Rayonnement dipolaire à charge q mobile, à des distances r >> l , à des distances r << l

Problème

Un dipôle oscillant est modélisé par une charge fixée au centre O du référentiel Oxyz et par une charge animée le long de l’axe Oz d’un mouvement sinusoïdal d’équation .
La vitesse de la charge est petite devant la célérité c de la lumière dans le vide. Tous les vecteurs seront exprimés par leurs composantes sur la base orthonormée associée aux coordonnées sphériques.

1) Exprimer les composantes du potentiel vecteur , en notation complexe, au point M de l’espace vide repéré par ses coordonnées sphériques , et , à l’instant t.

2) Exprimer les composantes du champ magnétique , en notation complexe, en M à l’instant t. On admettra la relation générale : .

3) On se place dans le cas où les distances entre le dipôle et le point d’observation M sont grands devant la longueur d’onde de l’oscillateur ; on admet que le champ électromagnétique en M possède alors localement la structure d’une onde plane.
3)a) Donner les expressions approchées des champs magnétique et électrique en notation réelle.
3)b) Exprimer l’intensité de rayonnement I du dipôle oscillant (c’est à dire la puissance moyenne rayonnée par unité d’angle solide) en fonction de et des constantes du vide. Tracer l’allure du diagramme de rayonnement dans le plan .
3)c) Exprimer la puissance totale moyenne en fonction de et des constantes du vide.

4) On se place maintenant dans le cas où les distances entre le dipôle et le point d’observation M sont faibles devant la longueur d’onde.
Exprimer le champ en fonction de , valeur algébrique instantanée du moment dipolaire. Conclure et déterminer les composantes du champ en fonction de .

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