Approximation " Optique géométrique " : Le théorème de Malus

On considère un milieu diélectrique linéaire, isotrope (qui peut être non homogène) caractérisé en chaque point par sa permittivité électrique.
L’approximation " Optique géométrique " consiste à étudier la propagation, dans ce milieu, d’ondes électromagnétiques de longueurs d’onde .
On cherche pour le champ électromagnétique des solutions sous la forme :

où est le module du vecteur d’onde dans le vide et la phase.

, et sont des fonctions à déterminer dans le cas où (en fait où reste très inférieure à toute dimension spatiale).

Le calcul, que nous ne reproduisons pas, montre que :

• où où et sont respectivement les intensités de vitesses de l’onde dans le vide et dans le milieu au point considéré et

Les surfaces d’onde sont déterminées par , si bien que la direction de la propagation (perpendiculaire en chaque point à la surface d’onde) se confond avec la direction de .
Ainsi, localement, dans le cas où , l’onde a une structure d’onde plane.

Entre deux surfaces d’onde voisines, la variation de phase est égale à :

est, par définition, la différentielle du chemin optique (représente le temps mis par la lumière pour aller d’une surface d’onde à l’autre).
La trajectoire de la lumière est perpendiculaire, en tout point, à la surface d’onde si bien que la longueur entre deux éléments correspondants de deux surfaces d’onde voisines est minimale [ (ou ) est minimal et positif s’il est compté dans le sens de propagation de la lumière, maximal et négatif dans le sens contraire].

On appelle chemin optique entre deux points A et B d’une trajectoire suivie par un rayon lumineux, la quantité

Le principe de Fermat exprime le caractère extrémal, par " morceau " , du chemin optique de la manière suivante : le chemin optique entre deux points A et B est stationnaire.
Il est courant de se servir du principe de Fermat comme point de départ de l’Optique géométrique.

A)2)

et , vecteurs différentiels des vecteurs unitaires et des directions AI et IB, sont perpendiculaires à ces directions. Par suite,
vecteur résultant d’un déplacement élémentaire sur la surface de séparation est dans le plan tangent en I à cette surface. Par suite, est colinéaire à la direction normale en I à la surface de séparation.
où est le vecteur unitaire de cette direction normale.

Le rayon réfracté est contenu dans le plan formé par le rayon incident et la direction normale au point d’intersection à la surface de séparation. Ce plan est appelé plan d’incidence.

Si nous multiplions scalairement par le vecteur unitaire de la direction déterminée par l’intersection du plan tangent et du plan incident, on obtient :
ð (dans cette formule, nous avons choisi de ne pas donner de caractère algébrique aux angles et ð rayon incident et rayon réfracté sont de part et d’autre de la direction normale).

Ces résultats constituent les lois de la réfraction de Descartes-Snell.

En ce qui concerne la réflexion, c’est à dire le rayon lumineux allant de A à C, il convient de changer en , en et B en C.

On trouve que le rayon réfléchi est dans le plan d’incidence et que (dans cette formule, les deux angles n’ont pas de caractère algébrique ð rayon incident et rayon réfléchi sont de part et d’autre de la direction normale).

Ces résultats constituent les lois de la réflexion de Descartes-Snell.

A)3)

Considérons avec (le milieu 2 est moins réfringent que le milieu 1.

()

Ainsi, tout rayon incident tel que ou est réfléchi.

Un instrument d’optique est un assemblage de milieux " transparents " à la lumière.
Le rôle des instruments d’optique est de donner des répliques, appelées images, les plus fidèles et les plus grandes possibles des objets. Un instrument fait converger les rayons lumineux issus d’un point objet A vers un point A’. On dit que A’ est l’image de A, ou le conjugué de A, ou que l’instrument est stigmatique pour le couple de points A, A’.
Bien que ce propos ne soit pas absolu, les rayons optiques " utiles " seront peu inclinés par rapport à un axe appelé axe optique qui, souvent, est axe de révolution pour les instruments d’optique (on parle alors de systèmes optiques centrés).
Les détecteurs qui permettent de " visualiser " les images sont excités par l’énergie de l’onde. Le lecteur pourra se reporte au chapitre " Photométrie et détecteurs ".

Le principe de Fermat (nous pourrions dire aussi que A et A’ sont deux surfaces d’onde ponctuelles) impose que le chemin optique soit indépendant du rayon.
constitue la relation de stigmatisme pour le couple A, A’.
Le miroir plan est le seul instrument où la relation ci-dessus est parfaitement réalisée quelque soit le couple A, A’. Dans le cas de systèmes simples tels que le miroir ellipsoïdal, le miroir parabolique, le miroir sphérique ou le dioptre sphérique, cette condition est réalisée pour un couple particulier de points A, A’ appelés points d’Young ou de Weierstrass.
Le stigmatisme rigoureux ne présente qu’un intérêt limité, d’autant que pour le réaliser, dans la pratique, il faudrait empêcher le phénomène de diffraction qui élargit l’image d’un point et disposer de cellules de détection ponctuelles.

Il est possible de réaliser des instruments optiques qui vérifient la condition ci-dessus en première approximation.
Il s’agit de systèmes optiques dans lesquels on sélectionne les rayons lumineux issus de l’objet A peu inclinés par rapport à un axe appelé axe optique. Cette condition est appelée approximation de Gauss.
A priori, ces systèmes optiques sont à symétrie de révolution, c’est à dire nous serons dans le cadre très important des systèmes optiques centrés. Le couple A, A’ est sur l’axe optique que nous notons axe z.

Une fibre de 10m de longueur produira d’un objet ponctuel une tâche de 10cm : stigmatisme de faible qualité.

Soit

Ainsi, ð

Soit l’équation différentielle de la trajectoire du rayon,
avec les deux conditions aux limites et .

La solution de l’équation différentielle est de la forme :

En tenant compte des conditions aux limites, on obtient :

Pour qu’il y ait propagation, il convient que : ð

Soient et

La périodicité de la fonction sinus impose que le rayon lumineux coupe régulièrement l’axe de la fibre en des points séparés de d tels que :

ð

Soit ð

Une fibre de 10m de longueur produira d’un objet ponctuel une tâche de 1 mm : stigmatisme de bonne qualité.

C)3)e) Les angles d’ouverture sont identiques, la fibre à gradient d’indice est très supérieure à la fibre à saut d’indice

C)3)f)

C)3)g) Le milieu n’est pas parfaitement transparent ð il y a atténuation au cours de la propagation du signal lumineux

D)1)

Pour une lentille mince de sommet S, on obtient :

L’avantage essentiel d’une lentille-boule par rapport à une lentille mince de même distance focale se situe au niveau des aberrations monochromatiques (comportement pour différentes longueurs d’onde).