Rayonnement d’une antenne demi-onde. Résistance de rayonnement. Diagramme de directivité.

Problème

Une antenne est constituée d’un conducteur filiforme de longueur l, de milieu O, dirigé suivant l’axe vertical Oz de vecteur unitaire .
L’antenne est parcourue par un courant de pulsation et de longueur d’onde , dont la répartition est de la forme :
avec .

On posera et on supposera l de l’ordre de grandeur de .
1) Montrer que le potentiel vecteur créé par l’antenne en un point M éloigné repéré par () et est à l’instant t :

2) On s’intéresse dans la suite de ce problème à une antenne demi-onde () avec .
Calculer, à partir du 1), le potentiel vecteur produit par l’antenne demi-onde.

3) On admettra que dans le cas considéré () le champ électromagnétique rayonné a localement la structure d’une onde plane.
3)a) Montrer que le champ est orthoradial.
3)b) Exprimer les champs et rayonnés par l’antenne en M à l’instant t dans la base orthonormée () associée aux coordonnées sphériques de M.

4)
4)a) Exprimer la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting.
4)b) Exprimer la puissance moyenne rayonnée par l’antenne demi-onde dans l’espace en fonction de

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