Exercices de dynamique du point

Exercices de dynamique du point

1) Saut à l’élastique

On se propose de déterminer les caractéristiques d’un dispositif prévu pour le saut à l’élastique depuis un pont.
L’élastique a une longueur à vide de 30 m et on lui fixe une masse d’épreuve compacte de 100 kg.
On lâche, sans vitesse initiale, depuis le point d’accrochage de l’élastique, la masse qui subit une chute libre tant que l’élastique n’est pas en extension, puis est retenue par l’élastique sur le reste de sa course dont le point le plus bas est situé à 60 m du point d’accrochage de l’élastique.

a) En négligeant toute résistance de l’air, calculer la constante de raideur de l’élastique.
b) Si la hauteur de chute maximale en dessous du pont est de 70 m, calculer la masse maximale que l’on peut accrocher à l’élastique.

| Réponse 1a | Réponse 1b |

2) Décollement

Une masse ponctuelle M est située sur un dôme sphérique de rayon .
Elle démarre du sommet avec une vitesse quasi-nulle et glisse sans actions motrices ou de freinage.

a) A quel endroit la masse quitte t’elle le dôme ?

b) Quelle est alors sa vitesse ?

| Réponse 2a | Réponse 2b |

3) Un point matériel M, de masse m, est astreint à se déplacer sans frottement sur un guide. Il est soumis à la réaction du guide et a une force de la part d’un point A fixe situé à l’abscisse a sur l’axe des x horizontal. M part de O avec une vitesse nulle.
Calculer, à partir de la relation fondamentale de la dynamique, la durée t pour atteindre un point .
Le guide est la droite et est défini par les coordonnées polaires dans le plan vertical.
On étudiera les conditions pour que cela soit possible, on calculera la réaction du guide et on retrouvera les résultats avec le concept d’énergie (en particulier les conditions pour que le mouvement décrit soit possible).

| Réponse 3 |

4) Un point matériel de masse m est lancé verticalement vers le haut avec une vitesse ; la résistance de l’air est de la forme où K est une constante.
a) Quel est le temps mis pour atteindre l’altitude maximale ? Donner l’expression de cette altitude maximale.
b) Quelle est l’expression de la vitesse du point lorsqu’il repasse dans le plan ?

| Réponse 4a | Réponse 4b |

Des électrons (masse , charge ) sont émis dans le vide et sans vitesse initiale par l’armature centrale (rayon ) d’un condensateur cylindrique soumis à une différence de potentiel .
Le champ électrique est supposé radial (on néglige les effets de bord et toute charge d’espace).
Ces électrons sont soumis en plus à un champ magnétique uniforme, parallèle à l’axe du condensateur.

a) Donner qualitativement l’allure des trajectoires
b) Exprimer la condition sur pour que le courant traversant le condensateur soit nul

| Réponse 5a | Réponse 5b |

6) Positions d’équilibre

Un pendule simple () a son extrémité liée à deux ressorts maintenus horizontaux par des liaisons coulissantes parfaites en . Les ressorts sont identiques de raideur , de longueur à vide.
On pose et
Déterminer les positions d’équilibre, leur stabilité.
Donner la pulsation des petits mouvements par rapport à la position d’équilibre stable pour

| Réponse 6 |