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Exemples d'ondes mécaniques
 
Plan

1. L'onde sonore
1.1. Equations de propagation
1.2. Impédance de l'onde acoustique
1.3. Energie de l'onde acoustique progressive
2. La corde vibrante "infiniment souple"
2.1. Equation de propagation
2.2. Energie

Les illustrations et animations de Yves Cortial

Corde de Melde : modèle simple et amélioré
Clavecin excité au milieu et en un point quelconque

Pour les ondes mécaniques, la quantité se propageant est une grandeur scalaire liée à la matière.
Nous limitons nos propos à :
- l'onde sonore qui est une onde de pression.
Localement la pression est liée à la densité locale de molécules, une variation locale de pression implique une variation de la densité qui se propage par les chocs entre molécules.
- la corde vibrante qui est un exemple d'onde de déformation de matière.

La première étude sera un exemple d'onde longitudinale, la seconde d'onde transversale.

1. L'onde sonore

1.1. Equations de propagation

Nous limitons l'étude au cas d'une onde unidimensionnelle se propageant dans un fluide non visqueux de section constante.
 
Nous considérons une tranche de fluide au repos entre les sections . Chacune des faces extérieures de section S est soumise à une pression identique .
Suite à une excitation en , il existe une perturbation de pression  sur la face . Compte tenu du principe de l’action et de la réaction, la perturbation de pression est opposée sur la face  . Cette perturbation sur la face  est égale à :.

La résultante de ces forces est non nulle, la tranche  se déplace à vitesse  et sera au temps t en  si  représente le déplacement de cette tranche.
représente la vitesse de la matière, elle n’est pas à confondre avec la vitesse de phase de l’onde.
représente le débit volumique.
Au temps , elle sera située en .

Pendant un temps dt, la tranche x se sera déplacé de  ð

Remarque : les déplacements de matière se produisent dans la même direction x que la propagation de l'onde, l'onde sonore est donc longitudinale.
L'onde sonore n'est pas le seul exemple d'onde longitudinale. Il en existe dans les solides de dimensions finies (vibration dans les barres) ou de dimensions infinies (tremblement de terre par cisaillement).

Accroissement relatif de volume
La tranche  se déplace, elle est située en  au temps t.
La tranche dx ne garde pas une largeur constante et on calcule l'accroissement relatif de volume de la tranche d’épaisseur dx située en x.

Cette quantité peut être reliée aux propriétés thermodynamiques de la matière en introduisant le coefficient de compressibilité adiabatique 

On obtient

Remarques :

Application du théorème de la résultante dynamique

Calculons l'accélération d'une particule située au temps t en x de vitesse . Cette particule au temps sera en  telle que .
La variation de vitesse  entre les instants est égale à  et l'accélération 

Ce type de dérivée très utilisé en Mécanique des milieux continus est connu sous le nom de dérivée particulaire ( notation ).
En fait, l’étude générale de l’onde sonore entre dans le cadre plus large de la Mécanique des fluides.

L'application du Théorème de la résultante dynamique conduit à :
soit 

qui est un cas particulier de l'équation d'Euler (Mécanique des fluides)

Equation de conservation de la masse (dite équation de continuité)

Sur la tranche en mouvement, on écrit que la différence entre le flux de matière entrant et sortant est égale à l’accroissement, par unité de temps, de matière dans la tranche :
()

soit, en appliquant la formule des accroissements finis,  [formule qui est un cas particulier de ].

La faiblesse des quantités  permet la simplification (appelée approximation acoustique) des deux expressions ci-dessus sous la forme :
et 

En introduisant , soit , on obtient  et

Par dérivation, on découple le système précédent en :
et 
Pour ce qui est du déplacement s, on peut l’introduire par la relation  et obtenir  ou utiliser .

est la vitesse de phase de l’onde

Remarque : pour un gaz parfait, soit

1.2. Impédance de l'onde acoustique
Par définition, on appelle impédance acoustique caractéristique de l'onde acoustique la quantité 
L’impédance acoustique est définie par la relation .

Les solutions générales des équations de propagation s'écrivent :
et 

En considérant séparément l'onde progressive et l'onde régressive, on peut écrire la relation
où  est la résistivité caractéristique de l’onde acoustique progressive ou régressive.

1.3. Energie de l'onde acoustique progressive

La force  agit sur face x qui se déplace à vitesse u.
L’énergie fournie à la tranche est donc : .

Pour une onde acoustique progressive, on obtient  où  représente le volume balayé par l’onde pendant le temps dt, c’est à dire le volume où a été emmagasiné le travail des forces due à la perturbation de pression.
Ainsi la densité volumique d’énergie e est égale à 
Cette énergie, dans la tranche dx, est emmagasinée :
- sous forme cinétique, dont la densité volumique est 

- sous forme de travail des forces de pression qui provoquent les variations de volume de cette tranche (énergie interne),  dont la densité volumique est .
Pour une onde progressive,  (exemple d'équipartition de l'énergie).

L'intensité acoustique I est le flux énergétique de l'onde à travers une surface unitaire ð pour l’onde progressive.
Plus souvent, on caractérise cette intensité par son niveau défini par la relation  exprimée en décibels où  correspond au seuil conventionnel de sensibilité de l'oreille.
Pour une conversation normale entre deux personnes situées à 1 m l'une de l'autre, le niveau sonore est de 60 dB (soit ).
Un niveau sonore de 120 dB est douloureux et dangereux.

2. La corde vibrante " infiniment souple "

2.1. Equation de propagation

La corde est dénuée de coefficient de raideur, c'est à dire que le système de forces en un point de la corde se réduit à une force unique appelée tension T de la corde, tangente à la direction de la corde.
 
Sur la corde dont les seuls mouvements (faibles) sont transversaux à l'axe des x (par exemple suivant l'axe y), on considère deux points voisins M et M' dont les coordonnées sont :
[ et [avec petit.
La longueur de l'arc MM' est :

Si est la masse linéique de la corde, la projection de l'équation fondamentale de la dynamique suivant l'axe des x s'écrit :
car l'angle reste petit (  est équivalent à 1 au 2ème ordre près). Par suite, 
La projection de l'équation fondamentale de la dynamique suivant l'axe des y s'écrit :

est équivalent à  et à 

En remplaçant ð

est la vitesse de phase de l’onde.

2.2. Energie
L'énergie cinétique est égale à  soit par unité de longueur 

L'allongement de la portion dx au repos est égal à  si bien que l'énergiepotentielle par unité de longueur est 
L'énergie totale par unité de longueur est .

Pour l'onde progressive, on retrouve .