Oscillations libres à plusieurs degrés de liberté

Oscillateurs à plusieurs degrés de liberté

Oscillateurs à deux degrés de liberté

1 – Pendules de torsion couplés par élasticité

Deux cylindres pleins de moments d’inertie sont reliés (figure ci-après) entre eux et à deux points fixes par des fils dont les constantes de torsion sont .

1) Etablir les équations différentielles des mouve-ments des deux cylindres ; on désignera par les distances angulaires à la position d’équilibre.
Le cylindre 1 étant écarté d’un angle de sa position d’équilibre et abandonné sans vitesse, le cylindre 2 étant initialement au repos à sa position d’équilibre, trouver une intégrale première des équations du mouvement et exprimer une constante pour les mouvements.

2) L’un des cylindres étant fixe, quelles sont les pulsations des oscillations de l’autre ?

Dans la suite, on prendra .

3) On appelle coefficient de couplage . Entre quelle limite varie si on maintient constants ?
On désigne par les pulsations propres du système de pendules couplés avec . Etablir l’équation dont sont les racines. Construire la courbe .
Donner les valeurs de dans le cas particulier où est assez petit pour que l’on puisse considérer comme négligeable les termes contenant .
Etudier la possibilité de mouvements symétriques () et antisymétriques ().

4) Que deviennent les résultats ci-dessus si et si (on posera ; Résoudre les équations du mouvement dans les conditions initiales précisées à la question 1 ; Représenter .

2 – Différents couplages

Pour chacun de systèmes ci-après, on calculera le coefficient de couplage et l'équation de conservation de l'énergie.

Oscillations libres à N degrés de liberté

On envisage successivement les systèmes ci-dessus constitués de masses ponctuelles m en interactions élastiques (symbolisées par des ressorts) suivant une direction. Le déplacement des masses a lieu suivant cette direction.

1) Ecrire, pour un système à une masse, deux masses, trois masses, …, N masses les équations du mouvement (on notera les déplacements, par rapport à leurs positions respectives d’équilibre, des masses numérotées à partir de la gauche et on posera ).

2) Trouver, pour les différents systèmes, une intégrale première du mouvement et exprimer une constante du mouvement.

3) Exprimer, pour les différents systèmes, les pulsations propres en adoptant une écriture systématique sous forme de déterminant. Conclusions.

Le système de ressorts et de masses envisagés ci-dessus peut symboliser une chaîne linéaire d’atomes d’un solide.

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