant sinus, tangente et angle. Les aberrations géométriques (appelées aussi monochromatiques par opposition à chromatiques) sont liées à cette approximation.
On se contentera de savoir qu’il en existe de plusieurs sortes.

2. Phénomène de Diffraction

En Optique géométrique, on cherche dans quelles conditions l’image d’un objet ponctuel est aussi ponctuelle que possible.
Cependant, nous avons noté que cette recherche était vaine ou limitée, le phénomène de diffraction élargissant l’image.

Le phénomène de diffraction intervient dans des domaines de la physique autres que l’optique. Nous pensons aux ondes électromagnétiques radioélectriques et à la diffraction des électrons sur les cristaux.
Les méthodes, que nous allons exposer, sont transposables.

2.1. Mises en évidence expérimentales

2.1.1. Diffraction par des petites ouvertures

Le diaphragme D est une fente fine de largeur 2a, de longueur grande.
Le faisceau sortant du laser étant parallèle, on pourrait s’attendre, d’après l’optique géométrique, à obtenir sur l’écran une tache de largeur 2a.
Il n’en est rien et on constate, au contraire que la tache de lumière sur l’écran s’élargit lorsque a diminue. En examinant la répartition de l’intensité lumineuse sur l’écran, on constate qu’elle présente une " structure " : on observe une tache centrale entourée de taches secondaires beaucoup moins intenses.
La largeur angulaire de la tache centrale est égale à  si 
Pour ,  et , on obtient une largeur de tache centrale sur l’écran d’environ , c’est à dire que le phénomène de diffraction est facilement visible

2.1.2. Diffraction par le bord d’un écran

Dans cette expérience, si on s’en tenait à l’optique géométrique, seule une partie de l’écran dans la partie des x positifs devrait être éclairée. Il n’en est rien, la partie des x négatifs est éclairée, l’intensité lumineuse diminuant rapidement en s’éloignant du centre. Dans la partie des x positifs, l’intensité lumineuse est modulée suivant un paramètre de longueur égale à .

2.1.3. Strioscopie
 

Par rapport à la lentille L, D (diaphragme) et P (pastille opaque) sont conjugués, de même l’objet O (de type plume, grillage, …) et l’écran E sont conjugués. Dans un premier temps, nous ne plaçons pas l’objet O, le résultat est évident, il n’y a pas de lumière sur l’écran E. Dans un deuxième temps, nous plaçons l’objet O, le résultat surprend, on observe son image, avec des contrastes très marqués, sur l’écran.

Cette expérience dite de strioscopie suggère que les points de l’objet éclairé se comporte comme autant de sources secondaires émettant de la lumière dans toutes les directions au delà de l’objet.
On retrouve, suivant cette hypothèse, le principe de Huygens que l’on complétera par les idées de Fresnel pour interpréter les phénomènes de Diffraction.

2.2. Le principe d’Huygens-Fresnel
 

Nous reprenons la première expérience de diffraction où dans un écran on a percé un diaphragme : le fait expérimental est que l’état d’éclairement en P est différent si l’écran existe ou non. Suivant le principe d’Huygens, cela se comprend simplement puisque la présence de l’écran élimine des " sources secondaires " dont la lumière n’atteint plus P.

Fresnel a précisé et étendu le principe d’Huygens.
Chaque point M d’une surface S atteinte par la lumière peut être considéré comme une source secondaire émettant une onde sphérique. L’état vibratoire de cette source secondaire est proportionnel à celui de l’onde incidente en M et à l’élément de surface dS entourant le point M. Les vibrations issues des différentes sources secondaires interfèrent entre elles.

- représentent l’amplitude et la phase de l’onde incidente en M,
-  un coefficient de transmission au niveau de la surface dS qui peut être partiellement opaque [sauf indication, nous prendrons ],
- K un coefficient dépendant de la longueur d’onde de l’onde mais surtout de la direction d’émission de la source secondaire par rapport à la normale à la surface dS,
-  terme d’amortissement du au fait qu’il s’agit d’ondes sphériques.

La démonstration mathématique rigoureuse du Principe d’Huygens-Fresnel a fait l’objet de nombreuses recherches, en particulier par Kirchhoff, Rayleigh ou Sommerfeld, sans réussite totale.
De toute façon, il faut voir dans cette relation un caractère approché car il n’est pas tenu compte de l’interaction entre l’onde électromagnétique et le matériau de l’écran.
Les recherches montrent que le coefficient K, pour une onde monochromatique, peut être tenu pour constant si on reste voisin d’une direction. Ceci revient à dire que les distances  sont grandes devant les dimensions de la surface S (ce qui est le cas puisque le phénomène de diffraction devient significatif lorsque les dimensions de l’objet diffractant sont comparables à la longueur d’onde) .
Aussi, dans le terme d’amortissement, les variations de  pour les différents points M de S seront sans conséquences réelles, Par contre elles seront à considérer dans le terme  puisqu’à comparer avec la longueur d’onde.
En fait, on ne calculera avec le principe d’Huygens-Fresnel que les variations d’intensité ()
Sous ses considérations, la relation du principe d’Huygens-Fresnel peut être écrite : 

2.3. Théorème de Babinet (pour en savoir plus par Yves Cortial)

Nous considérons deux surfaces diffractantes  et  complémentaires c’est à dire que la somme de ceux surfaces constituent un écran total ne laissant pas passer la lumière au-delà.
L’état vibratoire en P sera nul : .

Les figures de diffraction de deux surfaces complémentaires sont identiques.

2.4. Diffraction de Fresnel (à distance finie). Diffraction de Fraunhofer (à l’infini)

Nous considérons une origine O située sur la surface S. Compte tenu des domaines de validité de l’expression précédente quelques soient les points P ou M.

• Pour un point P à distance finie, la direction du vecteur d’onde  dépend des points M et P et on obtient, à partir de la relation du principe d’Huygens, la formule (que nous n’établissons pas) de diffraction de Fresnel.

• Pour un point P à " l’infini ", la direction du vecteur d’onde  ne dépend pas des points M et P (le phénomène de diffraction est produit dans une direction, les rayons parallèles entre eux interfèrent à l’infini, on ramène l’observation à distance finie dans le plan focal image d’une lentille)

, ce dernier étant constant son écriture n’est pas nécessaire dans la relation d’Huygens-Fresnel qui devient :  et constitue la relation de diffraction de Fraunhofer (à l’infini).

La surface plane est contenue dans le plan Oxy.
;  où u, v et w sont les cosinus directeurs du vecteur unitaire de la direction du vecteur d’onde.
La formule de Fraunhofer devient : 

Application : fente rectangulaire

La fente rectangulaire a pour dimension 2a, 2b.
Nous prenons le cas simplificateur  et .

Ainsi, l’intensité lumineuse sera égale à 

Pour des valeurs  ou , l’intensité lumineuse reste inférieure à  où  est l’intensité lumineuse pour  et .
Ainsi, on considère que la tache lumineuse s’étale, en décroissant d’une valeur maximale pour  et à une valeur nulle sur les bords, sur des largeurs angulaires telles que  et . On remarquera que pour que les largeurs angulaires soient significatives, il faut que les dimensions de la fente soient faibles.
On appelle fente " infiniment longue " une fente telle que . Dans ce cas, l’étalement de la tache est négligeable dans la direction angulaire v, le phénomène de diffraction est sensible dans la direction u.
L’état vibratoire et l’intensité s’écrivent :  et 
Dans ce cas, la composante du vecteur d’onde suivant la direction y n’intervient pas et on peut se limiter à un vecteur d’onde dans le plan Oxy tel que 
représente la différence de marche entre les rayons diffractés suivant la direction i passant par les abscisses 0 et x.

2.6. Pouvoir séparateur des instruments optiques

Les instruments optiques sont à symétrie de révolution et nous prenons le cas simple d’une lentille de rayon R comme objet diffractant.
Le calcul de la figure de diffraction doit être fait dans le cas d’une ouverture circulaire, il est mathématiquement plus complexe que celui d’une ouverture rectangulaire et conduit à une tache de diffraction à symétrie de révolution, appelée tache d’Airy, dont seule la partie centrale d’angle angulaire  est réellement éclairée.
 

Nous supposons les objets A et B suffisam-ment éloignés pour pouvoir appliquer la théorie de la diffraction à l’infini. Ceci implique que les images A’ et B’ sont pratiquement dans le plan focal image à distance f’ de la lentille. Ces images sont en fait des taches d’Airy de largeur angulaire

Ces deux taches seront distinctes si leur distance angulaire i est supérieure à u, ceci revient à dire que le maximum de lumière pour l’une est au moins au delà de la limite de la tache de l’autre (critère de Lord Rayleigh).
Les deux objets seront vus distinctement si .
Les images sont dans l’air (indice égal à 1), par contre les objets peuvent être, pour les microscopes à immersion, dans un milieu d’indice n.
La relation de Lagrange-Helmholtz s’écrit ð si on veut que les deux objets ponctuels soient vus distinctement.
Cette formule montre que la limite inférieure de AB, appelée pouvoir séparateur ou limite de résolution de la lentille, est la plus faible possible si l’ouverture angulaire est la plus grande possible (d’où la construction de télescope de diamètre le plus grand possible) et si l’indice dans lequel sont immergés les objets est le plus grand possible (d’où les microscopes à immersion).

L’œil est, pour l’homme, l’organe sensoriel le plus important et un Physicien ne saurait ne pas avoir des connaissances tangibles dans le domaine de l’Optique.
Sans être exhaustif, dans le domaine de l’Optique géométrique, on peut citer :
- mirage et arc en ciel en ce qui concerne les phénomènes naturels,
- prisme, fibre optique, loupe, microscope, lunette astronomique, télescope, appareil photographique en ce qui concerne les réalisations pratiques.