Exercices de statique des fluides
1 - La figure schématise un manomètre à liquide (masse volumique m) à réservoir de section
|
|
constante S ; celle du tube vertical est s.
Lorsque |
3) On incline le tube du manomètre, sa direction faisant un angle a avec le plan horizontal. La position du ménisque le long du tube est repérée par son abscisse Z.
Calculer la nouvelle sensibilité.
Réponse 1 | Réponse 2 | Réponse 3 |
2 - Un manomètre différentiel est constitué
de deux récipients cylindriques, de sections droites respectives 
,
reliés par un tube de section intérieure s constante.
|
L'ensemble contient deux liquides non miscibles de masses
volumiques |
|
A.N. 
; 
; 
|
3 – La figure ci-contre représente une
vanne rectan-gulaire (L x l) en coupe verticale destinée
à fixer le niveau d’eau (hauteur h) d’une retenue. Cette
vanne est articulée à sa base sur un axe OO’ et maintenue
au sommet par 2 chaînes parallèles manoeuvrées par
un treuil. En position haute (angle a) on supposera
la direction des chaînes perpendiculaires à la vanne. |
|
2) Calculer les efforts transmis aux chaînes (on négligera le poids propre de la vanne) et la réaction de l’axe OO’.
Application numérique : h = 4m ; L = 5m ; l = 6m
4 - On remplit d’eau sur une hauteur h un verre de forme cylindrique.
On appelle S la section de sa base.
1) Calculer la résultante des forces de pression sur les parois du verre.
Interpréter le résultat
2) Mêmes questions avec un verre en forme de cône, un verre ballon.
| 5 - Une vanne de vidange est constituée
par un disque de rayon R pivotant autour d’un axe horizontal. Le
centre O du disque est positionné à une hauteur h par
rapport au niveau d’eau.
1) Calculer la poussée sur le disque et la position du centre de poussée. 2) Reprendre le calcul dans le cas où le disque est noyé (eau de chaque coté du disque). Ce cas est celui d’une écluse. Application numérique : h = 2m ; R = 0,5m
|
|
6) Une vanne plane verticale de forme rectangulaire
(largeur L et de hauteur l), articulée autour d’un axe
(figure ci-dessous),
maintient le niveau de deux liquides non miscibles de masses volumiques respectives
. Le niveau
du liquide de masse volumique 
se situe à une hauteur h (le liquide 1 dépasse l’extrémité
haute de la vanne). L’autre liquide de masse volumique 
est situé à une hauteur H-h au de dessus du premier liquide.
La face de la vanne du côté liquide est complètement noyée
dans le liquide de masse volumique 
.
1) Calculer la force de poussée due à la pression hydrostatique
du liquide s’exerçant sur la face verticale de la vanne.
2) Déterminer la position du point d’application C de cette
poussée en fonction de 
.
On vérifiera que 
ð 
|
7 - Une cloche hémisphèrique ( rayon
R, épaisseur |
|
Application numérique : cloche en verre de densité d = 2,5 telle que e/R = 0,02
|
8 - Etude succincte d’un barrage voûte en
forme de ½ cylindre (épaisseur de paroi e, rayon moyen R,
hauteur h ; e/R << 1). Calculer la poussée totale sur le barrage et la
réaction des appuis. |
|
9 – Un récipient cylindrique de rayon 
,
d’axe vertical 
,
contient une hauteur 
de liquide de masse volumique 
.
Le récipient est mis en rotation, à vitesse angulaire 
,
autour de l’axe 
.
Le liquide est entraîné par le cylindre et on admet que chaque
couche de liquide est entraînée à la vitesse angulaire.
Dans un référentiel tournant à la vitesse angulaire ,
le liquide est donc en équilibre dans le référentiel tournant.
On se propose de déterminer la forme de la surface libre du liquide.
10 - Démontrer la loi de Laplace pour un goutte sphérique de liquide dans de l’air, pour une bulle de vapeur dans un liquide, pour une bulle de savon.
11 – Démontrer la loi de Jurin
12 – Formation d’un courant ascendant (Capes externe 1991)
Dans toute l’étude qui suit, le champ de pesanteur est
supposé uniforme, l’air se comporte comme un gaz parfait de masse molaire
et de capacités
thermiques 
constantes.
L’air est supposé sec. Un point N de l’atmosphère est repéré
par ses coordonnées cartésiennes dans un trièdre orthonormé
(
), tel que l’axe
coïncide
avec la verticale ascendante, la cote 
étant prise au niveau de la mer. Le module de l’accélération
de la pesanteur est appelé 
.
On désigne par 
la pression au point 
.
1) L’air est supposé être un fluide de
masse volumique 
localement en état d’équilibre. On considère une tranche
d’air d’épaisseur 
,
de volume 
. Préciser,
à l’aide d’un schéma, la nature et la direction des forces extérieures
appliquées sur cette tranche.
En écrivant que cette tranche reste en équilibre, établir
la relation : 
On appelle 
la pression et la température thermodynamique au niveau de la mer, 
la pression et la température thermodynamique à la cote 
.
Exprimer 
à l’altitude 
en fonction de 
et de la constante molaire des gaz parfaits 
.
Des relevés expérimentaux montrent qu’en l’absence de mouvement
des masses d’air, la température est fonction affine de l’altitude 
,
pour 
variant
de 
, suivant
la loi : 
.
A l’aide de l’équation d’état des gaz parfaits et des relations
précédentes, montrer que la pression 
et la température 
à l’altitude
sont liées par la relation, appelée " loi de nivellement
barométrique " : 
où l’on exprimera l’exposant 
en fonction de 
. Quelle est la
dimension physique de cet exposant ? Calculer numériquement
sachant que 
.
On donne : 
et 
. Exprimer
numériquement la pression 
en fonction de la température 
.
2) L’état d’équilibre étudié
précédemment n’est possible que si les isothermes et les isobares
coïncident avec les équipotentielles du champ de pesanteur, donc
ici avec les surfaces d’équation 
.
Si, par suite d’hétérogénéités du sol, celui-ci
présente des écarts de température d’un point à
un autre, l’air qui surmonte ces terrains s’échauffe différemment
et se met en mouvement. On se propose d’étudier de façon très
simplifiée la formation d’un courant ascendant.
|
On suppose que l’air est localement, à l’altitude
|
|
la pression, la température et la masse volumique du gaz emprisonné
dans la bulle, 
la température et la masse volumique de l’air environnant à
la même altitude. Montrer que la bulle s’élève si la température
de la bulle
est de valeur supérieure à celle de l’air environnant 
.
la température du gaz dans la bulle à l’altitude de sa formation
et 
la pression à l’altitude 
.
Quelle relation lie la pression 
et la température 
de la bulle au cours de son ascension aux valeurs initiales 
?
Exprimer en
fonction de .
pour l’ascension de la bulle. On note 
la température et la pression de la bulle lorsqu’elle arrive à
cette altitude.
pour 
et 
.
En déduire la valeur de l’altitude plafond
à laquelle se stabilise la bulle.
13) Etude d’un barrage-poids
|
Le barrage-poids est représenté en coupe
sur la figure ci-contre, la longueur suivant la direction y sera
prise unitaire. La composante verticale de la force exercée par
le sol sur le barrage est de la forme : |
|
en fonction de 
?
En déduire une condition entre 
,
on a 
repérable
à travers le tube. Lorsque 
,
les cotes des deux surfaces libres deviennent 
et z, cette dernière cote étant seule repérable.
en fonction de (
)
et de m, g, s, S
(
).
.
,
la surface de séparation est définie par 
.
.
et la surface de séparation des deux liquides se déplace
de 
.
.
au
delà de laquelle l’équilibre est rompu (la cloche se soulève)
et à
la verticale du point 
,
plus chaud que l’air avoisinant. Des photographies infrarouges montrent
que ce gaz se détache verticalement sous forme d’une " bulle ".
Tout se passe comme si une certaine poche de gaz était limitée
par une enveloppe souple et non tendue. Cette " bulle "
de gaz, que l’on notera B, évolue ensuite sans échanger
de matière ni de chaleur avec l’extérieur, la pression de
la bulle restant égale à celle de l’air environnant à
la même altitude. On supposera que la température de l’air
environnant est toujours 
.
où 
est la densité du matériau par rapport à l’eau de
masse volumique 
.
