1)a) Le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe D est défini par :
où d représente la distance de l'élément de masse élémentaire dm à l'axe D.
Pour l'axe Oy,

1)b)

 

Pour le calcul de , nous utilisons la symétrie de révolution en considérant tous les éléments de masse à la même distance r de l'axe Cy.

On obtient :

1)c)

Soit D le centre d'inertie de la tige.

1)d)
On utilise le théorème d'Huygens :
Le moment d'inertie par rapport à un axe est égal au moment d'inertie par rapport à un axe parallèle passant par le centre d'inertie du solide augmenté de la quantité où M est la masse du solide et d la distance entre les deux axes.

1)e)

2)a)

Il est légitime de négliger dans la poussée d'Archimède puisque :


S'il n'existe aucune perte d'énergie mécanique (liaison parfaite au niveau de l'axe, pas de frottements d'air),
Ainsi, toute variation d'énergie cinétique est accompagnée d'une variation opposée d'énergie potentielle ð mouvement périodique.

2)b)

1ère méthode : conservation de l'énergie mécanique

: énergie cinétique de rotation autour d'un axe fixe

Ainsi,

2ème méthode : théorème du moment dynamique pour un mouvement de rotation autour d'un axe fixe

(équation différentielle du mouvement)

On multiplie cette dernière relation par et on intègre pour obtenir :

Le calcul de la constante se fait à partir des conditions initiales, et .

2)c)

Toutes les valeurs de q sont possibles (le pendule fait un tour complet) si

Si , alors avec

se calcule à partir de la relation

2)d) Pour calculer , on applique le théorème de la résultante dynamique :

relation que l'on peut expliciter à partir de l'équation différentielle du mouvement et de l'équation de conservation de l'énergie.

2)e) On linéarise l'équation différentielle du mouvement en écrivant que .

On obtient , soit si

En intégrant,

et ð

La période du mouvement est donnée par :