Le problème à deux corps

 

Plan A) Etude Générale B) Etude d'orbites circulaires C) Etudes d'orbites elliptiques D) Etude de trajectoires paraboliques E) Etude de trajectoires hyperboliques F) Atome de Bohr G) Collision de particules

Les illustrations et animations de Geneviève Tulloue Trajectoire newtonienne    Vitesse en fonction de la position    Loi des aires    Etude énergétique  Mise en orbite d'un satellite    Tir balistique    Mouvement hyperbolique                                           CABRI

Problème

A) Etude générale

On considère deux particules de masses respectives repérées, dans un référentiel galiléen d'origine O, par les vecteurs et .
Nous supposons que ces deux particules sont "seules dans l'espace" c'est à dire qu'elles forment un système isolé. Il y a donc interaction entre ces deux particules et nous limitons l'étude au cas où cette interaction peut être traduite par une fonction scalaire dépendant de la seule distance r entre les particules soit . Cette fonction est appelée énergie potentielle d'interaction des deux particules.

1) Montrer que les forces qui agissent sur chacune des particules obéissent au principe de l'action et de la réaction.

2) Ecrire une intégrale première du mouvement.

3) Montrer que le référentiel barycentrique d'origine G des deux particules est galiléen. En déduire que le problème se ramène à la résolution d'un problème à un mobile dont on déterminera la masse appelée masse réduite.
On étudiera le cas particulier .

4)a) Calculer dans le référentiel barycentrique l'énergie mécanique et le moment cinétique de l'ensemble des deux particules.
Montrer que l'étude se réduit à celui du mouvement de la masse réduite dans un référentiel d'origine .
4)b) A partir du théorème du moment cinétique, montrer que le mouvement s'effectue dans un plan (on montrera que le moment cinétique est un vecteur constant que l'on notera où est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan où s'effectue le mouvement).

5) Pour la suite du problème, on se placera dans le référentiel barycentrique, les masses seront notées , les points seront notés O et P.
On pose où est le vecteur unitaire de .
On étudie dans le référentiel d'origine O, de base orthonormée directe , en coordonnées polaires planes , le mouvement du mobile fictif de masse.
5)a) Ecrire le moment cinétique et l'énergie mécanique du mobile fictif. Quel nom donne t’on à la relation  ?
En déduire l'équation différentielle du mouvement.
5)b) Trouver l'équation différentielle ci-dessus à partir du principe fondamental de la dynamique.
Pour les questions 5)a) et 5)b) on utilisera implicitement ou explicitement les formules de Binet.

6) Application aux énergies potentielles d’interaction E_p(r)=k/r

6)a) Exprimer la force d'interaction entre les deux masses M et m et indiquer le type (attractif ou répulsif) de cette force suivant le signe de k.
6)b) En remplaçant dans l'équation différentielle du 5), montrer que la trajectoire de la masse m est une conique dont l’équation peut être écrite en faisant un bon choix de l’axe polaire :

6)c) Exprimer l'énergie mécanique en fonction de .
Discuter la nature de la conique à partir du signe de l'énergie
6)d) Quelques conséquences pour les orbites elliptiques

• Montrer que l'énergie sur les orbites elliptiques ne dépend que du grand axe de l'ellipse (elle est en particulier indépendante de l'excentricité)
• Calculer la quantité où a est la longueur du demi-grand axe et T la période de révolution (on exprimera en fonction des paramètres de l'ellipse).
• Qu'en déduisez vous si (ce résultat est connu sous le nom de 3ème loi de Képler)

| Réponse A1 | Réponse A2 | Réponse A3 | Réponse A4a | Réponse A4b | Réponse A5a | Réponse A5b | Réponse A6a | Réponse A6b | Réponse A6c | Réponse A6d |

B) Etude d’orbites circulaires

1) En première approximation, on peut considérer que l’orbite de la Lune autour de la Terre est circulaire de rayon , la période de révolution étant .
On admet que le référentiel géocentrique est galiléen pour le mouvement de la Lune.
1)a) L’interaction Terre-Lune étant de type attraction universelle, écrire le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel géocentrique.
Déduire une relation entre l’intensité de vitesse de la Lune, la masse de la Terre et (on appellera la constante d’attraction universelle).
1)b) Ecrire une relation entre  ; A.N. calculer

2) Reprendre la question 1) pour la Terre décrivant, en première approximation, autour du Soleil une orbite circulaire de 150 millions de kilomètres de rayon en 365 jours.

3) On s’intéresse aux satellites géostationnaires.
3)a) Montrer que la trajectoire est un cercle de rayon situé dans le plan équatorial.
3)b) Calculer numériquement la valeur de .
3)c) Calculer l’énergie mécanique d’un satellite de masse sur son orbite. Application numérique.
3)d) Calculer l’énergie nécessaire à la satellisation si la base de lancement est située à une latitude . Application numérique pour la base de Kourou (), pour la base de Cap Canaveral (), pour la base de Baïkonour ().
Rayon de la Terre

| Réponse B1a | Réponse B1b | Réponse B2 | Réponse B3a | Réponse B3b | Réponse B3c | Réponse B3d |

3) Exprimer l’énergie du satellite sur son orbite de transfert, en déduire les intensités de vitesse .
En déduire l’énergie à communiquer au satellite aux points P et A ainsi que le temps de transfert pour aller de P à A.
A.N. : L’orbite circulaire basse est celle de première vitesse cosmique, celle haute correspond à un satellite géostationnaire.

| Réponse Cot1 | Réponse Cot2 | Réponse Cot3 |

1) Faire une représentation des orbites elliptiques tangentes à la surface de la Terre et montrer que les vitesses à la surface de la Terre pour ces orbites sont comprises entre deux valeurs que l'on déterminera.

2) Représenter sur la figure précédente l'orbite parabolique
3) En Thermodynamique, on apprend que la "vitesse moyenne d'agitation" des molécules est égale à où
est la constante des gaz parfaits, M la masse molaire et T la température exprimée en Kelvin. En déduire que l'atmosphère est stable (ne s'échappe pas de la Terre).

| Réponse Cvl12 | Réponse Cvl3 |

Le 12 Avril 1961, Youri Gagarine fut le premier cosmonaute ; le vaisseau spatial satellisé était un engin de masse , les altitudes du périgée et de l'apogée étaient respectivement .
Calculer les vitesses au périgée et à l'apogée ainsi que l'énergie nécessaire pour satelliser le vaisseau spatial.

| Réponse Cyg |

Etude de la chute libre dans un champ d’attraction universelle
Un point matériel de masse subit une force attractive de centre en .
Lorsqu’il décrit une orbite circulaire autour de O de rayon , il a une période .
Déterminer le temps de " chute libre " du point matériel lâché, sans vitesse initiale, à une distance de (on exprimera en fonction de ).

| Réponse Ccl |

Une comète est passée en 1843 au voisinage du Soleil sur une orbite " parabolique ". La distance minimale comète-soleil a été (où R est le rayon de l’orbite terrestre, la Terre décrivant en première approximation une orbite circulaire autour du Soleil).
1) Déterminer la vitesse maximale de la comète.
2) En réalité, l’orbite de la comète est elliptique et son excentricité est . En quelle année reviendra t’elle ?
On donne vitesse de la Terre sur son orbite et .

| Réponse DC11 | Réponse DC12 |

2)a) Déterminer le paramètre p en fonction de R.
2)b) Démontrer que le vecteur où est le vecteur vitesse de la Comète au point P, est une constante du mouvement et que
2)c) Déterminer en fonction de la vitesse maximale de la Comète. En déduire la valeur de en fonction de .
2)d) Calculer l’angle d’intersection des deux trajectoires en A.
2)e) Calculer le temps passé par la Comète dans l’orbite terrestre.
On donne

| Réponse DC21 | Réponse DC22a | Réponse DC22b | Réponse DC22c | Réponse DC22d | Réponse DC22e |

Un vaisseau spatial S de masse m en provenance de la Terre arrive au voisinage de la lune où l’on supposera qu’il n’est soumis qu’au seul champ d’attraction lunaire.
La distance d’impact est b et son intensité de vitesse loin de la lune est .
1) Exprimer l’énergie totale du vaisseau et la constante  ; déduire que la trajectoire du vaisseau est hyperbolique.

2) On appelle a la distance minimale d’approche du vaisseau au centre de la lune (A, sommet de l’hyperbole est tel que )
Etablir une relation entre si G est la constante d’attraction universelle et M la masse de la Lune ; exprimer cette relation en introduisant le rayon de la Lune et l’intensité de la " pesanteur " à la surface lunaire).
A.N. : Calculer et l’excentricité e de l’hyperbole pour

3) Au point A le vaisseau freine " instantanément " pour décrire une orbite circulaire d’observation de rayon a autour de la Lune.
Calculer la vitesse du vaisseau satellisé et l’énergie de freinage nécessaire
A.N. :

| Réponse Eau1 | Réponse Eau2 | Réponse Eau3 |

1) A partir de l'expression de la force coulombienne, établir l'expression de l'énergie potentielle d'interaction .

2) Dans un référentiel d'origine O lié à la particule de masse M , la vitesse au loin de la particule P de masse m est , le support de sa direction est à une distance d (paramètre d'impact) de O.
(La condition m << M n’étant pas réalisée, il convient pour faire l’étude dans le référentiel d’origine O d’introduire la masse réduite )

Calculer le moment cinétique en fonction de la masse réduite , de , de d et d'un vecteur unitaire directement perpendiculaire au plan du mouvement où les vecteurs unitaires sont .

3) Exprimer l'énergie mécanique. Retrouver la nature de la conique.
Déduire la distance minimale séparant les deux particules.

4) Déterminer l'angle de déviation de la particule (Formule de Rutherford).
Remarque : l’expérience est réalisée avec des noyaux d’Hélium ( ; ) diffusant sur des noyaux d’Or ( ; )

| Réponse Eru1 | Réponse Eru2 | Réponse Eru3 | Réponse Eru4 |

F) Atome de Bohr. Spectres de raies de l’atome d’hydrogène. Détermination de la masse du neutron.

L’électron, de masse et de charge , décrit une orbite circulaire de rayon autour du proton de masse et de charge . L’ensemble (électron + proton) constitue l’atome d’hydrogène que nous supposerons isolé.
On néglige l’interaction gravitationnelle devant l’interaction électrostatique entre électron et proton.

1)a) Dans un référentiel lié au proton, supposé galiléen pour le mouvement de l’électron, écrire la relation liant la vitesse de l’électron et le rayon de l’orbite.

1)b) Déduire l’expression de l’énergie mécanique E du système en fonction de r (l’énergie potentielle à l’infini sera prise comme référence). De même, déterminer, en fonction de r, l’expression du moment cinétique de l’électron.

2) Pour expliquer les raies spectrales de l’hydrogène, on introduit la dualité onde-corpuscule. Le comportement ondulatoire de l’électron est représenté par une onde de longueur d’onde suivant la relation de De Bröglie où h est la constante de Planck.
2)a) On postule que l’électron est sur une orbite stable si la longueur de la circonférence de l’orbite est un nombre de fois entier la longueur d’onde.
Ecrire la relation liant .
2)b) En déduire la relation appelée postulat de quantification de Bohr.

2)c) Montrer que le rayon de l’orbite est quantifié (prend des valeurs discrètes) et donner son expression en fonction de n. De même, montrer que l’énergie est quantifiée et donner l’expression des niveaux d’énergie en fonction de n.
Application numérique : Calculer, en angström, le rayon de la première orbite et, en électron-volt, son énergie.

2)d) Quelle est la longueur d’onde du photon émis dans une transition où le nombre passe de à , avec ? (on rappelle que l’énergie d’un photon de fréquence est égale à hf )

3) En toute rigueur, le référentiel lié au proton n’est pas galiléen et on se propose d’en mesurer l’effet sur les longueurs d’onde du spectre.
3)a) Montrer que le référentiel barycentrique du système proton-électron est galiléen. En déduire que les résultats précédents demeurent inchangés à condition de remplacer la masse de l’électron par appelée masse réduite.
3)b) Le deutérium est un isotope de l’hydrogène c’est à dire qu’il est constitué d’un noyau (masse, charge e) et d’un électron décrivant une orbite circulaire autour du noyau.
Soient et les longueurs d’onde des photons émis, respectivement, par l’hydrogène et par le deutérium, dans une transition s’effectuant entre deux niveaux d’énergie caractérisés dans les deux cas par les mêmes nombres .
Calculer le rapport en fonction de . En déduire que le noyau du deutérium comporte, par rapport à celui de l’hydrogène, une particule supplémentaire de charge nulle et de masse à peu près égale à celle du proton.

Application numérique : ;

Données numériques générales :
; ; ; ; ; ; ;

| Réponse F1a | Réponse F1b | Réponse F2a | Réponse F2b | Réponse F2c | Réponse F2d | Réponse F3a | Réponse F3b |

G) Collision de particules (mécanique classique)

1) La collision de deux particules se manifeste par une discontinuité dans les vitesses à la traversée d'une petite région de l'espace où les deux particules se trouvent simultanément et interagissent fortement.

Nous supposerons que, avant et après la collision, l'interaction entre les particules est négligeable et que l'énergie potentielle correspondante est nulle.

Les masses des particules avant le choc sont , après le choc leur nombre de particules est et leurs masses respectives . La conservation de la masse s'écrit
1)1) Ecrire, dans deux référentiels galiléens différents en translation l'un par rapport à l'autre à vitesse , la conservation de l'énergie. En déduire la conservation des quantités de mouvement avant et après le choc.

1)2) Etablir les conditions pour que le choc soit élastique c'est à dire pour qu'il y ait conservation des énergies cinétiques avant et après le choc.

1)3) La particule de masse est, avant le choc, au repos, celle de masse animée d'une vitesse . Après le choc, les particules sont conservées dans leur structure interne et leurs vitesses sont respectivement et .
- Montrer que les vitesses avant et après le choc sont dans un même plan
- est appelé angle de diffusion. Etudier les valeurs possibles de en fonction du rapport . Dans le cas d'un choc droit, la particule de masse étant un électron, celle de masse un proton, quelle fraction de l'énergie de l'électron avant le choc est transférée au proton. Application numérique.

1)4) Dans un pendule balistique articulé autour d'un axe horizontal, la particule de masse de vitesse horizontal vient s'incruster dans la particule de masse fixée à l'extrémité de la tige, de longueur L, du pendule. La tige, avant le choc, est verticale et immobile. Après le choc, elle se déplace d'un angle maximal . En déduire l'intensité de vitesse .

2) Reprendre la démarche de la question 1) dans le cas de particules incidentes et de particules après le choc.

| Réponse G11 | Réponse G12 | Réponse G13 | Réponse G14 | Réponse G2 |