Généralités sur les phénomènes de propagation
 

Plan 1. Intégrale générale de l'équation de propagation 1.1. Signification des fonctions f et g 1.2. Périodicité temporelle. Périodicité spatiale. Vecteur d'onde 1.3. Ecriture générale de l'onde progressive 1.4. Propagation libre et régimes stationnaires 2. Propagation dans un milieu dispersif 2.1. Cas de la propagation de deux ondes 2.2. Ondes d'extension limitée : paquet d'ondes 2.3. Remarque 3. Régimes quasi-stationnaires 4. Effet Doppler - Fizeau 5. Interférences

Les illustrations et animations de Geneviève Tulloue Effet Doppler    Interférences    Les illustrations et animations de Yves Cortial et Jacques Charrier Onde réfléchie et onde stationnaire Battements Interférences à deux ondes Zone de cohérence et localisation des interférences Trains d'onde                            CABRI

Les exemples de phénomènes de propagation sont multiples : nous parlons de propagation de la lumière, d’ondes électromagnétiques, du son ou de la "chaleur" sans que ces phénomènes soient de même nature.
Les ondes électromagnétiques (nous verrons que l'onde lumineuse est une onde électromagnétique de longueurs d'ondes inférieures à 100 mm) se propagent dans le vide, se réfléchissent, s'absorbent et se transmettent au niveau d'un milieu matériel.
Les ondes mécaniques (qui comprennent le son -ondes acoustiques-) ont besoin d'un milieu matériel pour se propager.
La propagation de la "chaleur" est plus complexe : c'est une onde électromagnétisme dans le cas du rayonnement dit "thermique", une onde mécanique dans le cas de la conduction de la chaleur et un transfert de matière dans le cas de la convection.

Mathématiquement, deux équations aux dérivées partielles rendent compte de ce type de phénomènes :

• dite équation hyperbolique ou de D'Alembert

• dite équation parabolique. Cette équation est plus souvent appelée équation de diffusion par les physiciens : elle régit la conduction de la chaleur, la diffusion de matière.

1. Intégrale générale de l’équation de propagation

Pour résoudre l’équation hyperbolique, nous effectuons les changements de variables  et et cherchons .
La substitution dans l’équation de propagation conduit à  qui est réalisé si  est indépendant de Y et  indépendant de X.

Par suite  ,  et  où les fonctions f et g sont arbitraires.

La fonction f qui prend une valeur  reprend cette même valeur  (ce qui est caractéristique de la propagation sans déformation de la quantité f de l’abscisse  à l’abscisse ) si  soit encore .
ð. La propagation a lieu, à vitesse V, dans la direction des x positifs.

Ainsi le groupement  exprime que l'onde traduite par la fonction f se propage sans déformation à vitesse V dans la direction des x positifs (on dit onde positive ou progressive) et le groupement  exprime que l'onde traduite par la fonction g se propage sans déformation à vitesse V dans la direction des x négatifs (on dit onde négative ou régressive).

L’onde s est la superposition des deux propagations dites positive (progressive) et négative (régressive).

1.1. Signification des fonctions f et g

Soit une source émettant au point  dans la direction des x positifs. On ne voit pas d’où proviendrait la fonction g tant que l’on considère le milieu infini suivant les x, mais s’il y a un obstacle en un point  une partie de l’onde sera renvoyée (réfléchie) vers les x négatifs et on aura, en tout point, la superpositions des deux propagations.
La fonction g est déterminée à partir de la fonction f par les conditions à l’extrémité L. Le cas particulier  impose.
La fonction f est déterminée par la nature de la source en . L’expression  associée à une source de type vibratoire joue un rôle privilégié. En effet pour l’équation de propagation, de type linéaire, étudiée, toute excitation peut être traitée à l’aide de la technique mathématique des séries de Fourier ou de celle de la transformée de Fourier à partir de cette fonction (voir annexe " Eléments de Mathématiques ").
Il est commode, d’un point de vue mathématique, d’introduire la notation complexe , la fonction f étant la partie réelle de .
Si nous reprenons l'exemple de l'onde à la surface d'un liquide, a représente l'amplitude du mouvement vertical de matière, c’est à dire l'écartement maximal à la position d'équilibre. La dérivée par rapport au temps de la fonction  f donne la vitesse de la matière. Cette vitesse est proportionnelle à l'amplitude a.
Le carré de l’amplitude a est donc directement proportionnel au carré de la vitesse de déplacement de la matière, donc proportionnel à la puissance énergétique (intensité) de l'onde.
Ceci constitue un résultat général pour toutes les ondes matérielles ou non.

1.2. Périodicité temporelle. Périodicité spatiale.

Si t et x deviennent  et  tels que  et , la fonction f est inchangée.
T , périodicité temporelle, est appelée période et , périodicité spatiale, est appelée longueur d’onde. Ces deux quantités sont liées par la relation .

1.3. Ecriture générale de l'onde progressive. Vecteur d'onde

• En introduisant la quantité  appelée vecteur d’onde, on obtient .

Cette écriture est intéressante par son caractère général adapté à une propagation dans une direction de vecteur unitaire et de vecteur d’onde .
Elle permet d’écrire,
La quantité  représente la phase de l’onde en un point quelconque de l’espace. Les surfaces définies par  sont appelées surfaces équiphases ou surfaces d’onde.

• D'une manière plus générale, la fonction  est le produit :

- d'une fonction  dans laquelle  interviennent sous la forme d'un terme de propagation,
- d'une fonction , dite fonction d'espace ;  représente l'amplitude de l'onde, elle est indépendante de lorsque l'onde est plane.

En l’absence de limite , la fonction g est nulle et la fonction f s’écrit :
pour une propagation suivant la direction x.
.

Si, par contre, la limite  renvoie partiellement ou totalement l’onde f, alors la fonction g est non nul et 
où représente le facteur de réflexion en .

Pour une réflexion totale [], 
Dans ce cas, on dit que l’on a un régime stationnaire car le phénomène de propagation n'existe plus.
Si, en , existe une autre réflexion totale, on se trouve en présence d’un régime stationnaire confiné entre deux réflexions totales. Ce type de régime stationnaire est appelé régime résonnant qui ne peut exister que pour certaines valeurs discrètes  de appelés en mathématiques valeurs propres et en physique pulsations de résonance. Les fonctions  correspondantes sont appelées fonctions propres.

2. Propagation dans un milieu dispersif

Le cas d’une onde sinusoïdale pure de pulsation est un cas extrêmement rare dans la réalité, il doit être considéré comme un cas d’école.
En fait, la forme du signal jointe à sa durée conduisent à une représentation de celui-ci, dans l’échelle des , par un spectre.
Si la vélocité du phénomène V n’est pas fonction de , chaque composante spectrale se propage à cette vitesse et, à l’arrivée, toutes les composantes peuvent être regroupées de façon identique au départ : le signal n’est pas déformé (à condition qu’il n’y ait pas d’atténuations ou que celles-ci soient indépendantes de ).
Il en va autrement si V dépend de . Ces phénomènes sont bien connus dans le cas de la lumière où on dit qu’il y a dispersion.

2.1. Cas de la propagation de deux ondes

Les deux ondes, émises en , supposées pour simplifier de même amplitude a, de pulsations voisines  et , se propagent dans la direction des x positifs.

A partir de et[où ] , le calcul de l’onde totale conduit à 
On retrouve la fonction d’onde habituelle avec une amplitude variable c’est à dire dépendant de t et x.
Si l’on se place dans un référentiel d’observation se mouvant, suivant l’axe des x, à la vitesse , l’amplitude apparaît constante.
Cette vitesse  est appelée vitesse de groupe. Liée à l’amplitude, elle traduit la vitesse de propagation de l’énergie.
La vitesse  est appelée vitesse de phase.
Une autre façon d’analyser la fonction d’onde est de considérer que  sert d’enveloppe à la fonction d’onde habituelle et de faire apparaître un phénomène de battement qui se déplace à la vitesse .

2.2. Ondes d'extension limitée : paquet d'ondes

On envisage le modèle simplifié d'ondes planes sinusoïdales, de même amplitude a, dans un intervalle continu de pulsation  tel que :  avec  se propageant dans la direction des x positifs (ondes progressives).
L'onde résultante est égale à :

Un développement limité au premier ordre permet d'écrire la fonction k :

En remplaçant dans l'onde résultante et en intégrant, on obtient :

 

L'intensité est égale à , soit : est représentée sur la figure ci-contre au temps . On a posé

Ce graphe appelle plusieurs commentaires :
- les amplitudes des maxima secondaires sont très faibles vis à vis du maximum central (en ),
- le paquet d'ondes simule donc un phénomène de propagation d'étendue  limitée ; on fixe la largeur du maximum central comme le domaine de variation de x compris entre , soit . Aux frontières du domaine, ,
- le maximum de I est atteint au temps  lorsque . Si , ce maximum est atteint pour ð il se déplace à la vitesse qui est la vitesse de propagation de l'énergie puisque l'intensité du paquet d'onde se situe autour du maximum central,
- l'onde monochromatique () correspond donc à une extension spatiale illimitée () : correspondant à une énergie infinie, elle ne peut avoir un sens physique réel et doit être comprise comme une limite théorique.

2.3. Remarque

La vitesse de groupe a un sens physique puisqu ‘elle représente la vitesse de propagation de l’énergie, soit aussi de l’information ; pour les ondes électromagnétiques dans le vide, elle ne pourra dépasser la " vitesse de la lumière c " ; la vitesse de phase n’a pas de réalité physique, elle pourra, dans le cas des ondes électromagnétiques, être supérieure à celle de la lumière.
Le cas ð soit correspond à une propagation d'ondes sans dispersion.

3. Régimes quasi-stationnaires

Le groupement , où  est la phase, joue un rôle privilégié. Dans un espace de dimension , la variation de phase s'écrit .
Dans le cas particulier où  (soit aussi ), les variations de phase sont négligeables, la fonction ne dépend plus de x, le phénomène de propagation est négligeable, la notion d'onde disparaît.
Ceci s'appelle l'approximation des régimes (ou états) quasi-stationnaires, bien connue en Electricité des courants alternatifs.
Ainsi, pour le 50 Hz, dans un milieu non diélectrique et non magnétique (le "vide"), .

4. Effet Doppler-Fizeau 

Doppler a montré, pour les ondes acoustiques, que la période est relative au référentiel où elle est mesurée. Fizeau a élargi ce phénomène au domaine de l'optique. La théorie doit être faite dans le cadre de la cinématique relativiste si les vitesses des référentiels n'étaient pas négligeables devant celle de la lumière.
Nous nous limitons au domaine classique des " faibles " vitesses, cependant la théorie relativiste est importante car sa confirmation expérimentale valide cette théorie et les idées émises par Einstein.

Calcul de Doppler (cinématique classique)
 

Un émetteur E se déplace à vitesse en émettant de signaux de période . Ces signaux se propagent uniformément dans toutes les directions à intensité de vitesse V. Un récepteur R se déplace à vitesse  recevant les signaux avec une période . Au temps , l'émetteur est à la position , le récepteur reçoit à la position  au temps .

Au temps , l'émetteur est à la position , le récepteur reçoit à la position  au temps .
;  ;  ; 
Dans un repère d'origine , d'axe des x parallèle à , on écrit les coordonnées :
;  ;  ; 

En écrivant la longueur  des deux manières possibles et en réorganisant, on obtient :
pour laquelle il convient de chercher une solution indépendante de  c'est à dire de l'émission initiale considérée.

• Une solution rigoureuse correspond à  (pour , le récepteur s’éloigne de l’émetteur si  ; il s’en rapproche si ).

Sous ces conditions, on obtient alors  formule de Doppler écrite en introduisant les fréquences  et  (le signe – correspond à un éloignement du récepteur vis à vis de l’émetteur, le signe + à un rapprochement).

• Dans le cas habituel où la vitesse V de propagation de l’onde est très supérieure aux vitesses de déplacement de l’émetteur ou du récepteur, .

En négligeant tous les termes du second ordre, la seule condition  suffit et la formule de Doppler s’écrit sous la forme : 

5. Interférences

Lorsque l'intensité résultant de la superposition de deux ou plusieurs ondes n'est pas la somme des intensités de chacune des ondes, on dit qu'il y a interférence ou que les ondes interfèrent. L'interférence est caractéristique d'un phénomène ondulatoire.

Conditions de réalisation d'une interférence

Le domaine de la lumière (des ondes électromagnétiques) fournit un champ de réalisations très important. C'est pourquoi il y sera fait référence de manière privilégiée.
 

Les sources émettent de la lumière par suite de la désexcitation des atomes qui ont été préalablement excités. Cette émission est lancée, interrompue puis relancée au hasard des collisions entre les atomes. On la représente sous la forme de trains d'onde successifs émis de façon aléatoire.

On caractérise cette émission par la fonction vectorielle appelée vibration lumineuse.

pendant la durée  d'un train d'ondes largement inférieure à la durée moyenne entre deux collisions successives ().
L'intensité I associée à une telle onde est égale à la valeur moyenne de l'intensité instantanée pendant la durée nécessaire à la détection ( est de l'ordre de 0, 1 s).

Pour les ondes mécaniques, la source vibrante entretient le mouvement pendant la durée d'un train d'ondes, puis elle est relancée pour un nouveau train d'ondes, ...
L'émission est caractérisée par une fonction scalaire 

Interférence de deux ondes monochromatiques isochrones
Geneviève Tulloue [  ] ; Jacques Charrier

ð

Pour une onde scalaire, il convient d'enlever tout caractère vectoriel aux formules ci-dessus.

• Si nous considérons deux sources indépendantes, les phases  et  sont aléatoires et indépendantes si bien que toutes les valeurs de  sont équiprobables dans l'intervalle [[ et  ð    Il n'y a pas interférence

Une condition nécessaire pour obtenir des phénomènes d'interférence est de neutraliser le caractère indépendant de l'émission de deux sources. On y parvient en subordonnant les deux sources a une même source primaire.
On dispose de deux types de système interférentiel : ceux à division de front d'ondes et ceux à division d'amplitude (ou incident unique).
où  est la longueur d'onde et  la différence de marche entre les deux chemins.
En fait, pour les ondes lumineuses,  est la longueur d'onde dans le vide et  la différence de marche entre les chemins optiques.

• constitue la formule de base dans les phénomènes d'interférence à deux ondes (pour les ondes lumineuses c’est à dire à caractère vectoriel, cette relation suppose les vecteurs  et quasiment parallèles.

Suivant les valeurs de , l'intensité évolue d'une valeur minimale  à une valeur maximale , elle n’est égale à  que pour des valeurs particulières de  correspondant à .
Entre un minimum et un maximum successif, la différence de phase est égal à  et la différence de marche à une demi longueur d'onde.
On définit le contraste (visibilité) par  qui est maximum et égal à 100% si  et tend vers 0 si et  sont très différents.

• L'interférence lumineuse étant réalisée ( et  sont quasiment parallèles), on fait disparaître ce phénomène en intercalant, sur l'un des chemins, un polariseur dont l'action est de faire tourner de 90 degrés la vibration lumineuse ( et deviennent perpendiculaires).

Ce type d'expérience, en montrant le caractère vectoriel de la vibration lumineuse, a apporté une preuve déterminante pour établir que l'onde lumineuse est une onde électromagnétique;

Nous envisageons le cas d'une source étendue.

La figure d'interférence de la source étendue est la somme en intensité des figures d'interférences des sources "ponctuelles" constituant la source étendue.
Si les  varient de , il n'y aura plus de figure d'interférences, les différentes sources ponctuelles se contrariant , les maxima de l'une correspondant aux minima de l'autre.
Une condition d'existence d'interférences est que , valeur maximale de la variation de sur toute l'étendue de la source reste très inférieure à .
Si (incident unique ou interférence à division d'amplitude), l'étendue de la source ne pose pas de problème.
Pour la division de front d'ondes (), il convient que la source soit "suffisamment ponctuelle".
ð
La quantité  est appelée la largeur de cohérence spatiale.

Cohérence temporelle [ Yves Cortial ]

Les ondes émises par une source ne sont jamais parfaitement monochromatiques. Pour les ondes lumineuses, la principale cause étant l'effet Doppler résultant de l'agitation thermique.
L'intensité spectrale est définie par la relation où dI est l'intensité sur la bande spectrale .

• Un calcul approché consiste à considérer  dans la bande spectrale d'émission  et  en dehors de cette bande spectrale.

L'intensité résultante, en considérant que les intensités sont identiques suivant les deux chemins, est égale à : avec 

Le contraste  devient inférieur à 0,22 si  et on considère que le contraste est trop faible pour voir le phénomène d'interférence.
représente la différence de temps de marche entre les deux rayons. La condition pour qu'il y ait interférence peut être exprimée  où  est appelé temps de cohérence.

• Un autre processus pour appréhender cette question est de s'interroger sur la durée d'émission. avec  (représente l'amplitude de la vibration prise constante dans la bande spectrale considérée et  la vibration émise).

Au delà du temps , la vibration devient très faible et on peut considérer que la source n'émet plus. Dans cette interprétation,  est la durée de l'émission.
On trouve là un résultant important : seule la source monochromatique a une durée d'émission illimitée. Evidemment, il ne peut s'agir que d'un cas limite d'école.

Soient  le temps que met l'onde pour parcourir SP par le chemin (1) et  le temps par le chemin (2). Nous raisonnons avec , par suite  représente la différence des temps de marche. Le signal émis par la source S est perçu entre  et  pour le chemin (1), entre  et pour le chemin (2).

Pour qu'il y ait interférence, il convient que , soit  soit la durée d'émission (appelée temps de cohérence) supérieure à la différence des temps de marche.
On introduit généralement la longueur de cohérence définie par  et, pour qu'il y ait interférence, il convient qu'elle soit supérieure à la différence de marche.
Des temps de cohérence (ou des durées d'émission) importants, c'est à dire des sources les plus monochromatiques possibles, favorisent le phénomène d'interférence.

Fonction (prononcer sinus cardinal de x)

C’est une fonction paire.
; 

Cette fonction s’annule pour 

La dérivée est égale à . Elle s’annule pour , soit pour  ; les valeurs correspondantes des extrema sont respectivement