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Exercices de mécanique du solide

1) Chute d’une tige sur le sol

Une tige AB, homogène, de centre G et de longueur 2b, est posée sur le sol horizontal, verticalement sans vitesse initiale. Sous l’action d’un léger déséquilibre, elle tombe.
En supposant que l’extrémité A glisse sans frottement sur le sol, calculer la vitesse du centre G de la tige quand celle-ci heurte le sol.
On pourra démontrer la valeur du moment d’inertie de la tige par rapport à sa médiatrice

| Réponse |

2) Mouvement d’une barre appuyée contre un mur

Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Une barre AB, homogène, de masse m, de longueur 2b et de centre G, milieu de AB, est posée sur le sol horizontal et repose contre un mur vertical. Sa position est déterminée par l’angle .
Les contacts en A et en B sont supposés sans frottement.
a) Ecrire l’intégrale première du mouvement en supposant, qu’à l’instant initial, la barre est immobile avec une inclinaison .

b) Calculer la réaction du mur sur la barre et en déduire pour quelle inclinaison la barre quitte le mur.

On pourra démontrer la valeur du moment d’inertie de la tige par rapport à sa médiatrice

| Réponse a | Réponse b |

3) Mouvement d’une barre sur un axe horizontal

(Oxyz) est un référentiel galiléen. Une barre homogène AB, de masse m, de longueur 2b, de centre C, de moment d’inertie par rapport à un axe passant par C et perpendiculaire à la barre, est posée sur une tige de rayon négligeable, coïncidant avec l’axe Oz. Le contact entre la barre et la tige est caractérisé par un coefficient de frottement f. A l’instant initial, on lâche la barre sans vitesse initiale dans la position horizontale ()

Pour quelle inclinaison la barre commence t’elle à glisser sur la tige ?

| Réponse |

4) Mouvement d’un chasse-neige

La figure schématise un chasse-neige se déplaçant sur une horizontale.
Ce chasse-neige est constitué d’une roue S1 (de centre d’inertie C, de rayon R, de masse m répartie uniformément sur la circonférence et de moment d’inertie par rapport à son axe) et d’une partie S2 (CABI2 ), indéformable de même masse m que la roue, de centre d’inertie A (on donne : ), en mouvement de translation parallèlement à l’axe Ox.
Le moteur exerce sur la roue un couple de moment (G constante positive).
La roue tourne sans frottement autour de son axe et roule sans glisser sur le sol. On suppose que le coefficient de frottement de glissement f sur le sol est le même en I1 et en I2 (il vérifie ).

a) Appliquer :

b) Ecrire les relations imposées par le roulement sans glissement en et le glissement en .

c) Quelles conditions doit vérifier le moment G pour que le mouvement déterminé ci-dessus soit effectivement réalisé ? On pourra supposer qu’à l’instant initial le chasse-neige est fixe.

| Réponse a | Réponse b | Réponse c |

5) Mouvement d’un cylindre sur un plan incliné

Un cylindre homogène, de centre d’inertie C, de rayon R et de moment d’inertie (que l’on démontrera) par rapport à son axe, est posé sans vitesse initiale sur un plan incliné d’un angle a sur l’horizontale, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
On désigne par f le coefficient de frottement de glissement entre le cylindre et le plan incliné.

a) Déterminer l’accélération du cylindre. Montrer qu’il y a glissement ou non selon la valeur a .

b) Faire un bilan énergétique entre les instants 0 et t. Etudier le cas du mouvement sans glissement et celui avec glissement.

| Réponse a | Réponse b |

6) Mouvement d’un point matériel dans un tuyau qui roule sans glisser

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, un tuyau cylindrique de rayon R , de masse M, de moment d’inertie par rapport à son axe, roule sans glisser sur le sol horizontal.
a) A l’intérieur de ce tuyau glisse sans frottement, dans le plan vertical, un point matériel P de masse m.
L’ensemble est repéré par l’abscisse x du centre C du tuyau et par l’angle définissant la position du point matériel P.
A l’instant initial, l’ensemble est immobile et .
Ecrire deux équations vérifiées par et leurs dérivées.
En supposant petit, calculer la période des petites oscillations du système.

b) Le point matériel P de masse m est maintenant solidaire du tuyau.
Calculer la période dans le cas de petites oscillations.

| Réponse a | Réponse b |

7) Oscillations d’un demi-disque sur un plan horizontal

On considère un demi-disque (D) homogène, de " centre " C, de centre de masse G, de rayon R et de masse m.
Le référentiel terrestre (Oxyz) est supposé galiléen.
Tout en restant dans le plan vertical (Oxy), le demi-disque roule sans glisser sur le plan horizontal.
On désigne par I le point de contact entre le sol et (D).et on repère la position de (D) par l’abscisse x de C et par l’angle . A l’instant initial, on lâche (D) sans vitesse initiale dans la position .

On démontrera que .
Le moment d’inertie de (D) par rapport à un axe passant par C perpendiculaire à (D) vaut .

a) Ecrire une intégrale première du mouvement.

b) En déduire la période des petites oscillations.

| Réponse a | Réponse b |

8) Entraînement d'un cube par un cylindre

Le référentiel terrestre (R) est supposé galiléen. On considère le système constitué par un cube de masse M (solide ) et par un cylindre homogène de masse m, de centre C, et de rayon a (solide ).
Un fil inextensible et sans masse est attaché à une face du cube et enroulé autour du cylindre. On note la force exercée par le fil sur le cylindre en A.

Le cube glisse sans frottements sur le plan incliné et on considère que la poulie a une masse négligeable et tourne sans frottements autour de son axe de rotation.
Le système est abandonné sans vitesse initiale, le fil n'étant ni lâché, ni tendu, le brin entre la poulie et le cylindre étant parfaitement vertical et celui entre la poulie et le cube parallèle au plan incliné. On note .

1) Appliquer le théorème de la résultante dynamique au cylindre. En déduire que le mouvement de C est vertical.

2) Appliquer le théorème du moment dynamique au cylindre par rapport à C.

3) Sachant que la poulie roule sans glisser sur le fil en A, trouver une relation entre l'intensité vitesse du centre C, l'intensité de la vitesse de translation du cube, a et .

4) Appliquer le théorème de la résultante dynamique au cube.

5) En déduire les accélérations de G et C. Discuter suivant les valeurs de a .

| Réponse 1 | Réponse 2 | Réponse 3 | Réponse 4 | Réponse 5 |

9) Déplacement d'un camion sur un sol horizontal

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le chauffeur d'un camion (tracteur+benne) immobile sur une route horizontale a coupé le moteur, mais oublié de serrer ses freins. Il fait alors basculer la benne d'un angle a à un angle . La masse du tracteur est notée M, celle de la benne est notée m. On note A le centre de masse du tracteur, B celui de la benne et G celui du camion.
Le camion est posée sur ses 4 roues, chacune de centre et de masse négligeable, tournant autour sans frottements autour de leur axe respectif.

On note les réactions du sol sur la roue au niveau de chacun des points de contact camion-sol.

1) Appliquer le théorème du moment dynamique à une roue et en déduire la direction des forces de contact entre le camion et le sol.

2) Appliquer le théorème de la résultante dynamique au camion entier. Qu'en déduisez vous pour le centre de masse G du camion.

3) En déduire le déplacement horizontal d du centre de masse A du tracteur

| Réponse 1 | Réponse 2 | Réponse 3 |